有效數(shù)字和誤差分析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 有效數(shù)字和誤差分析有效數(shù)字和誤差分析 數(shù)值分析又稱計(jì)算方法或數(shù)值計(jì)算方法，數(shù)值分析又稱計(jì)算方法或數(shù)值計(jì)算方法， 是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的 數(shù)學(xué)課程，它數(shù)學(xué)課程，它研究的是各種數(shù)學(xué)問題的一類近研究的是各種數(shù)學(xué)問題的一類近 似解法似解法數(shù)值方法數(shù)值方法，即從一組，即從一組原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)（如（如 模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的運(yùn)算規(guī)運(yùn)算規(guī) 則則進(jìn)行進(jìn)行有限步運(yùn)算有限步運(yùn)算，最終獲得數(shù)學(xué)問題數(shù)值形，最終獲得數(shù)學(xué)問題數(shù)值形 式的式的滿足精度要求滿足精度要求的的近似解近似解。 1.1 研究對(duì)象研究對(duì)象

2、 第1頁/共53頁 數(shù)值分析方法課程主要數(shù)值分析方法課程主要討論討論如何構(gòu)造如何構(gòu)造 求數(shù)學(xué)模型近似解的算法求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論討論算法的數(shù)算法的數(shù) 學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)進(jìn) 行行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。 與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值 分析所求出的結(jié)果一般不是解的精確值分析所求出的結(jié)果一般不是解的精確值 或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解 的的某些近似值或近似曲線。某些近似值或近似曲線。 第2頁/共53頁 實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法 程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算

3、數(shù)值結(jié)果 根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法 直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過程便是 數(shù)值分析研究的對(duì)象 數(shù)值計(jì)算方法的任務(wù)數(shù)值計(jì)算方法的任務(wù) 第3頁/共53頁 數(shù)值計(jì)算方法的主要特點(diǎn)數(shù)值計(jì)算方法的主要特點(diǎn) 借助計(jì)算機(jī)提供切實(shí)可行的數(shù)學(xué)算法借助計(jì)算機(jī)提供切實(shí)可行的數(shù)學(xué)算法. 想想的精確度的精確度; ;收斂且穩(wěn)定收斂且穩(wěn)定; ;誤差可以分析或估計(jì)誤差可以分析或估計(jì). . 所提出的算法必須具有：可靠的理論分析所提出的算法必須具有：可靠的理論分析; ; 理理 時(shí)間復(fù)雜性好時(shí)間復(fù)雜性好_指節(jié)省時(shí)間；指節(jié)省時(shí)間； 空間復(fù)雜性好空間復(fù)雜性好_指節(jié)省存儲(chǔ)量指節(jié)省存儲(chǔ)量 。 計(jì)算復(fù)雜性好計(jì)算復(fù)雜性好 通過數(shù)值

4、實(shí)驗(yàn)證明算法行之有效通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法行之有效. . 第4頁/共53頁 F采用采用“近似替代近似替代”方法方法逼近逼近 F采用采用“構(gòu)造性構(gòu)造性”方法方法 F采用采用“離散化離散化”方法方法 把求連續(xù)變量的問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的問題把求連續(xù)變量的問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的問題 F采用采用“遞推化遞推化”方法方法 復(fù)雜的計(jì)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單過程的多次重復(fù)，易復(fù)雜的計(jì)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單過程的多次重復(fù)，易 于用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)（迭代法）。于用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)（迭代法）。 F采用各種采用各種搜索搜索方法方法 構(gòu)造數(shù)值算法主要手段構(gòu)造數(shù)值算法主要手段 第5頁/共53頁 1、數(shù)值逼近、數(shù)值逼近 插值與擬合、數(shù)值積分與微分插

