用二分法求方程的近似解48447PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解48447 試求解下列方程：試求解下列方程： 1 1x22 x 10 ； 2 2x22 x 10 ； 3 3x33 x 10 ； 4 4ln x2 x 60 ； x1 21x ？ 第1頁/共22頁 一元二次方程一元二次方程 可以用公式可以用公式 求根，有沒有現(xiàn)成的公式用來求方程求根，有沒有現(xiàn)成的公式用來求方程 x33 x 10 和方程和方程 的根呢？的根呢？ )0(0 2 acbxax 062ln xx 回想一下函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)的方程根的關(guān)系，試回想一下函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)的方程根的關(guān)系，試 想能否利用函數(shù)的有關(guān)知識來求它們的根的近似解（想能否

2、利用函數(shù)的有關(guān)知識來求它們的根的近似解（ 比如：精確到比如：精確到0.010.01）呢？）呢？ 沒有沒有 第2頁/共22頁 方程方程 有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根0)(xf 函數(shù)函數(shù) 的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn) )(xfy 函數(shù)函數(shù) 有零點(diǎn)有零點(diǎn) )(xfy 求方程求方程 的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù)的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù) 的零點(diǎn)，也就是函數(shù)的零點(diǎn)，也就是函數(shù) 的圖象與的圖象與x軸的交點(diǎn)的軸的交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo) )(xfy 0)(xf )(xfy 第3頁/共22頁 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)不斷的上的圖象是連續(xù)不斷的 一條曲線，并且有一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù)，那么，函數(shù) 在區(qū)

3、在區(qū) 間間 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 ，使得，使得 ，這個，這個 c也就是方程也就是方程 的根的根 )(xfy ,ba 0)()(bfaf)(xfy ba,bac, 0)(xf 0)(xf 判斷函數(shù)的零點(diǎn)：判斷函數(shù)的零點(diǎn)： 第4頁/共22頁 上節(jié)課已經(jīng)知道，函數(shù)上節(jié)課已經(jīng)知道，函數(shù) 在在 區(qū)間（區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是如何找）內(nèi)有零點(diǎn)現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是如何找 出這個零點(diǎn)？出這個零點(diǎn)？ 62ln)(xxxf 如果給你三次機(jī)會將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小如果給你三次機(jī)會將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小 ，那么你會采取什么方法？，那么你會采取什么方法？ “取中點(diǎn)取中點(diǎn) ” 第5頁/共22頁

4、第一次：取區(qū)間（第一次：取區(qū)間（2 2，3 3）的中點(diǎn)，算得：）的中點(diǎn)，算得： f（2.52.5）0.0840.084 因?yàn)橐驗(yàn)閒（2.52.5）f（3 3）0,0, 所以零點(diǎn)在區(qū)間（所以零點(diǎn)在區(qū)間（2.52.5，3 3）內(nèi)）內(nèi) 第二次：取區(qū)間（第二次：取區(qū)間（2.52.5，3 3）的中點(diǎn)，算得：）的中點(diǎn)，算得： f（2.752.75）0.5120.512 因?yàn)橐驗(yàn)閒（2.52.5）f（2.752.75）0,0, 所以零點(diǎn)在區(qū)間（所以零點(diǎn)在區(qū)間（2.52.5，2.752.75）內(nèi)）內(nèi) 第三次：取區(qū)間（第三次：取區(qū)間（ 2.52.5，2.75 2.75 ）的中點(diǎn)，算得：）的中點(diǎn)，算得： f（2.

5、6252.625）0.2150.215 因?yàn)橐驗(yàn)閒（2.6252.625）f（2.52.5）0,0, 所以零點(diǎn)在區(qū)間（所以零點(diǎn)在區(qū)間（2.52.5，2.6252.625）內(nèi)）內(nèi) 第6頁/共22頁 2.5 2.75 2.625 第7頁/共22頁 如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在范圍會繼續(xù)如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在范圍會繼續(xù) 越來越小嗎？越來越小嗎？ 由于由于 ，零點(diǎn)范圍確，零點(diǎn)范圍確 實(shí)縮小了實(shí)縮小了 75. 2 , 5 . 23 , 5 . 23 , 2 這樣，在一定精確度下，我們可以在有限次重這樣，在一定精確度下，我們可以在有限次重 復(fù)相同步驟后，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間上的任意一復(fù)相同步驟后

6、，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間上的任意一 點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值特別地，可以將區(qū)間端 點(diǎn)作為零點(diǎn)地近似值點(diǎn)作為零點(diǎn)地近似值 第8頁/共22頁 0.5122.750.5(2.5, 3) 0.2152.6250.25(2.5, 2.75) 0.0662.56250.125(2.5, 2.625) -0.0092.531250.0625(2.5, 2.5625) 0.0292.5468750.03125(2.53125, 2.5625) 0.0102.53906250.015625(2.53125, 2.546875) 0.0012.535156250.007812

7、5(2.53125, 2.5390625) -0.0842.51(2, 3) 中點(diǎn)函數(shù)近似值中點(diǎn)函數(shù)近似值區(qū)間中點(diǎn)值區(qū)間中點(diǎn)值區(qū)間長度區(qū)間長度區(qū)間區(qū)間 第9頁/共22頁 當(dāng)精確度為當(dāng)精確度為0.010.01時，由于：時，由于： |2.5390625-2.53125|2.5390625-2.53125|0.00781250.010.00781250.01， 62ln)(xxxf 062ln xx 所以，我們可以將所以，我們可以將x2.542.54作為函數(shù)作為函數(shù) 的零點(diǎn)的近似值，也即方程的零點(diǎn)的近似值，也即方程 根的近似根的近似 值值 第10頁/共22頁 對于區(qū)間對于區(qū)間a,b上連續(xù)不斷、且上連

