2019年南昌大學(xué)級高數(shù)試題及答案.doc

1、南昌大學(xué)20092010 學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷一、 填空題 (每空 3 分，共15 分)1.設(shè) a2,3,5 ， b,1, 1若a b ，則_.2.空間曲線 xcost ， ysint， zt 在點2 ,2 ,4處的切線方程是 _.223. 計算積分 I2 dysin x2dx _.0yx4. 設(shè)級數(shù)a收斂，b 發(fā)散，n1nn 1n則級數(shù)anb必是 _.n1n5. 函數(shù) y1展開成 x 的冪級數(shù)為 _.4x2二、 單項選擇題(每小題 3分,共 15分)1.直線 x32y2z3 與平面 xy z 314的關(guān)系是（）（A ）直線在平面上（B）直線與平面平行但直線不在平面上（C ）直線與平面垂直

2、（D）直線與平面相交但不垂直2函數(shù) zfx, y 在點x0 , y0 處可微分，則（）（A） fx, y 在點x0 , y0 處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)1（B） fx, y 在點x0 , y0 處不一定連續(xù)（C） lim fx, y 存在x x0 y y0（D） fx, y在點 x, y的任一鄰域內(nèi)有界003設(shè) x ln y ，則 dz x 0 =（）zy 1（A） e（B） dx dy（C） dx dy（D ） e x ydx e x dy4若級數(shù)anx3n 在 x1處收斂，n1則此級數(shù)在 x4處 （）（A）斂散性不確定（B）發(fā)散（C）條件收斂（D）絕對收斂5函數(shù) zx 3y 33 x 23 y 29

3、 x 的極大值點為（）（A） 1,2（ B）3,0（C） 1,0（ D）3,2三、 ( 本題滿分8 分 )求通過兩點 M 11,1,1和 M2 0,1,1且垂直于平面 xyz1的平面方程四、 ( 本題滿分8 分 )設(shè) zxfxy, ey ，其中 fu, v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求z 和2z xx y五、 (本題滿分 8 分)2計算二重積分R2x2y2 dxdy，其中 D 是由圓周Dx2y2RyR 0 所圍成的閉區(qū)域六、 ( 本題滿分 8分 )計算對弧長的曲線積分2x 3y1 ds，L其中 L 是直線 yx2從點1,3到 1, 1 的直線段七、(本題滿分9 分)計算曲面積分x3dydzy3dzd

4、xz3dxdy，其中是球面 x2y2z2R2 的外側(cè)八、(本題滿分9 分)求微分方程y4 y 4 ye2 x 的通解九、 ( 本題滿分9 分 )求冪級數(shù)x4n1的收斂域及和函數(shù)n 1 4n1十、 ( 本題滿分11 分)已知函數(shù) uu x, y 有 duaxyxy bdy2y2 dxx22xy（ 1）求 a 、 b的值；（ 2）計算 Iaxyxybdy，L x2y2dx2y2x其中 L 為 x2y 21取正向南昌大學(xué) 20092010 學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷及答案一、 填空題 (每空 3 分，共 15 分)1. 設(shè) a2,3,5 ， b,1, 1 若 ab ，則4 .32. 空間曲線 xcos

5、t ， ysint， zt 在點2 , 2 , 處的切線方程是2242y2zx4 .222223. 計算積分I2 dy2sin xdx 1.0yx4. 設(shè)級數(shù)a收斂，b 發(fā)散，nnn1n1則級數(shù)anb必是發(fā)散.n1n1n x2 n5. 函數(shù) y4x2 展開成 x 的冪級數(shù)為n 014n 1 .三、 單項選擇題 (每小題 3分,共 15分)1. 直線 x2y2z3 與平面 xyz3314的關(guān)系是（A）（A ）直線在平面上（B）直線與平面平行但直線不在平面上（C ）直線與平面垂直（D）直線與平面相交但不垂直2函數(shù) zfx, y 在點x0 , y0 處可微分，則（C）（A） fx, y 在點x0 ,

6、 y0 處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)4（B） fx, y 在點x0 , y0 處不一定連續(xù)（C） lim fx, y 存在x x0 y y0（D） fx, y在點 x, y的任一鄰域內(nèi)有界003設(shè) x ln y ，則 dz x 0 = （ C）zy 1（A） e（B） dx dy（C） dx dy（D ） e x ydx e x dy4若級數(shù)anx3n 在 x1處收斂，n1則此級數(shù)在 x4處 （D）（A）斂散性不確定（B）發(fā)散（C）條件收斂（D）絕對收斂5函數(shù) zx 3y 33 x 23 y 29 x 的極大值點為 （ D ）（A） 1,2（ B）3,0（C） 1,0（ D）3,2三、 ( 本題滿分8 分

7、 )求通過兩點M 11,1,1 和 M 2 0,1,1且垂直于平面xyz1的平面方程解 :設(shè)已知平面法向量為n1 ，則 n1,1,1 ， MM21,0,211取 nnMM22,1, 111所求平面方程為2 x 1y1z 105即 2x y z 0四、 (本題滿分 8 分)設(shè) zxfxy, ey ，其中 fu, v 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求z 和2z xx y解 :令 uxyveyzx yuffx2 zxfu ey fv xf u xy xfuu ey fuvx2五、 ( 本題滿分8 分 )計算二重積分R2x2y2 dxdy，其中 D 是由圓周Dx2y2RyR0 所圍成的閉區(qū)域解 :R2x2y2

8、 dxdyRsinR22 d2 02 d 0D2233R3d1R34R33Rc o s390六、 ( 本題滿分 8分 )計算對弧長的曲線積分2x3y1，Lds其中 L 是直線 yx2從點1, 3到1,1的直線段解 : L 2 x3 y1 ds112x3 x2111dx211x7 d x1 426七、(本題滿分9 分)計算曲面積分x3dydzy3dzdxz3dxdy，其中 是球面 x2y2z2R2 的外側(cè)解 : x3dydz y3dzdxz3dxdy 3x2y2z2 dv3dsindr 4dr12R52R0005八、(本題滿分 9 分)求微分方程 y4 y4 y e2 x 的通解解 :先求 y4

9、 y4 y0的通解特征方程為 r 24r40，特征根 r1r22，所以對應(yīng)齊次方程的通解為YC1C2 xe2 x又設(shè)非齊次方程的特解為yAx2 e2x ，則 A1，所以特解為 y1 x2e2 x22所以 y 4 y4 y e2 x 的通解為：y Y yC1C2 x e2 x 1 x2e2 x2九、(本題滿分9 分)求冪級數(shù)x4n1的收斂域及和函數(shù)n 1 4n1x4 n 5un 1xlim4n5解 : （1） limx4nunxnx4 n 14n17當(dāng) x41時，即1 x1時原級數(shù)絕對收斂當(dāng) x1時，級數(shù)化為1，發(fā)散n 1 4n1當(dāng) x1時，級數(shù)化為n 1 4n1，發(fā)散1所以收斂域為1,1（2）設(shè)x4n1x ，則n 1 4n的和函數(shù)為 S1S xx 4n1x4n 1x4nx4()n 1 4n 1n 1 4n 1n 11 x4又S 0 0，所以xx41 ln1x1 arctan xdxxS xx40 141x2x1,1十、 ( 本題滿分11 分)已知函數(shù) uux, y 有 duaxydxxy bdy2y2x2