(word完整版)高數(shù)一試題及答案推薦文檔.doc

1、 高等數(shù)學(xué) ( 一 ) 復(fù)習(xí)資料一、選擇題1.若 limx2x k5 ，則 k（）x3x3A.3B.4C.5D.62.若 limx2k，則 k （）2x1x 1A.1B.2C.3D.43.曲線 yex3sin x1在點(diǎn)（ 0，2）處的切線方程為 ()A. y 2x 2B.y2x 2C.y 2x 3 D. y2x 34. 曲線 y ex 3sin x 1在點(diǎn)（ 0，2）處的法線方程為 ( )A. y1 x 2 B. y1 x 2 C. y1 x 3 D. y1 x 322225.x21lim( )x 1 sin xA. 0B.3C.4D.56. 設(shè)函數(shù) f (x)x1)(t2)dt ，則 f (

2、3) =（）(t0A 1B2C3D47.求函數(shù) y2x44x32 的拐點(diǎn)有（ ）個(gè)。A 1B 2C 4D 08.當(dāng) x時(shí)，下列函數(shù)中有極限的是（）。A.sin xB.1C.x1D.arctanxexx219.已知 f (3)=2 ， limf (3h)f (3)() 。h02hA.3B.3C.1D. -12210. 設(shè)42則f (0)為f (x)在區(qū)間2,2上的（）。f ( x)=x 3x5 ,A. 極小值B. 極大值C. 最小值D. 最大值11.設(shè)函數(shù) f ( x) 在 1,2 上可導(dǎo)，且 f ( x)0, f (1)0, f (2)0, 則 f ( x) 在 (1,2) 內(nèi)()A. 至少有

3、兩個(gè)零點(diǎn)B. 有且只有一個(gè)零點(diǎn)C. 沒有零點(diǎn)D. 零點(diǎn)個(gè)數(shù)不能確定12. f (x)xf (x) dx().A. f (x) CB. f (x)CC. xf (x)CD. f 2 ( x)C13. 已知 yf 2 (ln x2 ) ，則 y( C )A.2 f (ln x2 ) f (ln x2 ) B.4 f (ln x2 )C.4 f (ln x2 ) f (ln x2 ) D.2 f (ln x2 ) f ( x)x2xxx214. d f ( x) =( B)A.f ( x)CB.f (x)C.f (x)D.f ( x)C15.2ln xdx( D )xln x CA.2x ln xC

4、B.C.2lnxC D.ln xC2x16.lim x21( )x 1 ln xA. 2B.3C.4D.517.設(shè)函數(shù) f (x)x1)(t2)dt ，則 f( 2)=（）(t0A 1B0C2D218. 曲線 y x3 的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3)19.已知 y f(ln x) ，則 y ( A)A.f(ln x)B.f (ln x)C. f (ln x)D.f (ln x)xx20.ddf ( x)( A)A.df ( x)B.f (x)C.df ( x)D.f ( x)C21. ln xdx ( A )A.x ln xxCB.ln

5、xxCC.ln xxD.ln x二、求積分（每題8 分，共 80 分）1求cos xsin xdx2.求3 43ln x dx x3.求arctan xdx 3 x4. 求 e dx5.求x3dx x25x66.8dx求定積分0 13 x7.計(jì)算x2 cosxdx 08.求1dx x22x89.求dx13x211.求22xe x2dx112.求 3x23x3 dx13.求e ln 2 x1dxx14.求 x3x2 dx三、解答題1.若 lim 3xax2x11 , 求 ax62.討論函數(shù)f (x)1 x3 2x2 3x 3的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間33.求函數(shù) f ( x)x2x 2 的間斷點(diǎn)并確

6、定其類型x24.設(shè) xy2sin xexy ,求 y .5.求y(x1)3 x2的導(dǎo)數(shù)(x3)56.求由方程xa costyb sin t確定的導(dǎo)數(shù) yx .1ex , x 07.函數(shù) f ( x)1, x0在 x0 處是否連續(xù)？tan x, x01ex , x 08.函數(shù) f ( x)1, x0在 x0 處是否可導(dǎo)？tan x, x09.求拋物線 yx2 與直線 y x 所圍成圖形 D 的面積 A .10.計(jì)算由拋物線y22x 與直線 y x 4 圍成的圖形 D 的面積 A .11. 設(shè) y 是由方程 y sin y xey 確定的函數(shù)，求 y12. 求證：ln xx1,x113. 設(shè) y

