295660029567數學分析上下冊華東師范大學數學系122

1、 收斂性是級數研 究中最基本的問題, 本 節(jié)將對最簡單的正項 級數建立收斂性判別 法則. 2 正項級數 數學分析 第 十二章 數項級數 *四、拉貝判別法 三、積分判別法 一、正項級數收斂性的一 般判別原則 二、比式判別法和根式判 別法 *點擊以上標題可直接前往對應內容 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 正項級數收斂性的一般判別原則 若數項級數各項的符號都相同若數項級數各項的符號都相同, , 則稱為同號級數則稱為同號級數. . 對于同號級數對于同號級數, , 只須研究各項都是由正數組成

2、的級只須研究各項都是由正數組成的級 數數(稱正項級數稱正項級數). . 由級數與其部分和數列的關系，得：由級數與其部分和數列的關系，得： 后退 前進 目錄 退出 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 定理12.5 證證 所以所以Sn是遞增數列是遞增數列. . 單調數列收斂的充要條件是單調數列收斂的充要條件是 定理定理).). 僅靠定義和定理僅靠定義和定理12.5來判斷正項級數的收斂性是不來判斷正項級數的收斂性是不 容易的，容易的， 斂性判別法則斂性判別法則

3、. . 收斂的充要條件是收斂的充要條件是: 有界有界, 即存在某正數即存在某正數M, 對一切正整數對一切正整數 n 有有 而而 這就證明了定理的結論這就證明了定理的結論. 該數列有界該數列有界(單調有界單調有界 正項級數收斂性的一 般判別原則 部分和數列部分和數列 因此要建立基于級數一般項本身特性的收因此要建立基于級數一般項本身特性的收 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 定理12.6（比較原則） 如果存在某正數如果存在某正數N, , 對一切對一切 n N 都有都有 則則 證證 因為改

4、變級數的有限項并不影響原有級數的斂因為改變級數的有限項并不影響原有級數的斂 因此不妨設不等式因此不妨設不等式(1)對一切正整數都成立對一切正整數都成立. . 散性散性, 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 由由(1)式可得式可得, ,對一切正整數對一切正整數 n, 都有都有 則由則由(2)式對一切式對一切 n 有有 即正項級數即正項級數 的部分和數列的部分和數列 有有 由定理由定理12.5級數級數 收斂收斂, (ii)為為(i)的逆否命題的逆否命題, ,

5、自然成立自然成立. . 界界,這就證明了這就證明了(i). 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例1 解解 因為正項級數因為正項級數 收斂收斂 (1例例5的注的注), 比較原則和定理比較原則和定理12.3, 級數級數 也收斂也收斂. 故由故由 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例2 若級數若級數 證證 因為因

6、為 , 根據比較原則根據比較原則, 得到正項級數得到正項級數 收斂收斂. 在實際使用上在實際使用上, ,下面給出的極限形式通常更方便下面給出的極限形式通常更方便. . 而級數而級數 均收斂，均收斂， 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 推論（比較原則的極限形式） 設設 是兩個是兩個正項級數正項級數, ,若若 則則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別

7、法 證證 (i) 由由(3) 存在某正數存在某正數N, 當當 n N 時時, ,恒有恒有 或或 正項級數收斂性的一 般判別原則 由比較原則及由比較原則及(4)式得式得, 與與同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散. 這就證得了這就證得了(i). . 級數級數 時時, 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 (ii) 當當l = 0時時, ,由由(4)式右半部分及比較原則可得式右半部分及比較原則可得, , 級數級數 收斂收斂, 則級數則級數 也收斂也收斂. 則對于正數則對于正數1, , 當當n

8、 N 時時, , 都有都有 于是由比較原則知道于是由比較原則知道, 若級數若級數發(fā)散發(fā)散, 則級數則級數 也發(fā)散也發(fā)散. 若若 存在相應的正數存在相應的正數N, 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例3 級數級數 是收斂的是收斂的, 以及等比級數以及等比級數 收斂收斂, 因為因為 根據比較原則的極限形根據比較原則的極限形 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別

9、法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例4 正項級數正項級數 是發(fā)散的是發(fā)散的, 根據比較原則的極限根據比較原則的極限 形式以及調和級數形式以及調和級數 發(fā)散發(fā)散, 散散. . 因為因為 正項級數收斂性的一 般判別原則 也發(fā)也發(fā) 得到級數得到級數 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 *例例5 判斷正項級數判斷正項級數 的斂散性的斂散性. 解解 因為因為 故可將故可將 與與進進 行比較行比較. . 正項級數收斂性的一 般判別原則 由于由于 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育

