高中數(shù)學(xué)：數(shù)列中由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)題型歸類 素材

1、數(shù)列中由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)題型歸類新教材明確指出：數(shù)列可以由其遞推關(guān)系式及前幾項(xiàng)給定。根據(jù)遞推關(guān)系求解通項(xiàng)，除用計(jì)算-猜想-證明的思路外，通常還可以對(duì)某些遞推關(guān)系式進(jìn)行變換，從而轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列或易于求出通項(xiàng)的數(shù)列的問題來解決。下面分類說明這些常見的遞推關(guān)系的類型及其解法。1類型一： （其中d是常數(shù)）顯然，由知是等差數(shù)列，則2類型二：（其中q是不為0的常數(shù)）顯然，則知是等比數(shù)列，于是3類型三：，方法：疊加法例1、在數(shù)列中，且，求.解：由得， 由上面等式疊加得，故。4類型四：，方法：疊乘法例2、在數(shù)列中，且，求.解：由已知得，則有，這（）個(gè)等式疊乘得，則。5類型五：（其中p，q是常數(shù)，且）

2、方法：參數(shù)法例3、已知數(shù)列滿足，且，求.解：引入?yún)?shù)c，令，即，與已知比較知c=1，于是有，即數(shù)列1是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，故6類型六：（1）若（其中k,b是常數(shù)，且）方法：升降足標(biāo)法例4、在數(shù)列中，且滿足，求. 解：，兩式相減得，令，則，利用類型五的方法知，即，再利用類型三的方法知，；亦可聯(lián)立、解出。（2）若（其中r是常數(shù)，且）方法：兩邊同乘例5、在數(shù)列中，且滿足，求.解：將已知的兩邊同乘，得，令，則，利用類型五的方法知，則。7類型七：（其中p，q是不為0的常數(shù)）方法：倒數(shù)法例6、數(shù)列中，若，求. 解：，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，即。變式：若類型七變?yōu)榈慕Y(jié)構(gòu)時(shí)，仍可

3、使用倒數(shù)法。例7、在數(shù)列中，若，求.解：，令，則，利用類型五知，則。8類型八：（其中p，r為常數(shù)，且）方法：對(duì)數(shù)法例8、在數(shù)列中，若，求.解：由，知，對(duì)兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即。9類型九：（其中p，q為常數(shù)，且）方法：轉(zhuǎn)化法例9、數(shù)列中，若，且滿足，求.解：把變形為，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則利用類型三的方法可得，。變式：若結(jié)構(gòu)變?yōu)椋ㄆ渲衟，q為常數(shù)，且滿足）方法：待定系數(shù)法例10、已知數(shù)列滿足，且，求.解：令，即，與已知比較，則有，故或下面我們?nèi)∑渲幸唤M來運(yùn)算（另一組同學(xué)們自己練習(xí)），即有，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，即

4、，利用類型六（2）的方法，可得。十類型十：遞推關(guān)系由與的關(guān)系給出方法：運(yùn)用互化解決例11、已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且滿足，又，求.解：時(shí)，有，由，得即，亦即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則故當(dāng)時(shí)，顯然上式對(duì)時(shí)不成立，則十一其它類型例12、數(shù)列中，求.解：由知，即有，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而，則評(píng)注：方法是配方法。例13、設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足，求.解：原遞推式可以分解為由于，則有，故知，利用類型四的方法可解出。評(píng)注：方法是因式分解法。 例14、已知數(shù)列中，數(shù)列中，且當(dāng)時(shí)，求，. 解：由于，兩式相加得再由兩式相減得，這表明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則聯(lián)立、，解之得：，評(píng)注：方法是加減法。例15、已知數(shù)列中，（其中），求.解：由知，再由知，于是，則于是綜上可知：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，評(píng)注：方法是奇偶分類法?？傊蛇f推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，核心是把所給遞