平面向量學(xué)案

1、平面向量學(xué)案第一課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.了解向量的實(shí)際背景，以位移、力等物理背景抽象出向量2理解向量、相等向量、共線向量、零向量的概念及向量的表示. 1向量的概念(1)向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量(2)數(shù)量：把那些只有大小，沒(méi)有方向的量，稱為數(shù)量(3)有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段，其方向是由起點(diǎn)指向終點(diǎn)以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作 (如圖所示)，線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段的長(zhǎng)度，記作|.書寫有向線段時(shí)，起點(diǎn)寫在終點(diǎn)的前面，上面標(biāo)上箭頭(4)有向線段的三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度知道了有向線段的起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定了思考1兩個(gè)向量可以比較大小嗎

2、？提示：不能因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方?向量的表示法(1)幾何表示：用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，如向量的長(zhǎng)度記作|.(2)字母表示：通常在印刷時(shí)，用黑體小寫字母a，b，c，表示向量書寫時(shí)，可寫成帶箭頭的小寫字母，.還可以用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母表示，如以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的向量記為.特別提醒(1)向量的書寫要規(guī)范，如向量a不能寫成a；(2)向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)要搞清，如與的起點(diǎn)與終點(diǎn)正好相反3有關(guān)概念思考2單位向量都相等嗎？提示：不一定，單位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同思考3表示相等向量的有向線段一定重合嗎？提示

3、：不一定，也可以平行，或在一條直線上思考4共線向量與相等向量有什么關(guān)系？提示：相等向量一定共線，而共線向量不一定相等特別提醒(1)零向量表示為0，而不是數(shù)字0；零向量的方向是任意的；規(guī)定零向量與任一向量是共線向量(2)注意向量平行，向量所在直線不一定平行，還有可能是同一條直線第二課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義2熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會(huì)作已知兩向量的和向量3掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算. 1向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量2向量加法的三角形法則如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取

4、一點(diǎn)A，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作ab，即ab.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則3向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則思考1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：(1)兩個(gè)法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致的如圖所示， (平行四邊形法則)又， (三角形法則)(3)在使用三角形法則時(shí)，應(yīng)注意“首尾連接”；在使用平行四邊

5、形法則時(shí)，應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量的起點(diǎn)相同思考2向量加法的三角形法則能否推廣用來(lái)求多個(gè)向量的和？提示：能向量加法的多邊形法則：n個(gè)向量經(jīng)過(guò)平移，順次使前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，組成一組向量折線，這n個(gè)向量的和等于從折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量這個(gè)法則叫做向量加法的多邊形法則多邊形法則的實(shí)質(zhì)是三角形法則的連續(xù)應(yīng)用4向量加法的運(yùn)算律交換律abba結(jié)合律(ab)ca(bc)思考3 零向量與其他向量的加法運(yùn)算是怎樣規(guī)定的？提示：對(duì)于零向量與任一向量a，規(guī)定：a00aa.思考4 |a|b|，|ab|，|a|b|之間的大小關(guān)系是怎樣的？提示：|a|b|ab|a|b|.當(dāng)a與b同向或a與b中

6、至少有一個(gè)為零向量時(shí)，|ab|a|b|；當(dāng)a與b反向或a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，|a|b|ab|.第三課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解相反向量的意義；知道向量減法的定義2掌握向量減法的運(yùn)算及幾何意義，能作出兩個(gè)向量的差向量. 1相反向量定義如果兩個(gè)向量長(zhǎng)度相等，而方向相反，那么稱這兩個(gè)向量是相反向量性質(zhì)對(duì)于相反向量，有a(a)0若a，b互為相反向量，則ab，ab0零向量的相反向量仍是零向量特別提醒(1)相反向量要從向量的“長(zhǎng)度”與“方向”兩個(gè)方面去理解；(2)相反向量必為平行向量；平行向量不一定是相反向量2向量的減法定義aba(b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量作法在平面內(nèi)任取一

