高二數學復 習：二次函數綜合問題人教實驗版（B）

1、用心 愛心 專心 高二數學高二數學復習：二次函數綜合問題復習：二次函數綜合問題人教實驗版（人教實驗版（B B） 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學內容： 高考復習：二次函數綜合問題 二. 教學目的： 從解析式及圖象特征這兩個方面研究涉及二次函數的一些綜合問題。 三. 知識分析： 二次函數是中學代數的基本內容之一，它既簡單又具有豐富的內涵和外延。作為最基 本的初等函數，可以以它為素材來研究函數的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起 函數、方程、不等式之間的有機聯系；作為拋物線，可以聯系其它平面曲線討論相互之間 的關系。這些縱橫聯系，使得圍繞二次函數可以編制出層出不窮、靈活多變的數學問題。

2、 同時，有關二次函數的內容又與近、現代數學發(fā)展緊密聯系，是學生進入高校繼續(xù)深造的 重要知識基礎。因此，從這個意義上說，有關二次函數的問題在高考中頻繁出現，也就不 足為奇了。 學習二次函數，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征。從解析式出發(fā)， 可以進行純粹的代數推理，這種代數推理、論證的能力反映出一個人的基本數學素養(yǎng)；從 圖像特征出發(fā)，可以實現數與形的自然結合，這正是中學數學中一種非常重要的思想方法。 這節(jié)課我們將從這兩個方面探究涉及二次函數的一些綜合問題。 （一）代數推理 由于二次函數的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等） ，所以，在 解決二次函數的問題時，常常借助其解

3、析式，通過純代數推理，進而導出二次函數的有關 性質。 1、二次函數的一般式cbxaxy 2 (a0)中有三個參數cba,。解題的關鍵在于： 通過三個獨立條件“確定”這三個參數。 【例 1】已知，滿足 1 且，求的取值范圍。 分析：分析：本題中，所給條件并不足以確定參數ba,的值，但應該注意到：所要求的結論 不是2f的確定值，而是與條件相對應的“取值范圍” ，因此，我們可以把 1 和 4) 1 (2 f當成兩個獨立條件，先用 1f和1f來表示ba,。 解：解：由baf1， baf1可解得： )1() 1 ( 2 1 ),1() 1 ( 2 1 ffbffa （*） 將以上二式代入，并整理得 2

4、) 1( 2 1 22 xx f xx fxf， 用心 愛心 專心 1312fff 又，2) 1(1 f， 1025 f 【例 2】設，若， ， ， 試證明：對于任意，有。 分析：分析：同上題，可以用 1,1,0fff來表示cba,。 解：解： cfcbafcbaf0,1,1， 0),1() 1 ( 2 1 ),0211( 2 1 fcffbfffa， 2 22 10 2 1 2 1xf xx f xx fxf 。 當01x時， . 4 5 4 5 ) 2 1 ( 1 )1 ( 22 1 22 10 2 1 2 1 2 2 2 22 2 22 2 22 x xx x xxxx x xxxx x

5、f xx f xx fxf 當10 x時， 2 22 10 2 1 2 1xf xx f xx fxf 2 22 1 22 x xxxx )1 ( 22 2 22 x xxxx . 4 5 4 5 ) 2 1 ( 1 2 2 x xx 綜上，問題獲證。 用心 愛心 專心 2、利用函數與方程根的關系，寫出二次函數的零點式. 21 xxxxay 【例 3】設二次函數，方程的兩個根滿足。當時，證明。 分析：分析：在已知方程兩根的情況下，根據函數與方程根的關系，可以寫出函數 xxf的表達式，從而得到函數)(xf的表達式。 證明：證明：由題意可知)()( 21 xxxxaxxf。 a xxx 1 0 2

6、1 ， 0)( 21 xxxxa， 當時，xxf)(。 又) 1)()()( 211211 axaxxxxxxxxxaxxf， , 011, 0 221 axaxaxxx且 1 )(xxf， 綜上可知，所給問題獲證。 3、緊扣二次函數的頂點式, 4 4 2 2 2 a bac a b xay 利用對稱軸、最值、判別式解 決問題 【例 4】已知函數 x x 2 a 2)x(f。 （1）將)(xfy 的圖象向右平移兩個單位，得到函數)(xgy ，求函數 )(xgy 的解析式； （2）函數)(xhy 與函數)(xgy 的圖象關于直線1y對稱，求函數)(xhy 的 解析式； （3）設)()( 1 )(