5、值與擬合、數(shù)值積分與微分 2、數(shù)值代數(shù)、數(shù)值代數(shù) 線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方 程（組）的解法程（組）的解法 3、微分方程數(shù)值解、微分方程數(shù)值解 ODE PDE 1.2 研究?jī)?nèi)容研究?jī)?nèi)容 第6頁/共53頁 1.3.1 誤差的來源與分類誤差的來源與分類 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差 例例: :質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體，在重力作用下的物體，在重力作用下, ,自由下落，自由下落， 其下落距離其下落距離s 與時(shí)間與時(shí)間t 的關(guān)系是：的關(guān)系是： mg dt sd m 2 2 其中其中 g 為重力加速度。為重力加速度。 1.3

6、誤差誤差 第7頁/共53頁 通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 （截?cái)嗾`差）（截?cái)嗾`差） 例如，當(dāng)函數(shù)例如，當(dāng)函數(shù) f x 用 用 maclaurin 多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ( ) 2 000 0 1!2! n n n fff Pxfxxx n 近似代替時(shí)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是近似代替時(shí)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是 (1) 1 (1)! n n nn f Rxf xPxx n 與與 0 0 之間。之間。 在 在x 第8頁/共53頁 機(jī)器字長(zhǎng)有限機(jī)器字長(zhǎng)有限 舍入誤差舍入誤差 用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，都只能用有限位用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，

7、都只能用有限位 = 3.1415926 小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來 代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如： 1 0.3333 3 8.12355x 第9頁/共53頁 四舍五入后 0000074. 01416. 3 1 000033. 0333. 0 3 1 2 3 8.12350.00005x 在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究和和 （包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響?。òǔ跏紨?shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響！ 第10頁/共53頁 1.3.2 誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字 1、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限、絕對(duì)誤差

8、與絕對(duì)誤差限 *)(xxxe 例例 : :若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)，大約若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)，大約 為為1.451.45米，求米，求1.451.45米的絕對(duì)誤差。米的絕對(duì)誤差。 1.45米的米的 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差= =？ 不知道！不知道！ 定義定義：設(shè)設(shè) 是準(zhǔn)確值，為是準(zhǔn)確值，為 的一個(gè)近似值，稱的一個(gè)近似值，稱 x * xx 是近似值是近似值 的的, ,簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為。 ( )e x*x 第11頁/共53頁 * xxx * xx e x * * xx * x * ,xx x * x 第12頁/共53頁 例例1 設(shè)設(shè)x = =3.1415926 近似值近似值x* =3

9、.14,它的絕它的絕 對(duì)誤差是對(duì)誤差是 0.0015926，有，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.2 10-2 例例2 又近似值又近似值x* =3.1416，它的絕對(duì)誤差是，它的絕對(duì)誤差是 0.0000074，有，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.8 10-5 例例3 而近似值而近似值x* =3.1415，它的絕對(duì)誤差是，它的絕對(duì)誤差是 0.0000926，有，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.1 10-3 可見，可見，絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限 *不是唯一的，但不是唯一的，但 *越小越好越小越好 第13頁/共53頁 2、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限、

10、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限 定義定義：設(shè)設(shè) 是準(zhǔn)確值，是準(zhǔn)確值， 是近似值，是近似值的誤差，是近似值，是近似值的誤差，x * x 通常通常 取取 為近似值為近似值 的的，記作，記作 ， * r e * x * e * exx xx 稱稱 * * * r exx e xx 第14頁/共53頁 事實(shí)上，當(dāng)事實(shí)上，當(dāng) 較小時(shí)較小時(shí) * * * r e e x 22 * * * * 1 exxee x ee xxx xxxee x 是是 的二次方項(xiàng)級(jí)的二次方項(xiàng)級(jí), ,故可忽略不計(jì)故可忽略不計(jì). . * r e 相應(yīng)地，若正數(shù)相應(yīng)地，若正數(shù) r 滿足滿足 * * r xx x 則稱則稱 為為 的的相對(duì)誤差限相