10、出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 注意到注意到 所以所以 根據比較原則根據比較原則, 原級數收斂原級數收斂. 正項級數收斂性的一 般判別原則 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 比式判別法和根式判別法 本段所介紹的兩個方法是以等比級數作為比較對象本段所介紹的兩個方法是以等比級數作為比較對象 而得到的而得到的, , 特征就能作出判斷，不需要與已知級數進行比較特征就能作出判斷，不需要與已知級數進行比較. . 比式判別

11、法和根式判別 法 但在使用時只要根據級數一般項本身的但在使用時只要根據級數一般項本身的 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 定理12.7（達朗貝爾判別法，或比式判別法） 則級數則級數 收斂收斂. 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 把前把前n-1個不等式按項相乘后個不等式按項相乘后, ,得到得到 由于當由于當0 q N 時時, , 有有 N, 比式判別

12、法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 由上述不等由上述不等式式 的左半部分及比式判別法的的左半部分及比式判別法的 (i), 得正項級數得正項級數 是收斂的是收斂的. . 根據上述不等式的左半部分根據上述不等式的左半部分 及比式判別法的及比式判別法的 (ii), 可得級數可得級數 是發(fā)散的是發(fā)散的. 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例

13、例6 6 級數級數 由于由于 根據推論根據推論1，級數收斂，級數收斂. . 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例7 討論級數討論級數 的斂散性的斂散性. 解解 因為因為 根據推論根據推論1, ,當當 0 x 1時時級數發(fā)級數發(fā) 散散; 若若(7)中中q = 1, 這時用比式判別法不能對級數這時用比式判別法不能對級數 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法

14、 積分判 別法 *拉貝判別法 *推論2 例如級數例如級數它們的比式極限都是它們的比式極限都是 卻是發(fā)散的卻是發(fā)散的. 若某級數的若某級數的(7)式的極限不存在式的極限不存在, ,則可應用上、下極則可應用上、下極 限來判別收斂性限來判別收斂性. . 設設為正項級數為正項級數. 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 解解 由于由于 故有故有 于是當于是當c 1 1時時, 級數級數(8)收斂收斂; 但當但當b 1 c時時, ,比式判別法無法比式判別法無法 判斷級數的斂

15、散性判斷級數的斂散性. . 的斂散性的斂散性, 其中其中 0 b 1時時,級數發(fā)散級數發(fā)散; 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 定理12.8（柯西判別法，或根式判別法） 且存在某正數且存在某正數 為正為正項級數項級數, 設設 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 對對于情形于情形(ii), 由由(10)式可得式可得 不可能以零

16、為極限不可能以零為極限, 收斂的必要條件可知收斂的必要條件可知, 級數級數 是發(fā)散的是發(fā)散的. 證證 由由(9)式有式有 因為等比級數因為等比級數 時收斂，時收斂， 故由比較原則故由比較原則, 這時級數這時級數 也收斂也收斂, 因而由級數因而由級數 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 推論1（根式判別法的極限形式） 則則 證證 由由(11)式式,存在某正數存在某正數 N, , n N, 有有 于是由根式判別法就得到推論所要證明的結論于是由根式判別法就得到推論所

17、要證明的結論. . 設設 為正項級為正項級數數, , 且且 對一切對一切 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例9 研究級數研究級數的斂散性的斂散性. 解解 由于由于 所以級數是收斂的所以級數是收斂的. . 若在若在(11)式中式中 l =1, ,則根式判別法仍無法對級數的斂則根式判別法仍無法對級數的斂 散性做出判斷散性做出判斷. 都有都有 發(fā)散的發(fā)散的. . 例如例如 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正

18、項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 *推論2 *例例10考察級數考察級數 的斂的斂 散性，其中散性，其中 解解 由于由于 設設為正項級數為正項級數, 且且 則當則當 (i) l 1 時級數發(fā)散時級數發(fā)散. . 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 如果應用比式判別法如果應用比式判別法, 由于由于 我們就無法判斷其收斂性我們就無法判斷其收斂性. 那么比式法和根式法究竟哪個更有效呢？那么比式法和根式法究竟哪個更有效呢？

19、 因此級數是收斂的因此級數是收斂的. 故故 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 根據第二章總練習題根據第二章總練習題 4 (7), 當當 時時, 必有必有 這說明凡能由比式判別法判別收斂性的級數這說明凡能由比式判別法判別收斂性的級數, 也能也能 由根式判別法來判別由根式判別法來判別, , 別法更為有效別法更為有效. 由于由于 亦即根式判別法較之比式判亦即根式判別法較之比式判 例如級數例如級數 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版

