art3浙江大學電氣學院電磁場數值計算

1、December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 1 課件可在下面的郵箱中下載： 用戶名： 密碼：555555（6個） December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 2 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) 考察非線性方程 式中系數k是u的函數，右端項 f 為常量。 kuf December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 3 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) 若設 ( )g uku 則原問題求解就是 求取由曲線g(u)與 直線f的交點u December 16, 2009art3

2、浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 4 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) 為了求解上述方程，首先選取初始解u0，并將 g(u)在u0點展開，有 000 ( )( )( )()g ug ug uu u 忽略高次項，有 000 (0) 00 ( )( )( )() ( )() g ug ug uu u g uJu u December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 5 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) (0) 00 ()( )Ju ufg u 這是一個線性代數方程組 未知量 系數 0 u u u (0) J 由此可得 0 u u u (

3、1) 0 uu u December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 6 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) (0) 00 ()( )Ju ufg u 是經過一次迭代得到的近似解。 解得 后，可將其作為再次迭代的起點，繼續(xù) 用下式求取二次近似解 (1) u (1)(2)(1)(1) ()()Juufg u December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 7 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) 其過程可形象地表示為： December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 8 1）牛頓-拉夫

4、遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) 一般地，經過k次迭代都得到u(k)后求取u(k+1)的方程為 ( )(1)( )( ) ()() kkkk Juufg u 經過適當次數迭代，上述方程的左端項接近于零，從 而其解接近于收斂值。 (1)( ) | kk uu December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 9 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) 一般地，經過k次迭代都得到u(k)后求取u(k+1)的方程為 ( )(1)( )( ) ()() kkkk Juufg u 經過適當次數迭代，上述方程的左端項接近于零，從 而其解接近于收斂值。 ( ) |(

5、)| k fg u December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 10 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) In summary 構成了以函數的斜率為系數，以近似解的迭代差為變 量，以余量為右端項的線性代數方程組，并由它求取 每一次迭代的近似解。 ( ) |()| k fg u December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 11 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) In summary 對于非線性代數方程組 K uf 將上式左端項定義為向量g 1 (1,2, ) N llh h h gk ulN Dec

6、ember 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 12 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) ( )( ) ( ) 1 (1,2, ) llhh N iii h gk ulN ( )(1)( )( ) ( ) ( ) kkkk Juufg u ( ) k J Jacobion Matrix December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 13 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) ( )( ) 111 12 222 12 12 kk lh N N NNN N g jk u ggg uuu ggg uuu ggg uuu

7、 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 14 1）牛頓-拉夫遜迭代法 3.非線性有限元法(2D) ( ) 2 1 () N k ll l fg 收斂判據 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 15 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) ()() in uu f xxyy 此時，偏微分方程為 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 16 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) 對應的余量（弱式的） 2 ll ll NNuu dxdyf N dxdyN

8、qdl xxxy 形式與線性問題一樣，區(qū)別僅在于與u的值有關 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 17 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) 在一個單元內 eeee iiiiijjimm eeee jjiijjjjmm eeee mmiimjjmmm gk uk uk u gk uk uk u gk uk uku klh的計算同線性問題 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 18 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) 在一個單元內 iii ijm jjje ijm mmm ijm

9、ggg uuu ggg J uuu ggg uuu December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 19 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) 定義 e ii ee jj e mm fg rfg fg December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 20 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) iii iiijim ijm ggg kkk uuu jjj jijjjm ijm ggg kkk uuu mmm mimjmm ijm ggg kkk uuu 當媒質為線性時，此時ke與ue無關，因此有 Dece

10、mber 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 21 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) (0)(1) Juf 如果初始值 ，則 (0) 0u 與線性問題完全一致，一次即可解出 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 22 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 ( , ,) l h g l hi j m u 有 這時ke與ue有關。此時，對于 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 23 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B.

11、 非線性媒質 () lj llilm lhijm hhhh lj lilm lhijm hhh lj lilm lhijm h k gkk kuuu uuuu k kk kuuu uuu k kk kuuu u December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 24 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 在一個單元內，ke正比于ue。于是 1 () 1 l lhliiljjlmm hh lhl h g kk uk uk u uu kg u December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 25 2）在有限元

12、法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 令 2 2 uu C xy 矢量磁位為磁通密度B，標量磁位為磁場強度H December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 26 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 則 hh C uCu December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 27 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 (using magnetic scalar potential) (using magnetic vector potential

13、) H C B 由磁化曲線得到 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 28 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 2 2 1 111 ()() 2222 hh hh hh iijjmmiijjmm eeee Cuu uuxy uuuu Cxuxyuy bc bub ub ucuc uc u C December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 29 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 11 ()() 44 1 1 () 4 11 ( 1 ( ij m ijm

14、 ijm ee hih ihjhj ee e he hmhm e eee hihjhm e hihjhm e b bc c ub bc c u C uC b bc cu k uk uk u C k uk uk u C December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 30 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 1 ( ijm hihjhm he h e C k uk uk u uC g C December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 31 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B.

