空間解析幾何例題

1、空間解析幾何例題第4章向量代數(shù)與空間解析幾何習(xí)題解答習(xí)題4.1一、計(jì)算題與證明題1已知, , , 并且 計(jì)算解：因?yàn)? , , 并且所以與同向，且與反向因此，所以2已知, , 求解： （1） （2）得所以 3設(shè)力作用在點(diǎn), 求力對(duì)點(diǎn)的力矩的大小解：因?yàn)?所以力矩 所以，力矩的大小為4已知向量與共線, 且滿(mǎn)足, 求向量的坐標(biāo)解：設(shè)的坐標(biāo)為，又則 （1）又與共線，則即所以即 （2）又與共線，與夾角為或整理得 （3）聯(lián)立解出向量的坐標(biāo)為5用向量方法證明, 若一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分, 則該四邊形為平行四邊形證明：如圖所示，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，則有由矢量合成的三角形法則有所以即平行且等于

2、四邊形是平行四邊形6已知點(diǎn), 求線段的中垂面的方程解：因?yàn)?中垂面上的點(diǎn)到的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由得化簡(jiǎn)得這就是線段的中垂面的方程。7向量, , 具有相同的模, 且兩兩所成的角相等, 若, 的坐標(biāo)分別為, 求向量的坐標(biāo)解：且它們兩兩所成的角相等，設(shè)為則有則設(shè)向量的坐標(biāo)為則 （1） （2）所以 （3）聯(lián)立（1）、（2）、(3)求出或所以向量的坐標(biāo)為或8已知點(diǎn), , , ，(1) 求以, , 為鄰邊組成的平行六面體的體積(2) 求三棱錐的體積(3) 求的面積(4) 求點(diǎn)到平面的距離解：因?yàn)椋?所以（1）是以它們?yōu)猷忂叺钠叫辛骟w的體積（2）由立體幾何中知道，四面體（三棱錐）的體積（3）因?yàn)椋?/p>

3、 所以，這是平行四邊形的面積因此(4)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由立體幾何使得三棱錐的體積所以習(xí)題4.2一、計(jì)算題與證明題1求經(jīng)過(guò)點(diǎn)和且與坐標(biāo)平面垂直的平面的方程解：與平面垂直的平面平行于軸，方程為 (1)把點(diǎn)和點(diǎn)代入上式得 (2) (3) 由（2），（3）得, 代入（1）得 消去得所求的平面方程為2求到兩平面和距離相等的點(diǎn)的軌跡方程解；設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由點(diǎn)到平面的距離公式得 所以3已知原點(diǎn)到平面的距離為120, 且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為, 求 的方程 解：設(shè)截距的比例系數(shù)為，則該平面的截距式方程為 化成一般式為 又因點(diǎn)到平面的距離為120，則有求出 所以，所求平面方程為4若點(diǎn)在平面上的投影為, 求平

4、面的方程 解：依題意，設(shè)平面的法矢為 代入平面的點(diǎn)法式方程為 整理得所求平面方程為5已知兩平面與平面相互垂直，求的值 解：兩平面的法矢分別為，由，得 求出6已知四點(diǎn), , , , 求三棱錐中 面上的高解：已知四點(diǎn),則 由為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積為 由立體幾何可知，三棱錐的體積為 設(shè)到平面的高為則有 所以 又 所以， 因此，7已知點(diǎn)在軸上且到平面的距離為7, 求點(diǎn)的坐標(biāo) 解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)到平面的距離公式，得 所以則那么點(diǎn)的坐標(biāo)為8已知點(diǎn)在軸上且到點(diǎn)與到平面的距離相等, 求點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到平面的距離公式得 化簡(jiǎn)得 因?yàn)?方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所

5、以要滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)不存在。習(xí)題4.3一計(jì)算題與證明題1求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線和都平行的平面的方程解：兩已知直線的方向矢分別為，平面與直線平行，則平面的法矢與直線垂直由，有 （1）由，有 （2）聯(lián)立（1），（2）求得,只有又因?yàn)槠矫娼?jīng)過(guò)點(diǎn)，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。2求通過(guò)點(diǎn)P(1，0，-2)，而與平面3x-y+2z-1=0平行且與直線相交的直線的方程解：設(shè)所求直線的方向矢為，直線與平面平行，則，有 （1）直線與直線相交，即共面則有所以 （2）由（1），（2）得，即取，得求作的直線方程為3求通過(guò)點(diǎn))與直線的平面的方程解：設(shè)通過(guò)點(diǎn)的平面方程為即 (1)又直線在平面上，則直線

