循環(huán)矩陣的探討

1、如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!四川師范大學(xué)本科畢業(yè)論文循環(huán)矩陣的探討學(xué)生姓名王云肖院系名稱數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級(jí) 2011級(jí) 3 班學(xué) 號(hào) 2011060344指導(dǎo)教師 柏明強(qiáng)完成時(shí)間 2015年5月5日 / 13如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!循環(huán)矩陣的探討數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生姓名：王云肖 指導(dǎo)教師：柏明強(qiáng)摘要: 本文主要介紹了一類特殊的矩陣-循環(huán)矩陣.介紹了循環(huán)矩陣的概念,代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),特征值和特征向量的概念以及求法,對(duì)角化問題.關(guān)鍵詞: 循環(huán)矩陣;特征值;特征向量;對(duì)角化. The discussion of cyclic matrixSp

2、ecialization: Mathematics and Applied MathematicsUndergraduate: Wang Yunxiao Supervisor: Bai MingqiangAbstract ： This article mainly introduces a special kind of matrix - cyclic matrix. It introduces the concept , the algebraic operation properties, the concept of eigenvalue and eigenvector and the

3、calculation method ,the problemof diagonalization of cyclic matrix.Key words: cyclic matrix, eigenvalue, eigenvector, diagonalizable.如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載! 目錄摘要:I1.循環(huán)矩陣的產(chǎn)生背景12.循環(huán)矩陣的代數(shù)性質(zhì)12.1循環(huán)矩陣的概念12.2循環(huán)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)23.循環(huán)矩陣的特征值與特征向量53.1循環(huán)矩陣特征值與特征向量的概念以及性質(zhì)53.2循環(huán)矩陣特征值與特征向量的一般求法63.2.1 基本計(jì)算法63.2.2 特殊法64.循環(huán)矩陣對(duì)角化

4、74.1循環(huán)矩陣可角化的概念以及性質(zhì)74.2對(duì)角化的應(yīng)用85.結(jié)束語9參考文獻(xiàn)：9如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!1.循環(huán)矩陣的產(chǎn)生背景 循環(huán)矩陣的概念是T Muir在1885年最先提出的, 一直到1950到1955年, Good等才對(duì)其逆, 行列式和特征值進(jìn)行研究. 循環(huán)矩陣是一種很重要的矩陣,在很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.如在數(shù)理統(tǒng)計(jì),編碼理論,理論物理,固態(tài)物理,數(shù)學(xué)圖象處理,分子軌道理論等方面應(yīng)用很廣.循環(huán)矩陣逆特征值問題,在力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì),分子結(jié)構(gòu)理論,線性多變量控制理論及數(shù)值分析等領(lǐng)域中也是有很廣泛的應(yīng)用的.因?yàn)檠h(huán)矩陣是現(xiàn)代科技工程中具有廣泛應(yīng)用的一種特殊矩陣,具有很好

5、的性質(zhì)和結(jié)構(gòu),所以對(duì)于循環(huán)矩陣的研究非?；钴S. 和一般矩陣相比,循環(huán)矩陣具有和其相似的性質(zhì),比如秩, 特征值, 特征向量等都是一般矩陣性質(zhì)的重要部分.對(duì)于循環(huán)矩陣的研究愈加深入同時(shí)也加深了對(duì)一般矩陣的認(rèn)識(shí),同時(shí)對(duì)于一般矩陣的性質(zhì)探索也有一定幫助. 從1950年提出了循環(huán)矩陣的概念以來,尤其是近年來,循環(huán)矩陣類已然成為了矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)非?；钴S的和重要的研究方向,許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)它進(jìn)行了大量探索,并且得出很多成果.各種新的循環(huán)矩陣概念被提出,已有十幾種.如向后循環(huán)矩陣,循環(huán)布爾矩陣, r-循環(huán)矩陣,g-循環(huán)矩陣,塊循環(huán)矩陣等. 迄今為止,有關(guān)循環(huán)矩陣的理論知識(shí)還不是很完善,但是在實(shí)際

6、生活中循環(huán)矩陣的應(yīng)用還是很廣泛的,因此數(shù)學(xué)工作者對(duì)循環(huán)矩陣的探索仍在進(jìn)行著.其中對(duì)于它的逆矩陣求法是許多國家數(shù)的學(xué)工作者研究的一個(gè)重要方向.但是對(duì)于循環(huán)矩陣的代數(shù)性質(zhì),特征值,特征向量以及對(duì)角化問題研究的還不是很多,而對(duì)于這類特殊的矩陣循環(huán)矩陣來說這是基本的.2.循環(huán)矩陣的代數(shù)性質(zhì)2.1循環(huán)矩陣的概念定義1 具有如下形式的n階方陣的C稱為一個(gè)n階循環(huán)矩陣, 又稱輪換矩陣,C=, 顯然, C由其首行元素唯一確定, 簡記為C=circ(a0,a1,an-1).特別地, n階循環(huán)矩陣K= circ(0,1,0,0)=, 稱為單位循環(huán)矩陣或循環(huán)置換矩陣或移位矩陣.0如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕

