第1講　空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

1、第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖【2013年高考會(huì)這樣考】1幾何體的展開圖、幾何體的三視圖仍是高考的熱點(diǎn)2三視圖和其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起命題是新教材中考查學(xué)生三視圖及幾何量計(jì)算的趨勢(shì)【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1備考中，要重點(diǎn)掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型2要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長(zhǎng)(正)方體、三棱錐等幾何體的三視圖基礎(chǔ)梳理1多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是全等的多邊形(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形(3)棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)

2、一周得到(2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉(zhuǎn)半周得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到(4)球可以由半圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)一周或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)半周得到3空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖4空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫，基本步驟是：(1)畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸、y

3、軸，兩軸相交于點(diǎn)O，且使xOy45或135，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于x軸、y軸已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?2)畫幾何體的高在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z軸，也垂直于xOy平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z軸且長(zhǎng)度不變一個(gè)規(guī)律三視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法 兩個(gè)概念(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做

4、直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)下列說法正確的是()A有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)答案D2(2012杭州模擬)用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)

5、幾何體一定是()A圓柱 B圓錐C球體 D圓柱、圓錐、球體的組合體解析當(dāng)用過高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面答案C3(2011陜西)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是()A8 B8C82 D.解析圓錐的底面半徑為1，高為2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即V2221228，正確選項(xiàng)為A.答案A4(2011浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析所給選項(xiàng)中，A、C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有選項(xiàng)B符合答案B5(2011天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)則該幾何體的體積為_m3.解

6、析由三視圖可知該幾何體是組合體，下面是長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1，上面是一個(gè)圓錐，底面圓半徑為1，高為3，所以該幾何體的體積為32136(m3)答案6考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(2012天津質(zhì)檢)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是()A等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等B等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)C等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓D等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上審題視點(diǎn) 可借助幾何圖形進(jìn)行判斷解析如圖，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即A正確；底面四邊

7、形必有一個(gè)外接圓，即C正確；在高線上可以找到一個(gè)點(diǎn)O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定相等或互補(bǔ)(若為正四棱錐則成立)故僅命題B為假命題選B.答案B 三棱柱、四棱柱、正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐、四棱錐是常見的空間幾何體，也是重要的幾何模型，有些問題可用上述幾何體舉特例解決【訓(xùn)練1】 以下命題：以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3解析命題錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直

8、角三角形的斜邊，則得不到圓錐命題錯(cuò)，因這條腰必須是垂直于兩底的腰命題對(duì)命題錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才行答案B考向二空間幾何體的三視圖【例2】(2011全國(guó)新課標(biāo))在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()審題視點(diǎn) 由正視圖和俯視圖想到三棱錐和圓錐解析由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體應(yīng)為一個(gè)半圓錐和一個(gè)有一側(cè)面(與半圓錐的軸截面為同一三角形)垂直于底面的三棱錐的組合體，故其側(cè)視圖應(yīng)為D.答案D (1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個(gè)兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個(gè)方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形(2)在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，能看見

9、的輪廓線和棱用實(shí)線表示，擋住的線要畫成虛線【訓(xùn)練2】 (2011浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析A中正視圖，俯視圖不對(duì)，故A錯(cuò)B中正視圖，側(cè)視圖不對(duì)，故B錯(cuò)C中側(cè)視圖，俯視圖不對(duì)，故C錯(cuò)，故選D.答案D考向三空間幾何體的直觀圖【例3】已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2審題視點(diǎn) 畫出正三角形ABC的平面直觀圖ABC，求ABC的高即可解析如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖由斜二測(cè)畫法可知，ABABa，OCOCa，在圖中作CDAB于D，則CDOCa.SABCABCDaaa2.答案D 直接根據(jù)水平放置

10、的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫法規(guī)則即可得到平面圖形的面積是其直觀圖面積的2倍，這是一個(gè)較常用的重要結(jié)論【訓(xùn)練3】 如圖，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是()A正方形 B矩形C菱形 D一般的平行四邊形解析將直觀圖還原得OABC，則ODOC2 (cm)，OD2OD4 (cm)，CDOC2 (cm)，CD2 (cm)，OC6 (cm)，OAOA6 (cm)OC，故原圖形為菱形答案C閱卷報(bào)告9忽視幾何體的放置對(duì)三視圖的影響致錯(cuò)【問題診斷】 空間幾何體的三視圖是該幾何體在兩兩垂直的三個(gè)平面上的正投影.同一幾何體擺放的角度不同，其三視圖可能不同，有的考生往往忽視這一點(diǎn).【防范措施】 應(yīng)從多角度細(xì)心觀察.【示例】一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))三棱錐；四棱錐；三棱柱；四棱柱；圓錐；圓柱錯(cuò)因忽視幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響，漏選.實(shí)錄正解三棱錐的正視圖是三角形；當(dāng)四棱錐的底面是四邊形放置時(shí)，其正視圖是三角形；把三棱柱某一側(cè)面當(dāng)作底面放置，其底面正對(duì)著我們的視線時(shí)，它的正視圖是三角形；對(duì)于四棱柱，不論怎樣放置，其正視圖都不可能是三角形；當(dāng)圓錐的底面水平放置時(shí)，其正視圖是三角形；圓柱不