11、對(duì)誤差限。 r x 第15頁/共53頁 例例4. 甲打字每甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè)個(gè) 錯(cuò)一個(gè)，求其相對(duì)誤差限錯(cuò)一個(gè)，求其相對(duì)誤差限 解：解： 根椐定義根椐定義:甲打字時(shí)的相對(duì)誤差限甲打字時(shí)的相對(duì)誤差限 乙打字時(shí)的相對(duì)誤差限乙打字時(shí)的相對(duì)誤差限 0 0 * 1 100 1 r e 0 0 * 1.0 1000 1 r e 第16頁/共53頁 3 、有效數(shù)字有效數(shù)字 定義：定義：如果如果 n xx 10 2 1 * 則說則說 近似表示近似表示 準(zhǔn)確到小數(shù)后第準(zhǔn)確到小數(shù)后第 位，并從這位，并從這 由上述定義由上述定義 4 10 2 1 1416. 3 5 10 2

12、 1 14159. 3 * xxn 第第 位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都 稱為稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為 。 n 第17頁/共53頁 定義定義 : : *12 12 10101010 mn n xaaa * 若近似值若近似值 的誤差限是某一位的半個(gè)單位的誤差限是某一位的半個(gè)單位, , * x 也即，若也即，若 * 1 10 2 m n xx 有有 位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。n * x 其中，其中， 是是1 1到到9 9中的一個(gè)數(shù)字；中的一個(gè)數(shù)字； 是是 0 0到到9 9中一個(gè)數(shù)字；中一個(gè)數(shù)字； 為整數(shù)，且為整數(shù)，且 1 a

13、2n aa m 該位該位到到 的的左邊第一位非零數(shù)字共有第一位非零數(shù)字共有 位位 , , * xn 就說就說 有有 位位有效數(shù)字有效數(shù)字。 * xn 第18頁/共53頁 取取 作作 的近似值，的近似值， 就有三位有效數(shù)字；就有三位有效數(shù)字； * 3.14x * x 取取 作作 的近似值，的近似值， 就有五位有效數(shù)字。就有五位有效數(shù)字。 * 3.1416x * x 例如：例如： x-x*=0.0015926 0.002=0.210-20.510-2 前面例前面例1 1 前面例前面例2 2 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5 0.510-4 第19頁/共53頁 關(guān)于有效

14、數(shù)字說明關(guān)于有效數(shù)字說明 用用四舍五入取準(zhǔn)確值的前四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位位x*作為近似值作為近似值,則則 x*必有必有n位有效數(shù)字。如位有效數(shù)字。如3.142作為作為 的近似值的近似值 有有4位有效數(shù)字，而位有效數(shù)字，而3.141為為3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差不一定有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差不一定 相同。例如，設(shè)相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)設(shè)x2*=12.345,兩者兩者 均有均有5位有效數(shù)字但絕對(duì)誤差不一樣位有效數(shù)字但絕對(duì)誤差不一樣 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345 0.0005=

15、1/2 10-3 把任何數(shù)乘以把任何數(shù)乘以10p(p=0, 1,)不影響有效位數(shù)不影響有效位數(shù) 準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字,如三角形面積如三角形面積 S=1/2ah=0.5ah 因?yàn)橐驗(yàn)?.5是真值是真值,沒有誤差沒有誤差 *=0,因此因此n,準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字 第20頁/共53頁 4 、誤差限與、誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系有效數(shù)字的關(guān)系 則則 至少具有至少具有 位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 Th1Th1： * xn 對(duì)于用對(duì)于用 式表示的近似數(shù)式表示的近似數(shù) ，若，若 具有具有 位有效位有效 數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為 反之，

16、若反之，若 的相對(duì)誤差限為的相對(duì)誤差限為 * * x n * x 1* 1 1 10 2 n r a * x 1* 1 1 10 2(1) n r a *12 12 10101010 mn n xaaa * 第21頁/共53頁 例例5 已知近似數(shù)已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相有兩位有效數(shù)字，試求其相 對(duì)誤差限對(duì)誤差限 解：已知解：已知 n=2 代入公式代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得得 r*=1/2x1 10-1 x*的第一位有效數(shù)字 的第一位有效數(shù)字x1沒有給出，可進(jìn)行如下討沒有給出，可進(jìn)行如下討 論：當(dāng)論：當(dāng) x1=1 r*=1/2x1 10-1=1/2*1 10-1