7、下載!性質(zhì)1 C=a0K0+ a1+a2+an-1.性質(zhì)21 設(shè)f (x)= a0+a1x+an-1x n-1, 則C=f (K).2.2循環(huán)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)A, B是兩個(gè)n階循環(huán)矩陣, 則A+B是循環(huán)矩陣.證明 設(shè)循環(huán)矩陣A, B為A=, B=, 則A+B= circ(a0+b0,a1+b1,an-1+bn-1),根據(jù)定義, 則A+B也為循環(huán)矩陣. 性質(zhì)4 設(shè)A, B是兩個(gè)n階循環(huán)矩陣, 則AB是循環(huán)矩陣, 且AB=BA.證明 設(shè)則 其中.因?yàn)椋渲衪為非負(fù)整數(shù), 所以其中c2n-1=0. 所以AB=circ(c0+cn, c1+cn+1, cn-2+c2n-2, cn-1)是循環(huán)矩

8、陣.又因?yàn)閒 (x)g(x) = g(x) f (x), 則AB=.性質(zhì)5 設(shè)A是一個(gè)n階循環(huán)矩陣, a是數(shù)域P中的一個(gè)數(shù), 則aA是循環(huán)矩陣.1如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!證明 設(shè)循環(huán)矩陣A=, 則B=aA= circ(aa0,aa1,aan-1), 故aA為循環(huán)矩陣, 得證.性質(zhì)6 設(shè)A是一個(gè)n階循環(huán)矩陣, 則A的轉(zhuǎn)置矩陣AT是循環(huán)矩陣.證明 設(shè)有一個(gè)循環(huán)矩陣A=, 則循環(huán)矩陣A的轉(zhuǎn)置為AT= circ(a0,an-1,a1), 從而結(jié)論成立.性質(zhì)7 設(shè)A是一個(gè)n級(jí)可逆循環(huán)矩陣, 則A的逆矩陣A-1是循環(huán)矩陣.證明：根據(jù)性質(zhì)4，兩個(gè)循環(huán)矩陣A, B的乘積是循環(huán)矩陣, 因而只要

9、找到循環(huán)矩陣B, 使得AB=En, 問題即可解決.設(shè) (,為待定常數(shù)), 則,2如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!其中, s=0,1,2n-1. 要使得AB=E, 其必要條件是使得下列方程組成立：,方程組可以改寫為,顯然，上述方程組的系數(shù)矩陣為循環(huán)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣, 是可逆的, 因而根據(jù)Cramer法則，該方程組存在唯一的一組解(, ,), 從而B是唯一確定的, 即是A的逆矩陣, 因此A的逆矩陣是循環(huán)矩陣.推論1 設(shè)A為n階可逆循環(huán)矩陣, 則循環(huán)矩陣A 的伴隨矩陣A也是循環(huán)的.性質(zhì)8 設(shè)A是一個(gè)n級(jí)可逆循環(huán)矩陣, 則A的Moore-Penrose逆+也為循環(huán)矩陣. 性質(zhì)9 設(shè)A, B是

10、兩個(gè)n階循環(huán)矩陣, 則A與B的Hadamard積AB是循環(huán)矩陣. 即是, 設(shè)A= circ(a0,a1,an-1), B= circ(b0,b1,bn-1), 則AB= circ(a0b0,a1b1,an-1bn-1)是循環(huán)矩陣.性質(zhì)10 設(shè)A, B是兩個(gè)n階循環(huán)矩陣, 則A與B的Fan積AB是循環(huán)矩陣. 證明 設(shè)A=, B=, 則3如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!AB= =circ(a0b0,-a1b1, -an-1bn-1)是循環(huán)矩陣.3.循環(huán)矩陣的特征值與特征向量3.1循環(huán)矩陣特征值與特征向量的概念以及性質(zhì)定義2 設(shè)A是數(shù)域P上的n階循環(huán)矩陣,則稱關(guān)于l的多項(xiàng)式|E-A|為A的

11、特征多項(xiàng)式, 其在復(fù)數(shù)域C上的根為循環(huán)矩陣A的特征值.若是n階循環(huán)矩陣A的特征值, 那么齊次線性方程組(E-A)X=0的非零解則稱為循環(huán)矩陣A 的屬于特征值的特征向量.設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換, 如果對(duì)于數(shù)域P中的一數(shù)0，存在一個(gè)非零向量, 使得=0, 那么0成為的一個(gè)特征值, 而稱為的屬于特征值0的一個(gè)特征向量.性質(zhì)11 設(shè)是循環(huán)矩陣A的特征值, 且循環(huán)矩陣A是可逆的, 則-1是A-1的特征值.證明 設(shè)1,2,n為循環(huán)矩陣A的特征值, 則|A|=12n0, 所以i0(i=1, 2, , n). 設(shè)屬于循環(huán)矩陣A的特征值的特征向量為, 則A=, 那么, 則=, 因?yàn)檠h(huán)矩陣A的特征