8、續(xù)不斷、且f(a)f(b)0 的函數(shù)的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所的零點(diǎn)所 在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步 逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做 二分法二分法（bisection） 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)是二分法求函數(shù)變號零點(diǎn)近似是二分法求函數(shù)變號零點(diǎn)近似 值的重要依據(jù)必須是滿足區(qū)間值的重要依據(jù)必須是滿足區(qū)間a,b上連續(xù)不斷、上連續(xù)不斷、 且且f(a)f(b)0這兩個條件的函數(shù)才能用二分法求得零這兩個條件的函數(shù)才能用二分法求得零 點(diǎn)的近似值點(diǎn)的近似值 第11頁/共2

9、2頁 給定精確度給定精確度,用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)f(x)零點(diǎn)近零點(diǎn)近 似值的步驟如下似值的步驟如下: : 1.確定區(qū)間確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度給定精確度； ； 3. .計(jì)算計(jì)算 ； )( 1 xf 2.求區(qū)間求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)的中點(diǎn) ； 1 x （1）若）若f(x1)=0，則，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn) ； （2）若）若f(a) f(x1)0，則令，則令b= x1（此時零點(diǎn)（此時零點(diǎn)x0(a, x1) ); （3）若）若f(x1) f(b)0，則令，則令a= x1（此時零點(diǎn)（此時零點(diǎn)x0( x1,b); 4判斷是否達(dá)到精確度判斷是否達(dá)到

10、精確度，即若，即若|a-b| ，則得到零點(diǎn)，則得到零點(diǎn) 近似值近似值a(或或b)，否則重復(fù)步驟，否則重復(fù)步驟24 第12頁/共22頁 + 2 3 - 不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一個正的近似的一個正的近似 解解 .（精確到（精確到0.1） f(2)0 2x13 - + 2 2.5 3 f(2)0 2x12.5 - + 2 2.25 2.5 3 f(2.25)0 2.25x12.5 - + 2 2.375 2.5 3 f(2.375)0 2.375x12.5 - + 2 2.375 2.475 3 f(2.375)0 2.375x12.4375 第13頁/共22頁

11、 怎樣理解是否達(dá)到精度要求了怎樣理解是否達(dá)到精度要求了 ？ 設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為x0，則，則ax0b作出數(shù)軸作出數(shù)軸 ，在數(shù)軸上標(biāo)出，在數(shù)軸上標(biāo)出a、b、x0對應(yīng)的點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn) 所以所以0 x0-ab-a, a-bx0-b0 ax0 b x 由于由于| |a-b| |，所以，所以|x0-a|b-a, x0-b|a-b|， 即即a或或b作為函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)的零點(diǎn)x0的近似值都達(dá)到給的近似值都達(dá)到給 定的精確度定的精確度 第14頁/共22頁 由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們 可用二分法來求方程的近似解可用二分法來求方程的近似解 由于計(jì)算量較大，而且是

12、重復(fù)相同的步驟由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟 ，因此，我們可以通過設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，因此，我們可以通過設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序， 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算 在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中安裝一個方程數(shù)值解在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中安裝一個方程數(shù)值解 法的程序，當(dāng)我們輸入相應(yīng)的方程，并給出精法的程序，當(dāng)我們輸入相應(yīng)的方程，并給出精 確度（有效數(shù)字）后，計(jì)算器或計(jì)算機(jī)就會依確度（有效數(shù)字）后，計(jì)算器或計(jì)算機(jī)就會依 據(jù)程序進(jìn)行運(yùn)算了據(jù)程序進(jìn)行運(yùn)算了 第15頁/共22頁 例例 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程 2x+3x=7的近似解（精確到 的近似解（精確到0

13、.10.1） 解解 原方程即原方程即2x+3x-7 =0，令，令f(x)=2x+3x-7 ， 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出該函數(shù)的圖象與對應(yīng)借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出該函數(shù)的圖象與對應(yīng) 值表值表 第16頁/共22頁 x0123456 7 8 f(x)-6-2310 21 4075142 273 觀察圖表，可知：觀察圖表，可知： f(1) f(2)0，說明這個函數(shù)說明這個函數(shù) 在區(qū)間（在區(qū)間（1，2）內(nèi)由零點(diǎn)）內(nèi)由零點(diǎn) 例例 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程 2x+3x=7的近似解（精確到 的近似解（精確到0.10.1） 解解 原方程即原方程即2x+3x-7 =0，令，令f

14、(x)=2x+3x-7 ， 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出該函數(shù)的圖象與對應(yīng)借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出該函數(shù)的圖象與對應(yīng) 值表值表 下面是求方程近似解的框圖，根據(jù)框圖，可選下面是求方程近似解的框圖，根據(jù)框圖，可選 擇一種計(jì)算機(jī)語言，寫出程序，并在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行擇一種計(jì)算機(jī)語言，寫出程序，并在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行 后得出結(jié)果后得出結(jié)果 第17頁/共22頁 開始開始 定義定義f（x） 輸入輸入 ，x1 ， x2 D? 否否 x2=x 是是 x1=x， y1=y 否否 ，y= f（x），）， D| xx2 | y1f（x1） y=0 ? y1 y0 ? 否否是是 結(jié)束結(jié)束 打印打印x 是是 用二分法解例題用二分法解例題2 第18頁/共22頁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 從上海