17、=5% x1=9 r*=1/2x1 10-1=1/2*9 10-1=0.56% 取取 x1=1 時(shí)相對(duì)誤差為最大，即時(shí)相對(duì)誤差為最大，即 5% 第22頁/共53頁 例例6 已知近似數(shù)已知近似數(shù)x*的相對(duì)誤差限為的相對(duì)誤差限為0.3%，問，問x* 有幾位有效數(shù)字？有幾位有效數(shù)字？ 解：由解：由)1( 1 * 10 ) 1(2 1 n r x e ) 1( 1 10 ) 1( 2 1 1000 3 n x 得得 當(dāng)當(dāng)x1=1時(shí)時(shí),3 10-3=1/4 10-(n-1) 12 10-3=10-(n-1) 上式兩邊取以上式兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得為底的對(duì)數(shù)得 lg22+lg3+(-3)=-n+1 lg

18、2=0.3010 lg3=0.4771 2 0.3010+0.4771-4=-n n=2.9209 當(dāng)當(dāng)x1=9時(shí)時(shí),3 10-3=1/20 10-(n-1) 6 10-3=10-n 上式兩邊取以上式兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得為底的對(duì)數(shù)得 lg2+lg3+(-3)=-n n=2.2219 x*至少有至少有3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 第23頁/共53頁 例例7 為使為使 的近似數(shù)的相對(duì)誤差小于的近似數(shù)的相對(duì)誤差小于0.1%， 問查開方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？問查開方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？ 解：解： 8 9 x1=8 -(n-1)lg2+2lg3+(-3) -n1.2552-4 -n2.7448 取取

19、 n =3即查平方表時(shí)即查平方表時(shí) 8.37取三位有效數(shù)字取三位有效數(shù)字 70 70 3)1()1( 1 1010 18 1 1000 1 10 ) 1(2 1 nn x 70 第24頁/共53頁 1.3.3 數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì) 1、四則運(yùn)算的誤差估計(jì)、四則運(yùn)算的誤差估計(jì) * 1 x * 2 x * 1 x * 2 x * 1212 xxxx * 121221 x xxxxx * 1221 * 1222 * 2 /0 xxxx xxx x 第25頁/共53頁 )(xfxx * )()( * xfxf 從而有從而有 )(xf x 2 )( ! 2 )( )()()( xx f

20、xxxfxfxf x 2 )( ! 2 )( )()()( xx f xxxfxfxf )()()( xxxfxfxf )( xf)()()( xexfxfe )( xf)( )( )( )( xe xf xf xfe r 的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差 對(duì) 于 近 似對(duì) 于 近 似 值值 ，函數(shù)，函數(shù)在在 舍去右邊第二項(xiàng)得到舍去右邊第二項(xiàng)得到 即即的絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差 可 以 得可 以 得 到到 附近按泰勒展式展開得到附近按泰勒展式展開得到 2、函數(shù)誤差估計(jì)、函數(shù)誤差估計(jì) 當(dāng)自變量有誤差時(shí)，計(jì)算函數(shù)值也會(huì)產(chǎn)生誤差，其當(dāng)自變量有誤差時(shí)，計(jì)算函數(shù)值也會(huì)產(chǎn)生誤差，其 誤差限可利用函數(shù)的誤差限可利用函數(shù)的Ta