12、值最多只有n個(gè), 所以是的特征值.性質(zhì)12 若是n階循環(huán)矩陣A的特征值, f (x)是數(shù)域P上的任意一個(gè)多項(xiàng)式, 那么f ()是f (A)的特征值.證明 設(shè)是循環(huán)矩陣A的特征向量, , 那么A=, 進(jìn)而Ai=i所以,因此f ()也是f(A)的特征值.性質(zhì)13 設(shè)n階循環(huán)矩陣A每一行元素之和為a, 那么a必是A的特征值.4如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!證明 設(shè)循環(huán)矩陣A=, 則由題設(shè)條件可知： =a所以a是循環(huán)矩陣A的特征值.3.2循環(huán)矩陣特征值與特征向量的一般求法3.2.1 基本計(jì)算法基本步驟：1) 求出循環(huán)矩陣A的特征多項(xiàng)式;2) 求出=0的所有根;3) 解齊次線性方程組X=0,

13、 其基礎(chǔ)解系就是循環(huán)矩陣A的特征根線性無關(guān)的特征向量.3.2.2 特殊法 第一步：對(duì)于單位循環(huán)矩陣K=circ(0,1,0,0), 其特征方程為ln-1,其特征值為1,w,w2, wn-1(其中), 第二步：由于循環(huán)矩陣A= circ(a0,a1,an-1)=f(K), 根據(jù)性質(zhì)12, 則矩陣A的特征值為1, f(w), f(w2), f(wn-1). 第三步：設(shè)rk=wk (k=0,1,2,n-1), 則屬于A的特征值=f (wk )的特征向量為 . 5如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!4.循環(huán)矩陣對(duì)角化4.1循環(huán)矩陣可角化的概念以及性質(zhì) 定義3 對(duì)于n階矩陣A，如果存在n階可逆矩陣

14、T使得T-1AT為對(duì)角陣，則稱A可以對(duì)角化. 引理 任意n階循環(huán)矩陣A在復(fù)數(shù)域C上都是可對(duì)角化的. 證明 取n階可逆矩陣,其中且.根據(jù) A為n階循環(huán)矩陣, 可設(shè)A= , 從而 推論2 任意循環(huán)矩陣A可以表示成n個(gè)循環(huán)矩陣Ai (i=1, 2, ., n). 證明 由引理,則,那么 =. 其中Eij是第i行第j列位置元素為1, 其余為0的n級(jí)矩陣.性質(zhì)14 設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n階循環(huán)矩陣, 是循環(huán)矩陣A的不同的特征根, 那么存在n階循環(huán)矩陣, 使得(1) A=；(2) =E, E為單位矩陣；6如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!(3) . 證明：(1) 因?yàn)檠h(huán)矩陣A是可對(duì)角化的, 那么

15、就存在數(shù)域P上的一個(gè)n階可逆矩陣D, 使得DAD=C, 其中的重?cái)?shù)是(i=1,2,t), 因?yàn)?C=+, 所以 =+, 令, 則A=.由推論2以及性質(zhì)3和性質(zhì)5可知為循環(huán)矩陣.(2) 因?yàn)?diag(0,.,0,0,0) (i=1,2,t), 所以+=E, 進(jìn)而+=E, 所以+=E.(3) =, 那么.4.2對(duì)角化的應(yīng)用例4 將循環(huán)矩陣A對(duì)角化, 其中A=.7如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!解 令 f (x) = 1+2x + 3x2 + 4x3, A=fA (K), 其中K=, 由于, 所以其特征值為：fA (1)=10, fA(h)=-2-2i, fA(h2) =-2, fA(h

16、3)=-2+2i, T=1/2, T=1/2, 可驗(yàn)證：TAT -1=diag(10, -2-2i, -2, -2+2i).5.結(jié)束語 迄今為止, 對(duì)循環(huán)矩陣的認(rèn)識(shí)還處在初級(jí)階段.需要更加深入地探索學(xué)習(xí).其應(yīng)用是一個(gè)很重要的研究方向,并且隨著研究的深入, 循環(huán)矩陣的應(yīng)用越來越廣泛.參考文獻(xiàn)：1 徐仲. 矩陣類的快速算法M. 西安：西北工業(yè)大學(xué)出版, 2001.2 王萼芳. 高等代數(shù)教程M. 北京：清華大學(xué)出版社,1996.3 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等代數(shù)M. 北京：高等教育出版社, 1999.4 威爾全集. 代數(shù)特征值問題M. 北京：科學(xué)出版社, 2001.5 張賢科, 許莆華. 高等代數(shù)學(xué)M. 北京：清華大學(xué)出版社,1998.6 劉生. 矩陣對(duì)角化與循環(huán)矩陣J. 九江職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2006.7 張愛萍. 循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其對(duì)角化J. 廣西師院學(xué)報(bào), 2000,17(4):10-13.8 陳景良, 陳向暉. 特殊矩陣M. 北京：清華大學(xué)出版社, 2001.9 王萼芳, 石生明. 高等代數(shù)M. 北京：高等教育出版社,2003.10張盛虞. 關(guān)于循環(huán)矩陣的一些性質(zhì)J. 黔東南民族師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào), 2006,6(24):