高三理數(shù)第講：數(shù)列（教師版）（思維：關(guān)系類比）

1、第17講 數(shù)列1 1.等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2.等差數(shù)列的通項公式：3.等差中項：若，則A叫做a與b的等差中項。4.等差數(shù)列的前n項和：。5.等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q（q0）表示。6.等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，且。7.等比數(shù)列的通項公式：an=a1qn-1=amqn-m。8.等比數(shù)列的前n項和： 等

2、差數(shù)列、等比數(shù)列：通項公式、前n項和公式、性質(zhì)。 例1 （思維關(guān)系類比）加法對于等差數(shù)列就好比乘法對于等比數(shù)列。已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，在等比數(shù)列bn中，若m+n=p+q，則 。解析 加法對于等差數(shù)列就好比乘法對于等比數(shù)列。等差數(shù)列中，am+an=ap+aq，等比數(shù)列中，aman=apaq。例2 設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，若S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列Snn的前n項和，求Tn。解析 設(shè)an首項為a1，公差為d，則，此式為n的一次函數(shù)，為等差數(shù)列，。例3 試問數(shù)列l(wèi)g（100sinn-14）的前多少項的和最大，并求這個最大值

3、（lg2=0.3010）。解析 設(shè)，an為首項為2，公差為的等差數(shù)列，令an0，得，a140，a150，當n=14時，前n項和最大，為。例4 已知等差數(shù)列的第2項是8，前10項和是185，從數(shù)列中依次取出第2項，第4項，第8項，第項，依次排列一個新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及前n項和公式。解析 由，得，例5 等差數(shù)列an中，前m（m為奇數(shù)）項的和為77，其中偶數(shù)項的和為33，且a1-am=18，求該數(shù)列的通項公式。解析 ，解得m=7，a1+a7=22，又a1-am=a1-a7=-6d=18，d=-3，a1=20，an=a1+(n-1)d=-3n+23例6 設(shè)an是等差數(shù)列，bn=（12）an，已知

4、b1+b2+b3=218，b1b2b3=18，求等差數(shù)列的通項an。解析 an是等差數(shù)列，bn=(12)an為等比數(shù)列，b1b3=b22，又b1b2b3=18，當時，an=2n-3；當時，q=4，an=5-2n。A1.若數(shù)列的通項公式是，則該數(shù)列 （C）A.不是等差數(shù)列 B.是公差為2的等差數(shù)列 C.是公差為3的等差數(shù)列 D.是公差為5的等差數(shù)列2.已知an是等差數(shù)列，a1=1,a3=5,則a10= (A)A.19 B.21 C.37 D.413.在等差數(shù)列中，若，則的值是 （C）A.45 B.75 C.180 D.3004.在等差數(shù)列中，若，則（A）A.33 B.30 C.27 D.245.

5、在等差數(shù)列中，S15=60, 則a8 = (A)A.4 B.15/2 C.15/4 D.86.在等比數(shù)列an中，9，則= (B)A.0 B.1 C.-1 D.37.等比數(shù)列中，已知，則n為 (C)A.3 B.4 C.5 D.68.在等比數(shù)列an中，若a3a5=4，則a2a6= (D)A.-2 B.2 C.-4 D.49.等比數(shù)列中，則等于 (D)A.3 B. C. D.410.等比數(shù)列2，4，8，16，的前n項和為 (D)A. B. C. D.11.等差數(shù)列的首項，公差，如果成等比數(shù)列，那么等（B）A.3 B.2 C.2 D.12.在等差數(shù)列an中，若a5=4，a7=6，則a9= 8 13.已

6、知等差數(shù)列中，則 108 _.14.已知等差數(shù)列an的公差為d=2,前10項的和S10=40，則a2 +a4 +a6 +a8 +a10 = 25 B1.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項a1=3，前三項和為21，則a3+a4+a5=（C）A.33 B.72 C.84 D.1892.如果a1，a2，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d0，則（B）A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 C.a1+a8a4+a5 D.a1a8=a4a53.an是首項a1=1，公差為d=3的等差數(shù)列，如果an=2005，則序號n等于（C）A.667 B.668 C.669 D.6704.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q

7、，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 -2 。5.在83和272之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為 216 。6.已知an是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列。（1）求q的值；（2）設(shè)bn是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，當n2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由。解：（1）a1，a3，a2成等差數(shù)列，2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q，解得q=1或；（2）當q=1時，Sn-bn=Sn-1=，當n2時，Sn-bn0恒成立，Snbn 當時，Sn-bn=Sn-1=，當2n9時Snbn，當n=10時，