21、ylorTaylor展開式進(jìn)行估計(jì)。展開式進(jìn)行估計(jì)。 第26頁/共53頁 對(duì)絕對(duì)誤差式兩邊取絕對(duì)值得對(duì)絕對(duì)誤差式兩邊取絕對(duì)值得 2 )( ! 2 )( )()()( xx f xxxfxfxf )( xxxf )()( xxf )( xf )()()( xxfxf )( xf )( )( )( )( x xf xf xf r 故故 的相對(duì)誤差限的相對(duì)誤差限 的誤差限的誤差限 而而 解釋：解釋： 第27頁/共53頁 當(dāng)當(dāng) 為多元函數(shù)時(shí)計(jì)算為多元函數(shù)時(shí)計(jì)算 , ,如果如果f 12 , n Af x xx 12 , n x xx 的近似值為的近似值為 , ,則則 的近似為的近似為 * 12 , n

22、x xxA * 12 , n Af xxx 于是函數(shù)值于是函數(shù)值 的誤差的誤差 由由TaylorTaylor展開展開, , * A * e A 多元函數(shù)的情況多元函數(shù)的情況 第28頁/共53頁 * A * * * * 1 . k k rr k k Ax f A xAA * 1212 , nn e AAAf x xxf x xx * * 12 * 11 , nn n kkk kk kk f x xx f xxe xx * * 1 ; n k k k f Ax x 第29頁/共53頁 ),( yxfxx * ),(),( * yxfyxfyy * )()()( yexeyxe )()()( yex

23、xeyyxe )( )( )( 1 )( 2 ye y x xe yy x e)0( y )()()( yxyx )()()( yxxyyx 2 )( )()( )( y yxxy y x )0( y 第30頁/共53頁 )()()( ye yx y xe yx x yxe rrr )()()( ye yx y xe yx x yxe rrr )()()( yexeyxe rrr )()()( yexe y x e rrr ) 0( y yx yx yx rr r )()( )( )()()( yxyx rrr )()()( yx y x rrr )0( y 第31頁/共53頁 l * 110

24、lmd * 80dm * 0.2llm * 0.1ddm Sld * * , SS Sld ld * * 80 ,110 , SS dmlm ld , SS Slddl ld 第32頁/共53頁 * 0.2 ,0.1 ,lmdm *22 80 0.2 110 0.127;Smm * * * * 27 0.31. 8800 r SS S l dS 第33頁/共53頁 3、 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性 數(shù)值計(jì)算在設(shè)計(jì)算法時(shí)首先關(guān)心的是由它數(shù)值計(jì)算在設(shè)計(jì)算法時(shí)首先關(guān)心的是由它 產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與 舍入誤差是否增長(zhǎng)密切相關(guān)。一個(gè)算法如

25、果輸舍入誤差是否增長(zhǎng)密切相關(guān)。一個(gè)算法如果輸 入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)（即誤差），而在計(jì)算過程入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)（即誤差），而在計(jì)算過程 中舍入誤差不增長(zhǎng)，則稱此算法是中舍入誤差不增長(zhǎng)，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的數(shù)值穩(wěn)定的 ，否則稱其為，否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定。數(shù)值不穩(wěn)定。 第34頁/共53頁 例例9：求定積分：求定積分 1 0 (0,1,2,8) 5 n n x Idx n x 解：解：直接積分可產(chǎn)生遞推公式直接積分可產(chǎn)生遞推公式 若取初值若取初值 )2 . 1ln(5ln6lndx 5 1 1 0 0 x I 1 1 1 0 551 5(1) 5 n nn x IxdxI xn 第35頁/共53頁 可得遞

26、推公可得遞推公 式式 )8, 2, 1(,5 1 )2 . 1ln( 1 0 nI n I I nn 按公式就可以逐步算出按公式就可以逐步算出 10 1 50.09II 05. 05 2 1 12 II 083. 05 3 1 23 II 165. 05 4 1 34 II 025. 15 5 1 45 II 952. 45 6 1 56 II What happened ?! 不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法 ！ 這就是誤差傳播所引起的危害這就是誤差傳播所引起的危害 ! 注意此公式注意此公式精確精確成成 立，且立，且0 n I 第36頁/共53頁 由題設(shè)中的遞推公式（由題設(shè)中的遞推公式（1 1）可看