7、點(diǎn)O，作a，b，則向量ab.如圖所示幾何意義如果把兩個(gè)向量a，b的起點(diǎn)放在一起，則ab可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量思考1若a，b，則，如何用a，b表示？提示：ba，ab.思考2若a與b是兩個(gè)不共線的向量，則|ab|和|ab|的幾何意義是什么？提示：如圖所示，設(shè)a，b，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則，有ab，ab.四邊形OACB是平行四邊形，|ab|，|ab|分別是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)思考3向量加法與減法的幾何表示的區(qū)別？提示：向量的減法是加法的逆運(yùn)算，求ab時(shí)，是將b的起點(diǎn)放在向量a的終點(diǎn)，然后連接向量a的起點(diǎn)與向量b的終點(diǎn)所得的

8、向量；求ab時(shí)，是把這兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，它們的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量第四課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義2掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，并能用已知向量表示未知向量3掌握向量共線定理，會(huì)判定或證明兩個(gè)向量共線. 1向量的數(shù)乘定義一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a長(zhǎng)度|a|a|方向0a的方向與a的方向相同0a01時(shí)，有|a|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(1)或反方向(1)上伸長(zhǎng)了|倍(2)當(dāng)0|1時(shí)，有|a|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(01)或反方向(10)上縮短了|倍思考3向量的大小與方

9、向如何？提示：向量的大小為1，方向與a的方向相同，所以該向量是向量a方向上的單位向量2向量數(shù)乘的運(yùn)算律向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：設(shè)，為實(shí)數(shù)，則(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.特別地，()a(a)(a)，(ab)ab.特別提醒向量的數(shù)乘運(yùn)算、加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程類似于多項(xiàng)式的“合并同類項(xiàng)”3共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.思考4共線向量定理中為何要限制a0?提示：共線向量定理中，若不限制a0，則當(dāng)ab0時(shí)，的值不唯一，定理不成立并且當(dāng)b0，a0時(shí)，的值不存在特別提醒(1)如果非零向量a與b不共線，且ab，那么0.(

10、2)共線向量定理可以分為兩個(gè)定理：判定定理：如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)滿足ba(R)，那么ab.性質(zhì)定理：如果ab，a0，那么存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.4向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)，1，2，恒有(1a2b)1a2b.第五課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.了解平面基底的含義，并能判斷基底2理解并掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面內(nèi)的任一向量3掌握兩個(gè)向量夾角的定義以及兩個(gè)向量垂直的定義. 平面向量基本定理思考1設(shè)e1，e2是平面向量的一組基底，則e1，e2中可能有零向量嗎？平面向量的基底唯一嗎？提示：平面向量基本定理的前提條件是e1，e2不共線，

11、若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共線，這與定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它們不共線即可，且基底不同時(shí)，實(shí)數(shù)1，2的值也不相同思考2向量的夾角與兩條直線的夾角有何區(qū)別？提示：向量的夾角的范圍為0180，兩條直線的夾角的范圍是090.第六課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念；2會(huì)寫出給定向量的坐標(biāo)，會(huì)作出已知坐標(biāo)表示的向量. 1平面向量的正交分解把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解2平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底(2)坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)

12、的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得axiyj，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中x叫做向量a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做向量a在y軸上的坐標(biāo)(3)坐標(biāo)表示：a(x，y)就叫做向量的坐標(biāo)表示(4)特殊向量的坐標(biāo)：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)思考1由向量的坐標(biāo)定義知，當(dāng)且僅當(dāng)兩向量a(x1，y1)，b(x2，y2)滿足什么條件時(shí)相等？提示：兩向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相等，即abx1x2且y1y2.3向量與坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)也就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量

13、都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示，即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與實(shí)數(shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的思考2點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：(1)區(qū)別：表示形式不同，向量a(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒(méi)有等號(hào)意義不同，點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)(2)聯(lián)系：當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同第七課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則，能熟練進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算2