7、xhxf a xF，已知)(xF的最小值是m且72m，求實數 a的取值范圍。 解：解：（1） ; 2 22 2 2 x x a xfxg （2）設 xhy 的圖像上一點yxP,，點yxP,關于1y的對稱點為yxQ2 ,， 由點 Q 在 xgy 的圖像上，所以 用心 愛心 專心 y a x x 2 2 2 2 2 ， 于是 , 2 22 2 2 x x a y 即 ; 2 22 2 2 x x a xh （3）2 2 ) 14( 2 4 11 )()( 1 )( x x a a xhxf a xF。 設 x t2，則2 14 4 4 )( t a t a a xF。 問題轉化為：722 14 4

8、 4 t a t a a 對0t恒成立。即 0147 4 4 2 att a a 對0t恒成立。 （*） 故必有0 4 4 a a 。 （否則，若0 4 4 a a ，則關于t的二次函數 147 4 4 )( 2 att a a tu開口向下，當t充分大時，必有0tu；而當 0 4 4 a a 時，顯然不能保證（*）成立。 ） ，此時，由于二次函數 147 4 4 )( 2 att a a tu的對稱軸0 8 4 7 a a t，所以，問題等價于0t，即 014 4 4 47 0 4 4 a a a a a ，解之得：2 2 1 a。 此時，014 , 0 4 4 a a a ，故2 14 4

9、 4 )( t a t a a xF在 a aa t 4 ) 14(4 時取 得最小值214 4 4 2 a a a m滿足條件。 （二）數形結合 二次函數0)( 2 acbxaxxf的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質，如對 稱性、單調性、凹凸性等。結合這些圖像特征解決有關二次函數的問題，可以化難為易， 形象直觀。 1、二次函數的圖像關于直線 a b x 2 對稱，特別關系 a b xx 21 也反映了二次函數 用心 愛心 專心 的一種對稱性。 【例 5】設二次函數，方程的兩個根滿足 。且函數的圖像關于直線對稱，證明：。 解：解：由題意 cxbaxxxf) 1( 2 。 由方程的兩個根滿足，可

10、得 , 1 2 1 0 21 a x a b x 且 a b xx a b 2 1 2 1 21 ， a b aa b xx a b 2 11 2 1 2 1 21 ， 即 1 x a b ，故 。 2、二次函數)(xf的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個實數根。所以存在實 數nm,使得nm 且0)()(nfmf在區(qū)間nm,上，必存在0)(xf的唯一的實數 根。 【例 6】 已知二次函數 2 ( )1(0)f xaxbxa，設方程xxf)(的兩個實數根 為 1 x和 2 x。 （1）如果42 21 xx，設函數)(xf的對稱軸為 0 xx ，求證：1 0 x； （2）如果2 1 x，2

11、12 xx，求b的取值范圍。 分析：分析：條件42 21 xx實際上給出了xxf)(的兩個實數根所在的區(qū)間，因此可 以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。 解：解：設1) 1()()( 2 xbaxxxfxg，則0)(xg的二根為 1 x和 2 x。 （1）由0a及42 21 xx，可得 0)4( 0)2( g g ，即 03416 0124 ba ba ，即 , 0 4 3 2 24 , 0 4 3 2 33 aa b aa b 兩式相加得1 2 a b ，所以，1 0 x; （2）由 aa b xx 4 ) 1 ()( 22 21 ，可得 1) 1(12 2 ba。 用心 愛心 專心 又0 1

12、 21 a xx，所以 21,x x同號。 2 1 x，2 12 xx等價于 1) 1(12 20 2 21 ba xx 或 1) 1(12 02 2 12 ba xx ， 即 1) 1(12 0)0( 0)2( 2 ba g g 或 1) 1(12 0)0( 0)2( 2 ba g g 解之得 4 1 b或 4 7 b。 3、因為二次函數0)( 2 acbxaxxf在區(qū)間 2 ,( a b 和區(qū)間), 2 a b 上 分別單調，所以函數 xf在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得；函數 )(xf在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。 【例 7】已知二次函數，當時，有， 求證