27、出，）可看出， 的誤差擴(kuò)大了的誤差擴(kuò)大了 1n I 5 5倍后傳給倍后傳給 ，因而初值，因而初值 的誤差對(duì)以后各步的誤差對(duì)以后各步 n I 0 I 這就造成這就造成 的計(jì)算結(jié)果的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真。嚴(yán)重失真。 4 I 計(jì)算結(jié)果的影計(jì)算結(jié)果的影響，隨著響，隨著 的增大愈來愈嚴(yán)重。的增大愈來愈嚴(yán)重。n 1 1 1 0 551 5(1) 5 n nn x IxdxI xn * 1111 11 |555| nnnnnn IIIIII nn 第37頁/共53頁 可求得可求得I9 0.017，按改寫后的公式可逐次求得按改寫后的公式可逐次求得 不妨設(shè)不妨設(shè)I9 I10，于是由于是由 109 5 1 50 1

28、II ) 1 , 1,( 5 1 5 1 1 nnkI k I kk 1 1 5 nn II n 將公式將公式 變?yōu)樽優(yōu)?(2) 第38頁/共53頁 I8 0.019 I7 0.021 I6 0.024 I5 0.028 I4 0.034 I3 0.043 I2 0.058 I1 0.088 I0 0.182 穩(wěn)定的算法穩(wěn)定的算法 ！ 在我們今后的討論中，在我們今后的討論中，誤差誤差將不可回避，將不可回避， 算法的算法的穩(wěn)定性穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。 第39頁/共53頁 注：注：遞推公式遞推公式(1)的舍入誤差以的舍入誤差以5的冪次增長(zhǎng)進(jìn)的冪次增長(zhǎng)進(jìn) 行傳播，因此

29、是行傳播，因此是數(shù)值不穩(wěn)定的，數(shù)值不穩(wěn)定的，而遞推公式而遞推公式 (2)的舍入誤差在一定范圍內(nèi)以的舍入誤差在一定范圍內(nèi)以0.2的冪次進(jìn)行的冪次進(jìn)行 傳播，隨著傳播，隨著n的增大，誤差逐步減少，因此該的增大，誤差逐步減少，因此該 算法是算法是數(shù)值穩(wěn)定的數(shù)值穩(wěn)定的。 因此，可以看出數(shù)值不穩(wěn)定的算法是不能使因此，可以看出數(shù)值不穩(wěn)定的算法是不能使 用的，實(shí)際計(jì)算中對(duì)任何輸入數(shù)據(jù)都是數(shù)值穩(wěn)用的，實(shí)際計(jì)算中對(duì)任何輸入數(shù)據(jù)都是數(shù)值穩(wěn) 定的算法，稱為定的算法，稱為無條件穩(wěn)定。無條件穩(wěn)定。而對(duì)某些數(shù)據(jù)數(shù)而對(duì)某些數(shù)據(jù)數(shù) 值穩(wěn)定，對(duì)其它數(shù)據(jù)數(shù)值不穩(wěn)定的算法，稱為值穩(wěn)定，對(duì)其它數(shù)據(jù)數(shù)值不穩(wěn)定的算法，稱為 條件穩(wěn)定。條

30、件穩(wěn)定。 * 11 | 0.2| nnnn IIII * 11 | 5| nnnn IIII 第40頁/共53頁 病態(tài)問題和條件數(shù)病態(tài)問題和條件數(shù) 如果問題的輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，就會(huì)引起輸出結(jié)果數(shù)據(jù)如果問題的輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，就會(huì)引起輸出結(jié)果數(shù)據(jù) （即解）的很大擾動(dòng)，稱這樣的問題為（即解）的很大擾動(dòng)，稱這樣的問題為病態(tài)問題病態(tài)問題。相反的情形相反的情形 稱為稱為良態(tài)問題良態(tài)問題。對(duì)于病態(tài)的數(shù)學(xué)問題，用通常的算法求數(shù)值解。對(duì)于病態(tài)的數(shù)學(xué)問題，用通常的算法求數(shù)值解 都是都是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的。 病態(tài)和良態(tài)是病態(tài)和良態(tài)是相對(duì)的相對(duì)的，沒有嚴(yán)格的界限，通常用條件數(shù)大小沒有嚴(yán)格的界限，通常用條件數(shù)大小