14、能借助向量的坐標(biāo)，用已知向量表示其他向量. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，則有下表：文字描述符號(hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和ab(x1x2，y1y2)減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差ab(x1x2，y1y2)數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)a(x1，y1)向量坐標(biāo)公式一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)思考如何區(qū)別ab的坐標(biāo)運(yùn)算與的坐標(biāo)運(yùn)算？提示：ab的坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相減，的坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐

15、標(biāo)第八課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件2能用向量的坐標(biāo)表示判定向量是否共線證明三點(diǎn)共線. 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b共線思考1如果兩個(gè)非零向量共線，你能通過(guò)它們的坐標(biāo)判斷它們同向還是反向嗎？提示：當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)同號(hào)或同為零時(shí)，同向；當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)或同為零時(shí)，反向例如：向量(1,2)與(1，2)反向；向量(1,0)與(3,0)同向；向量(1,2)與(3,6)同向；向量(1,0)與(3,0)反向等思考2已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，則向量a和向量b共線條件的表示方

16、法有哪些？提示：在討論向量共線時(shí)，規(guī)定零向量可以與任一向量共線，當(dāng)b0時(shí)，a和b共線條件的表示方法有以下三種形式：(1)當(dāng)b0時(shí)，ab.這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a與b的長(zhǎng)度及方向之間的關(guān)系(2)x1y2x2y10.這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“”，從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問(wèn)題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)、程序化的特征(3)當(dāng)x2y20時(shí)，即兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例這種形式是較容易記憶的向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤第九課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2掌握向量a與b的數(shù)量積公式及其投影的定義3掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律4會(huì)求

17、向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角，會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決向量的垂直問(wèn)題. 1平面向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，其中是a與b的夾角記法記作ab，即ab|a|b|cos 規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影|a|cos (|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積思考1向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是向量還是實(shí)數(shù)？如果是向量，如何確定大小和方向？如果是實(shí)數(shù)，如何確定它的符號(hào)？提示：向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦之積

18、當(dāng)a，b為非零向量時(shí)，由ab|a|b|cos ，ab的符號(hào)由a與b的夾角的余弦值來(lái)確定當(dāng)00；當(dāng)90180時(shí)，ab0ab0ab0夾角公式cos 思考4當(dāng)兩向量的數(shù)量積為零時(shí)，這兩個(gè)向量垂直嗎？提示：不一定垂直當(dāng)兩向量都不為零時(shí)，若數(shù)量積為零，則兩向量垂直第十課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)用向量的坐標(biāo)形式求數(shù)量積、向量的模及兩個(gè)向量的夾角2會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積判斷它們的垂直關(guān)系. 平面向量數(shù)量積、模、垂直、夾角的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為，則有下表：坐標(biāo)表示數(shù)量積abx1x2y1y2模|a|或|a|2xy設(shè)P1(x1，y1)，P

19、2(x2，y2)，則|垂直abab0x1x2y1y20夾角cos 思考1與非零向量a同向的單位向量的坐標(biāo)如何表示？提示：由于|a|0，且單位向量a0，所以a0 (x，y)，此為與非零向量a(x，y)同向的單位向量的坐標(biāo)思考2對(duì)任意的向量a與b，向量夾角的坐標(biāo)公式及垂直的坐標(biāo)公式都成立嗎？提示：不一定當(dāng)a(0,0)時(shí)，|a|0，此時(shí)，cos 無(wú)意義，但夾角為0；同時(shí)，abx1x2y1y20，但向量a與b不垂直，而是ab.故向量夾角的坐標(biāo)公式及垂直的坐標(biāo)公式都成立的前提條件是a0且b0.第十一課時(shí)課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.會(huì)用向量方法解決平面幾何中的平行、垂直、長(zhǎng)度問(wèn)題2掌握和體會(huì)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”. 1由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題2用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的三步曲：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；第二步，通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系思考平面幾何中常涉及：求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等；證明直線或線段垂直；線段平行或涉及共線問(wèn)題；求夾角問(wèn)題對(duì)于上述問(wèn)題，利用向量的方法如何解決