13、：當時，有。 分析：分析：研究)(xf的性質，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應該盡量用已知 條件來表達參數cba,。確定三個參數，只需三個獨立條件，本題可以考慮) 1 (f， ) 1(f，)0(f，這樣做的好處有兩個：一是cba,的表達較為簡潔，二是由于01和正 好是所給條件的區(qū)間的端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數范圍 的目的。 要考慮 xf在區(qū)間7 , 7上函數值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮 xf在區(qū)間端點和頂點處的函數值。 解：解：由題意知：cbafcfcbaf) 1 (,)0(,) 1(， )0(),1() 1 ( 2 1 ),0(2) 1() 1

14、 ( 2 1 fcffbfffa， 2 22 1)0( 2 ) 1( 2 ) 1 (xf xx f xx f 。 由時，有，可得 , 1) 1 (f ,11 f 10 f。 7)0(3) 1(1303113)2(fffffff， 用心 愛心 專心 7)0(3) 1(3103131)2(fffffff。 （1）若2 , 2 2 a b ，則 xf在2 , 2上單調，故當2 , 2x時， )2(, )2(max()( max ffxf 此時問題獲證。 （2）若2 , 2 2 a b ，則當2 , 2x時， ) 2 , )2(, )2(max()( max a b fffxf 又 72 4 11 2

15、1 4 ) 1() 1 ( 2 0 2242 2 ff a b f b a b c a b c a b f， 此時問題獲證。 綜上可知：當時，有。 【例 8】 （2007 廣東，理 20）已知a是實數，函數 2 ( )223f xaxxa ，如果函數 ( )yf x在區(qū)間11 ，上有零點，求a的取值范圍 解析解析 1：函數( )yf x在區(qū)間1，1上有零點，即方程 2 ( )223f xaxxa 0 在 1，1上有解， a0 時，不符合題意，所以 a0，方程 f（x）0 在1，1上有解 ( 1)(1)0ff或 ( 1)0 (1)0 48 (3)0 1 1.1 af af aa a 15a或 3

16、7 2 a 或5a 37 2 a 或 a1。 所以實數 a 的取值范圍是 37 2 a 或 a1。 解析解析 2：a0 時，不符合題意，所以 a0，又 2 ( )223f xaxxa 0 在1，1上有解， 2 (21)32xax在1，1上有 解 2 121 32 x ax 在1，1上有解，問題轉化為求函數 2 21 32 x y x 在1，1上的值域； 設 t32x，x1，1，則23xt，t1，5， 2 1 (3)217 (6) 22 t yt tt ， 用心 愛心 專心 設 2 2 77 ( ). ( ) t g ttg t tt ，1, 7)t時，( )0g t ，此函數 g（t）單調遞減

17、， ( 7,5t時，( )g t0，此函數 g（t）單調遞增，y 的取值范圍是 73,1， 2 ( )223f xaxxa 0 在1，1上有解 1 a 73,11a或 37 2 a 。 【例 9】 （2007 江蘇，21）已知abcd，是不全為零的實數，函數 2 ( )f xbxcxd， 32 ( )g xaxbxcxd方程( )0f x 有實數根，且( )0f x 的實數根都是 ( ( )0g f x的根；反之，( ( )0g f x的實數根都是( )0f x 的根 （1）求d的值； （2）若0a ，求c的取值范圍； （3）若1a ，(1)0f，求c的取值范圍 解：解：（1）設r為方程的一個

18、根，即( )0f r ，則由題設得( ( )0g f r于是， (0)( ( )0gg f r，即(0)0gd 所以，0d （2）由題意及（1）知 2 ( )f xbxcx， 32 ( )g xaxbxcx 由0a 得bc，是不全為零的實數，且 2 ( )()g xbxcxx bxc， 則 22 ( ( )()()()()g f xx bxc bx bxccx bxc b xbcxc 方程( )0f x 就是()0 x bxc 方程( ( )0g f x就是 22 ()()0 x bxc b xbcxc （）當0c 時，0b ，方程、的根都為0 x ，符合題意 （）當0c ，0b 時，方程、的根都為0 x ，符合題意 （）當0c ，0b 時，方程的根為 1 0 x ， 2 c x b ，它們也都是方程的根， 但它們不是方程 22 0b xbcxc的實數根 由題意，方程 22 0b