20、社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 故比式判別法無法鑒別此級數的收斂性故比式判別法無法鑒別此級數的收斂性. 式判別法卻能判定此級數是收斂的式判別法卻能判定此級數是收斂的( (例例9).). 否就不需要比式判別法了？請看下面例子否就不需要比式判別法了？請看下面例子. . 那么那么, 是是 比式判別法和根式判別 法 但應用根但應用根 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例11 判別下列級數的斂散性：判別下列級數的斂散性：

21、 解解 (i) 因為因為 由比式判別法，原級數為收斂由比式判別法，原級數為收斂. . 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 由根式判別法由根式判別法, 原級數為收斂原級數為收斂. 注注 由于極限由于極限很難求很難求, 所以上例中的所以上例中的 (i) 采用比式法更方便采用比式法更方便. . (ii) 因為因為 比式判別法和根式判別 法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別

22、法 *拉貝判別法 定理12.9（積分判別法） 積分判別法 由于比式和根式判別法的比較對象是幾何級數由于比式和根式判別法的比較對象是幾何級數, ,局局 限性較大限性較大, , 所以還需要建立一些更有效的判別法所以還需要建立一些更有效的判別法. . 設設 上非負減函數上非負減函數, 那么正項級數那么正項級數 同時同時收斂收斂 證證 由假設由假設上非負減函數上非負減函數, f 在在1, A上可積上可積, ,于是于是 或同時發(fā)散或同時發(fā)散. 對任何正數對任何正數 A, 積分判 別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積

23、分判 別法 *拉貝判別法 依次相加可得依次相加可得 若反常積分收斂若反常積分收斂, , 有有 根據定理根據定理12.5, 級數級數收斂收斂. 則由則由(12)式左邊式左邊,對任何正整數對任何正整數m, 積分判 別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 反之反之, 若若為收斂級數為收斂級數, 一正整數一正整數 m(1)有有 因為因為f (x)為非負減函數為非負減函數, 可以證明可以證明 是同時是同時發(fā)散的發(fā)散的. . 則由則由(12)式右邊式右邊, 對任對任 故對任何正數故對任何正數 A

24、, 都有都有 積分判 別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例12 討論討論 解解 函數函數上是非負減函上是非負減函 時發(fā)散時發(fā)散. 知它也是發(fā)散的知它也是發(fā)散的. . 的情形的情形, 則可由收斂的必要條件則可由收斂的必要條件至于至于 積分判 別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 例例13 討論下列級數的斂散性討論下列級數的斂散性. 解解 推得級數推得級數 (ii)

25、在在 p 1時收斂時收斂, 在在 時發(fā)散時發(fā)散. 積分判 別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 由于比式和根式判別法的比較對象是幾何級數由于比式和根式判別法的比較對象是幾何級數, , 如如 果級數的通項收斂速度較慢果級數的通項收斂速度較慢, , 它們就失效了它們就失效了, 如如 p 級數級數. . 這類級數的通項收斂于零的速度較慢這類級數的通項收斂于零的速度較慢, , 因此較比式因此較比式 或根式法在判斷級數收斂時更精細或根式法在判斷級數收斂時更精細. . *拉貝判別法 拉貝拉貝(

26、Raabe)判別法是以判別法是以 p 級數為比較對象級數為比較對象, *拉貝判別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 定理12.10（拉貝判別法） 設設 為正項級數為正項級數, 且存且存 *拉貝判別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 故存在正數故存在正數N, 證證 (i) 使對任意使對任意n N ，都有都有 *拉貝判別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2

27、正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 于是于是, 當當n N 時，有時，有 這樣這樣 *拉貝判別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法*拉貝判別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 推論（拉貝判別法的極限形式） 設設 為正項級數為正項級數, 且極限且極限 存在存在, 則則 *拉貝判別法 數學分析 第十二章 數項級數 高等教育出版社 2 正項級數 正項級數收斂性的一 般判別原則 比式判別法和根式判別 法 積分判 別法 *拉貝判別法 當當s =1, 2, 3時的斂散性時的斂散性.例例14 討論下面級數討論下面級數 解解 無論無論s =1, 2, 3哪一值哪一值, ,級數級數(14)的比式極限的比式極限 所以用比式判別法無法判別級數所以用比式判別法無法判別級數(14)的斂散性的斂散性. 拉貝判別法來討論拉貝判別法來討論. . 故級數