8、Sn=bn，當n10時Snbn7.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項和Sn0（nN+）。（1）求q的取值范圍；（2）設(shè)bn=an+2-32an+1，記bn的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小。解：（1）Sn0，a1=S10，若q=1，則Sn=na10成立，q=1符合條件；當q1時，0，(1-q)(1-qn)0，解得q1或-1q1，q的取值范圍是q-1且q0；（2），Tn=Sn，Tn-Sn=Sn=，當q2或-1q時，TnSn；當q0或0q2時，TnSn；當q=或q=2時，Tn=Sn。8.已知an是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列。又bn=1a2n，n=1，2，

9、3，。（1）證明：bn為等比數(shù)列；（2）如果數(shù)列bn的前3項和等于724，求數(shù)列an的首項a1和公差d。解：（1）lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，2lga2=lga1+lga4，即a22=a1a4，解得a1=d，an=na1，bn=1a2n=，bn為首項為，公比為的等比數(shù)列。（2），解得a1=3，a1=d=3。9.在等差數(shù)列an中，公差d0，a2是a1與a4的等比中項。已知數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，akn，成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項公式。解：a2是a1與a4的等比中項，a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得a1=d，an=na1，數(shù)列a1，a3，ak1，a

10、k2，akn，成等比數(shù)列，kn=3n-1。10.已知實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a+b+c=15，又a+1，b+1，c+4成等比數(shù)列，求a，b，c。解：a，b，c成等差數(shù)列，2b=a+c，又a+b+c=15，b=5，a+c=10，a+1，b+1，c+4成等比數(shù)列，(b+1)2=(a+1)(c+4)，解得a=2，c=8或a=11，c=-1，a=2，b=5，c=8或a=11，b=5，c=-1。C1.設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn=a3n+1+6（a是常數(shù)），若an設(shè)等比數(shù)列，則a=（D）A.6 B.-6 C.2 D.-22.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，前四項和為21，末四項和為67，所有項的和為284，求項

11、數(shù)。解：。3.設(shè)an和bn是等差數(shù)列，An和Bn分別是它們的前n項的和，如果AnBn=2n+34n-1，試求a5b5。解：。4.設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，a1=b10，a2n+1=b2n+1，比較an+1與bn+1。解：an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，由基本不等式可得an+1bn+1。5.設(shè)x，a1，a2，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，b3，y成等比數(shù)列，求（a1+a2）2b1b3的取值范圍。解：x，a1，a2，y成等差數(shù)列，a1+a2=x+y，x，b1，b2，b3，y成等比數(shù)列，b1b3=xy=b220，41.等差數(shù)列an中，首項a1=100，公差d= -3，則該數(shù)列中第一次

12、出現(xiàn)負值的項為 (B)A.a36 B.a35 C.a34 D.a332.在等比數(shù)列an中a1=2, a4= -54，則通項公式an=_2（-3）n-1_，前n項和Sn.=_ _3.等比數(shù)列的前n 項和為Sn，已知,成等差數(shù)列（1）求的公比q；（2）若3，求Sn。 解：（1）,成等差數(shù)列，2S3=S1+S2，即2(a1+a2+a3)=a1+a1+a2，2a3=-a2，（2）由（1）得，又3，a1=4，。 1.等比數(shù)列中，那么的值為（ C ）A B C D2.等比數(shù)列a中，a=7，前三項之和 S=21，則公比q的值是( C ).1 .- .1或 - .-1或3.首項為1，公差不為零的等差數(shù)列中的是

13、一個等比數(shù)列的前3項，則這一等比數(shù)列的第四項為（ B ）A8 B8 C6 D不確定4.已知數(shù)列的前n項和，那么這個數(shù)列中的奇數(shù)項依照原來的順序構(gòu)成的數(shù)列的通項公式是（ B ）A BC D5.數(shù)列an的前n項和Sn=3n-2n2 (nN)，當n2時，就有（ D ）ASnna1nan BSn nanna1 Cna1Snnan DnanSnna16.有下列命題：x=是a, x, b成等比數(shù)列的充分但不必要條件某數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列已知Sn表示數(shù)列an的前n項和，且S，那么an一定是等比數(shù)列設(shè)，則這三個數(shù)a, b, c成等差數(shù)列其中正確的命題序號是：（ D ）A B C D7.若兩個等差數(shù)列的前n項和(nN)，則的值等于（ C ）A B C D8.在等差數(shù)列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，則此數(shù)列前13項之和為（ A ）A26 B13 C52 D1569.等差數(shù)列，=5，它的前11項的算術(shù)平均值為5。若從中抽去一項，余下10項的算術(shù)平均值為4，則抽去的是（ D ）A B C D10.數(shù)列an的前n項和Sn=2n+P，數(shù)列bn滿足bn=log2an，若an是等比數(shù)列。（1）求P的值及通項an；（2）求和Tn=(b1)2-(b2)2+(b3)2-(