6、的方向矢與平面法矢垂直所以 (2)直線上的點(diǎn)也在該平面上，則 （3）由（1），（2），（3）得知，將作為未知數(shù)，有非零解的充要條件為即，這就是求作的平面方程。4求點(diǎn)到直線的距離解：點(diǎn)在直線上，直線的方向矢 ,則與的夾角為所以因此點(diǎn)到直線的距離為5取何值時(shí)直線與軸相交?解：直線與軸相交，則有交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程得，求得6平面上的直線通過(guò)直線：與此平面的交點(diǎn)且與 垂直, 求的方程解：依題意，與的交點(diǎn)在平面上，設(shè)通過(guò)交點(diǎn)的平面方程為即 （1）已知直線的一組方向數(shù)為所以 由直線與平面垂直得所以得將，代入（1）得化簡(jiǎn)得故所求直線方程為7求過(guò)點(diǎn)且與兩平面和平行直線方程解：與兩平面平行的直線與這兩個(gè)平面的

7、交線平行，則直線的方向矢垂直于這兩平面法矢 所確定的平面，即直線的方向矢為將已知點(diǎn)代入直線的標(biāo)準(zhǔn)方程得8一平面經(jīng)過(guò)直線（即直線在平面上）：，且垂直于平面，求該平面的方程解：設(shè)求作的平面為 (1)直線在該平面上，則有點(diǎn)在平面上，且直線的方向矢與平面的法矢垂直所以 (2) (3)又平面與已知平面垂直，則它們的法矢垂直所以 (4)聯(lián)立(2),(3),(4)得代入（1）式消去并化簡(jiǎn)得求作的平面方程為習(xí)題4.4一計(jì)算題與證明題1一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離是它到的距離的兩倍, 求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，得化簡(jiǎn)得2已知橢圓拋物面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，xOy面和xOz面是它的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面，且過(guò)點(diǎn)(6，1，2

8、)與, 求該橢圓拋物面的方程解：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，面和面是它的對(duì)稱(chēng)面的橢圓拋物線方程為代入已知點(diǎn)，得聯(lián)立求出代入（1）式得化簡(jiǎn)得求作的橢圓拋面方程為3求頂點(diǎn)為，軸與平面x+y+z=0垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn))的圓錐面的方程解：設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，該圓錐面的軸線與平面 垂直，則軸線的方向矢為，又點(diǎn)與點(diǎn)在錐面上過(guò)這兩點(diǎn)的線的方向矢為，點(diǎn)與點(diǎn)的方向矢為，則有與的夾角和與的夾角相等，即化簡(jiǎn)得所求的圓錐面方程為 4已知平面過(guò)軸, 且與球面相交得到一個(gè)半徑為2的圓, 求該平面的方程解：過(guò)軸的平面為 （1）球面方程化為表示球心坐標(biāo)為到截面圓的圓心的距離為,如題三.4圖所示由點(diǎn)到平面的距離公式為化簡(jiǎn)得解關(guān)于A的一

9、元二次方程地求出分別代入(1)式得消去得所求平面方程為或5求以, 直線為中心軸的圓柱面的方程 解:如習(xí)題三.5所示,圓柱面在平面上投影的圓心坐標(biāo)為,半徑為,所以求作的圓柱面方程為6求以, 經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓柱面的方程 解:設(shè)以軸為母線的柱面方程為 (1) 因?yàn)辄c(diǎn),在柱面上,則有 (2) (3) 則 (4)聯(lián)立(2),(3),(4)求出,代入(1)式得所求的柱面方程為7根據(jù)的不同取值, 說(shuō)明表示的各是什么圖形解:方程 (1)時(shí),(1)式不成立,不表示任何圖形;時(shí),(1)式變?yōu)?表示雙葉雙曲線;時(shí),(1)式變?yōu)?表示單葉雙曲線;時(shí),(1)式變?yōu)?表示橢球面;時(shí),(1)式變?yōu)?表示母線平行于軸的橢圓柱面;時(shí)

10、,(1)式變?yōu)?表示雙曲柱面;時(shí),(1)式變?yōu)?不表示任何圖形;8已知橢球面經(jīng)過(guò)橢圓與點(diǎn), 試確定的值解:因?yàn)闄E球面經(jīng)過(guò)橢圓與點(diǎn),則有所以代入(2)得即復(fù)習(xí)題四一、計(jì)算與證明題1已知, , , 并且 計(jì)算 解: , , , 且 則. 所以2設(shè)力作用在原點(diǎn)點(diǎn), 求力對(duì)點(diǎn)的力矩的大小解:原點(diǎn)坐標(biāo),則，對(duì)的力矩為力矩的大小為3已知點(diǎn), 求線段的中垂面的方程解：已知點(diǎn), ，設(shè)的中垂面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間的距離公式得 化簡(jiǎn)得 4已知平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為且的體積為80, 又在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為, 求的方程解：設(shè)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為，則平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為所以， 因此， 平面的方程為5已知兩平面與平面相互垂直, ,求的值 解：平面， 平面， 與垂直，則，所以 即 所以6取何值時(shí)直線與軸相交? 解：直線與軸相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線方程為 （1） （2） （1）+（2）得，而原點(diǎn)不在直線上，故，所以 7設(shè)圓柱面過(guò)直線, 以及軸, 求的方程 解：直線是平面與的平面的交線，在平面上，與軸的距離為6且平行與軸 直線，過(guò)點(diǎn)，方向矢為也平行于軸，所以該圓柱面的母線平行于軸，