31、 來衡量問題的病態(tài)程度，條件數(shù)越大病態(tài)可能越嚴(yán)重。來衡量問題的病態(tài)程度，條件數(shù)越大病態(tài)可能越嚴(yán)重。 條件數(shù)條件數(shù)c(x)越大，越大，f(x)的相對(duì)誤差越大，通常認(rèn)為的相對(duì)誤差越大，通常認(rèn)為 ( )1c x 時(shí)，問題是時(shí)，問題是病態(tài)的。病態(tài)的。 第41頁/共53頁 1.要選擇數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式要選擇數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式 定義定義 一種數(shù)值方法，若原始數(shù)據(jù)有誤差，一種數(shù)值方法，若原始數(shù)據(jù)有誤差， 而在計(jì)算的過程中，由于舍入誤差的傳播，使而在計(jì)算的過程中，由于舍入誤差的傳播，使 得近似計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值相差很大，則稱這種得近似計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值相差很大，則稱這種 數(shù)值方法是不穩(wěn)定的。否則，在計(jì)算的過程中數(shù)

32、值方法是不穩(wěn)定的。否則，在計(jì)算的過程中 ，若舍入誤差得到控制，近似計(jì)算結(jié)果能逼近，若舍入誤差得到控制，近似計(jì)算結(jié)果能逼近 準(zhǔn)確值，則稱這種數(shù)值方法是穩(wěn)定的。準(zhǔn)確值，則稱這種數(shù)值方法是穩(wěn)定的。 第42頁/共53頁 ，試問用遞推公式，試問用遞推公式 例例1010 給定給定 采用正向遞推和逆向遞推求采用正向遞推和逆向遞推求 的值是否穩(wěn)定？的值是否穩(wěn)定？ dxexI xn n 1 1 0 ), 2 , 1(1 1 nnII nn n I 002211 !) 1(IInIInnIInII nnnnnn 解解 n I 1 1 nn nII), 2 , 1(1 1 nnII nn 的近似值為的近似值為 )(

33、 11 nnnn IInII 從而有從而有 對(duì)上式兩邊求絕對(duì)值得對(duì)上式兩邊求絕對(duì)值得 按給定的遞推公式采用正向遞推計(jì)按給定的遞推公式采用正向遞推計(jì) 算算 n I的值是不穩(wěn)定的。的值是不穩(wěn)定的。 第43頁/共53頁 2. .要避免兩個(gè)相近的數(shù)相減要避免兩個(gè)相近的數(shù)相減 在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)作減法時(shí)在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)作減法時(shí) 有效數(shù)字會(huì)損失。有效數(shù)字會(huì)損失。 例例1111: 求求 當(dāng)當(dāng)x = 1000，y 的準(zhǔn)確值為的準(zhǔn)確值為0.01580 xxy1的值。的值。 第44頁/共53頁 類似地類似地 y x yxlnlnln 2 sin 2 cos2sin)sin( xxx (2) 若若

34、將將原式原式改寫為改寫為 xx xxy 1 1 1 則則 y = 0.01581 02. 062.3164.3110001001y (1)直接相減直接相減 有有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 ！ 只有只有1位有效數(shù)字位有效數(shù)字 第45頁/共53頁 3.盡量避免絕對(duì)值太小的數(shù)作分母盡量避免絕對(duì)值太小的數(shù)作分母 例例1212： 2 .2718 001. 0 7182. 2 如分母變?yōu)槿绶帜缸優(yōu)?.0011，也即分母只有，也即分母只有0.0001的變化時(shí)的變化時(shí) 1 .2471 0011. 0 7182. 2 2718.22471.1247.1 第46頁/共53頁 4. 避免大數(shù)避免大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù) 精確解為精確解為110 2