7、是由方程 y 1 xey 確定的函數(shù)，求 y14. 討論函數(shù)f (x)2x39x212x3 的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間15. 求證： ex 2x 1,16. 求函數(shù) f (x)x(1x3) 的間斷點(diǎn)并確定其類型xx五、解方程1.求方程 y 2 dx(x 2xy)dy 0 的通解 .2.求方程 yyy 20的通解 .3.求方程 y2 yyx2 的一個(gè)特解 .4.求方程 y5 y9 y5xe 3x 的通解 .高數(shù)一復(fù)習(xí)資料參考答案一、選擇題1-5： DABAA6-10： DBCDD11-15： BCCBD16-21： ABAAAA二、求積分1求cos xsin xdx3解： cosxsin xdxsi

8、n xd (sin x)2 sin 2xC2sin 3 x C332.求343ln x dx x34 3ln x dx111 d (4 3ln x)解：(43ln x) 3 d (ln x)(43ln x)3x31 (443ln x) 3C 43.求arctan xdx 解：設(shè) u arctan x， dvdx ，即 vx ，則arctan xdx x arctan xxd (arctan x)x arctan xxdx12xx arctan x1 ln(1x2 )C 23 x4. 求 e dx33x dx xtet 3t 2 dt 3 t2 et dt 3t 2et3 et 2tdt 3t

9、2et6 tet dt解： e3t 2et6tet6 et dt3t 2 et6tet6etC33 x22 3 x 2) C 3e x (x 35. 求x2 5x 6 dx 解：由上述可知x356，所以x25x6x2x3x2x 3dx(56 )dx51dx 61 dx5x 6x 2 x 3x 2x 35ln x26ln x3C 8dx6. 求定積分30 1x解：令 3x t ，即 xt3 ，則 dx3t 2dt ，且當(dāng) x0 時(shí)， t0 ；當(dāng) x8 時(shí)， t2 ，于是8dx2 3t 2dt1t2tln(1t)20 13 x1 t33ln 30207. 計(jì)算x2 cosxdx 0解：令 u x2

10、 ， dvcosxdx ，則 du2xdx ， vsin x ，于是0x2 cosxdxx2d sin x ( x2 sin x) 02x sin xdx 2 xsin xdx 000再用分部積分公式，得x2 cosxdx2xd cos x 2(x cos x) 0cos xdx0002(x cos x) 0sin x 02 8. 求12dx x2x 8解：x21dx1d( x1)1 ln 3( x 1)C2x 8( x 1)296 3( x 1)1 ln 2xC 6 4x9. 求dx3 x12解：令 u3 x2 ，則 xu32 ， dx3u 2du ，從而有1dx23u2du3u21 1 d

11、u3x1u1u3 (u 11 )du 3( u2u ln 1 u ) C1u211.求22xe x2dx122dx22dx2e x22e 4e 1解：2xe xe x11112.求 3x23x3 dx23解： 3x2 3 x3 dx3 x3 d (3 x3 )(3 x3 )2C313. 求e ln 2xdx1 xe ln 2xe1e11ln2xd (ln x)ln x解：dxln e1x1313314.求 x3 x2 dx112313解：x 3 x2 dx3 x2 d (3 x2 )(3 x2 ) 2C(3 x2 ) 2C2233三、解答題1. 若 lim 3xax2x11 , 求 ax6解：

12、因?yàn)?3xax2x19x2ax2x1 ，所以 a 93xax2x1否則極限不存在。2.討論函數(shù)f (x)1 x3 2x2 3x 3 的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間3解： f ( x)x24x3由f ( x)x24x30 得 x11,x23所以f (x) 在區(qū)間(,1)上單調(diào)增，在區(qū)間(1,3) 上單調(diào)減，在區(qū)間(3,) 上單調(diào)增。3. 求函數(shù) f ( x)x2x 2 的間斷點(diǎn)并確定其類型x2解：函數(shù)無定義的點(diǎn)為 x2，是唯一的間斷點(diǎn)。因 lim f (x) 3 知 x2 是可去間斷點(diǎn)。x 24. 設(shè) xy2sin xexy ,求 y .解： y22xy ycos x exy ( y y ) ,故 yy