15、非線性媒質 2 1 lh lhl he lh lh e gg kg uCC g g k CC December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 32 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 2 2 2 2 2 2 ii ii ie jj jj je mm mm me gg k uCC gg k uCC gg k uCC December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 33 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 2 2 2 jij i ij jie jjm m jm mje

16、 miim im ime gg g g k uuCC gg g g k uuCC ggg g k uuCC December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 34 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 C 由磁化曲線得到 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 35 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元法(2D) B. 非線性媒質 矩陣的對稱性、稀疏性、正定性不變 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 36 2）在有限元法中的計算格式 3.非線性有限元

17、法(2D) C. 第一類邊界條件的處理 第一次迭代時，與線性方程組處理一致 其它次迭代，由于第一次已經使得第一類邊界條件嚴 格滿足，故這時的誤差余量為零，按齊次一類條件處 理。 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 37 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) A. 四面體單元 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 38 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) B. 長方體單元 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 3

18、9 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) C. 直三棱柱單元 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 40 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) C. 直三棱柱單元 設直三棱柱單元的高 重心坐標（z軸） 2 c hd c z December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 41 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) C. 直三棱柱單元 假定 (i)三棱柱內任一平行于xoy平面的三角形，形狀函數 對x、y的變化規(guī)律與平面三角元相同

19、(ii)從頂面到底面，形狀函數從1到零隨z作線性變化 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 42 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) C. 直三棱柱單元 則 11 (1)(1) 22 11 (1)(1) 22 11 (1)(1) 22 ee cc iiii ee cc jjjj ee cc mmmm zzzz NLNL dd zzzz NLNL dd zzzz NLNL dd December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 43 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(

20、2D) C. 直三棱柱單元 其中: 為任意點在三角元i,j,m中的面積坐標。 為任意點三角元i,j,m中的面積坐標。 , ijm L LL , ijm L L L ii jj mm LL LL LL 1 () 2 kkkk e Lab xc y December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 44 1）三維剖分的常用單元即形狀函數 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) C. 直三棱柱單元 eeeeeeeeeeee iijjmmiijjmm AN AN AN AN AN AN A () xyz AA i A j A k () kxkykz eeee k AA i A

21、j A k December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 45 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) 在包含載流區(qū)的三維恒定磁場中，由于源的存在，此 時三維場屬于旋度場，應用向量磁位A或其他混合方 法求解 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 46 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) A. 邊界條件 | St nAA (i)第一類邊界條件 此時整個邊界面上給定了向量磁位的切向分量At，即 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 4

22、7 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) A. 邊界條件 | St nHH (ii)第二類邊界條件 此時整個邊界面上給定了磁場強度的切向分量Ht（-q)，即 常常Ht=0，即磁力線垂直邊界條件 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 48 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) B. 三維恒定磁場的雙旋度方程 AJ C. 向量形式的泊松方程 2 AJ December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 49 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) D

23、. 三維恒定旋度場的條件變分問題 (i) 向量形式的泊松方程 1 2 2 in V |0 | | S St S AJ A nAA nHq |0 S n A December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 50 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) D. 三維恒定旋度場的條件變分問題 (i) 向量形式的泊松方程 2 2 2 11 ( )|() 22 min VV VS W AA dvdivA dv J Advq Ads 1 | |0 St S nAA n A December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 51

24、 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) D. 三維恒定旋度場的條件變分問題 (ii) 雙旋度方程 1 2 2 0 | | |0 St S S AJA nAA nHq n A December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 52 2）三維恒定磁場的有限元方法 4.三維電磁場問題的有限元法(2D) D. 三維恒定旋度場的條件變分問題 (ii) 雙旋度方程 2 22 11 ( )|() 22 min VV VS W AA dvdivA dv J Advq Ads 1 2 | |0 St S nAA n A December 16, 2009a

25、rt3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 53 3）三維渦流場的A-V-A法 1 2 () () s AjAVinV AJinV 1 2 ()()0 in V ()() in V S AAjAV AAJ 并入庫 侖規(guī)范 0A December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 54 3）三維渦流場的A-V-A法 1 2 ()()0 in V ()0 ()() in V S AAjAV jAV AAJ 考慮電 流連續(xù) 方程 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 55 1）長直接地金屬槽中的電場 課后大作業(yè) 設長直接地金屬槽的橫截面如下圖

26、 所示，其側壁與底面電位 均為零，頂蓋電位為10(相對值)。 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 56 1）長直接地金屬槽中的電場 課后大作業(yè) 計算區(qū)域 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 57 1）長直接地金屬槽中的電場 課后大作業(yè) 邊值問題泛定方程 22 22 0(00.5 , 00.5 )xaya xy December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 58 1）長直接地金屬槽中的電場 課后大作業(yè) 邊值問題邊界條件 000.5 00.50 0 xxa yay 00.5 0.5 10 xa ya 0.5 00.5 0 xa ya n 二類齊次邊界條件，不必處理 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 59 2）電磁鐵的磁場 課后大作業(yè) 一電磁鐵模型的截面如下圖所示，鐵心材料為鑄鋼，設其工 作在線性區(qū)，相對磁導率為200，激磁電流密度為250A/cm2。 求電磁鐵內的磁場分布。 December 16, 2009art3浙江大學電氣學院電磁場數值 計算 60 2）電磁鐵的磁場 課后大作業(yè) 對于該電磁鐵中間區(qū)段的磁場