13、( exyy)cos xx(2 yexy)5. 求 y(x 1)3x2的導(dǎo)數(shù)(x3)5解：對(duì)原式兩邊取對(duì)數(shù)得：1ln y3ln( x1)2 ln( x 2) 5ln( x 3),于是y3115,yx 12x 2x3故y(x 1)3 x 2 3115 .( x 3)5x 1 2x 2 x 36.求由方程xa cost確定的導(dǎo)數(shù) yx .yb sin t解 :yxy (t)b costb2. xx (t)a sin ta 2y1ex , x 07.函數(shù) f ( x)1, x 0在 x0 處是否連續(xù)？tan x, x 01解： limf ( x)lim ex0x 0x 0lim f (x)limta

14、n x0x 0x 0故在 x0 處不連續(xù)。1ex , x 08. 函數(shù) f ( x)1, x0在 x0處是否可導(dǎo)？tan x, x01解：因?yàn)?limf ( x)f (0)limex1xxx 0x 0所以在 x0 處不可導(dǎo)。9.求拋物線yx2 與直線 y x 所圍成圖形 D 的面積 A .解:yxx0x1，見圖 6-9，所以該圖求解方程組yx2 得直線與拋物線的交點(diǎn)為y0，y1形 在 直線 x0 與 x=1之間 ， yx2 為 圖 形的 下邊 界 ， yx 為 圖形 的 上邊 界， 故11Ax x2dx1 x2x31020301.610.計(jì)算由拋物線y22x 與直線 yx4 圍成的圖形D 的面

15、積 A .解：求解方程組y22x得拋物線與直線的交點(diǎn)(2,2) 和 (8, 4)，見圖 6-10，下面分兩種yx 4方法求解 .方法 1圖形 D 夾在水平線 y2與 y4 之間，其左邊界 xy24 ，右邊界 x y24y2y2y34故Ay4dy4y18 .22262方法 2圖形 D 夾在直線 x0 與 x8 之間，上邊界為y2x ，而下邊界是由兩條曲線y2x 與 yx4 分段構(gòu)成的，所以需要將圖形D 分成兩個(gè)小區(qū)域D1， D2，故A22x(2x) dx8x4dx02x2223 2223x2822x2x4x18.3320211.設(shè) y 是由方程 ysin yxey 確定的函數(shù)，求y解：兩邊對(duì) x

16、 求導(dǎo)得y y cos yeyxe y y 整理得 y ey1cos yxey12. 求證： ln xx1,x1證明：令 f (x)(x1)ln x因?yàn)?f (x)1x101xx所以 f ( x)0，x1。13. 設(shè) y 是由方程y1xe y 確定的函數(shù)，求y解：兩邊對(duì)x 求導(dǎo)得y eyxe y y ey整理得 y 1xey14. 討論函數(shù) f (x)2x39x212x 3 的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間解： f ( x)6x218x12由 f (x)6x218x120 得 x11, x22所以 f (x) 在區(qū)間 (,1) 上單調(diào)增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)減，在區(qū)間 (2,) 上單調(diào)增。15. 求證

17、： ex 2x 1證：令 f ( x)ex2x1因?yàn)?f (x)ex2 0 得 xln 2 ，又因?yàn)?f (ln 2) 2 2ln 2 1 0所以 f ( x)0 。16. 求函數(shù) f (x)x(1 x3) 的間斷點(diǎn)并確定其類型xx解：由分母 x x30 得間斷點(diǎn) x0, x 1 。因 limf ( x)1 知 x0 是可去間斷點(diǎn)；x 0因 limf ( x)lim1x1知 x1 也是可去間斷點(diǎn)22x 1x 1 1x因 limf (x)lim1x1 知 x1 也是可去間斷點(diǎn)x1x1 1x22四、解方程1.求方程 y 2 dx( x2xy)dy0 的通解 . dyy 2x2dxxyx 2dy(

18、y )2xdxy1xuydyux duxdxdxuduu 2xdxu 1dxu1 duxuln xuln u ln Cxc euuyyuyCe x .x2. yy y 20d( yy )0yy c14dy2 c1 dxy2c1 xc283.y 2 yyx2.q10 P2 (x)x2yAx2Bx C ,則代入原方程有y2 Ax B, y2A .Ax2(4AB) x(2 A2BC )x2 .A1比較兩邊同次冪的系數(shù)得4AB0，2A2BC0解得A1,B4, C6,所以，所求的特解為yx24x6 .4.求方程 y5 y9 y5xe 3x 的通解 .解分兩步求解 .（ 1）求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 .對(duì)應(yīng)齊次方程y5 y9 y0 ,特征方程為r 26