結構力學——力法對稱性的利用

1、 5.8 對稱性的利用對稱性的利用 第五章第五章 力力 法法 1. 結構對稱性的概念結構對稱性的概念 對稱結構對稱結構：幾何尺寸、支承情況、剛度分布對稱的結構。：幾何尺寸、支承情況、剛度分布對稱的結構。 幾何對稱幾何對稱 支承對稱支承對稱 剛度對稱剛度對稱 （2）荷載的對稱性）荷載的對稱性 正對稱荷載：作用在對稱結構對稱軸兩側，大小相等正對稱荷載：作用在對稱結構對稱軸兩側，大小相等, ,方向和方向和 作用點對稱的荷載。作用點對稱的荷載。 反對稱荷載：作用在對稱結構對稱軸兩側，大小相等，作用點反對稱荷載：作用在對稱結構對稱軸兩側，大小相等，作用點 對稱，方向反對稱的荷載。對稱，方向反對稱的荷載。

2、 PP 對稱荷載對稱荷載 PP 反對稱荷載反對稱荷載 對稱結構在正對稱、反對稱荷載作用下的內力和變形對稱結構在正對稱、反對稱荷載作用下的內力和變形 q PP 基本受力特點：基本受力特點： 正對稱荷載作用下，結構的內力和變形都是正對稱的；正對稱荷載作用下，結構的內力和變形都是正對稱的； 反對稱荷載作用下，結構的內力和變形都是反對稱的。反對稱荷載作用下，結構的內力和變形都是反對稱的。 特殊截面特殊截面 對稱軸通過的截面對稱軸通過的截面 位移位移 內力內力 A FN M FQ A 正對稱正對稱 反對稱反對稱 A 反對稱反對稱 A 、F 稱為正對稱內力 稱為正對稱內力 F 稱為反對稱內力 稱為反對稱內

3、力 2. 對稱性利用之對稱性利用之選擇對稱基本結構選擇對稱基本結構 2FP X2 X2 X1X1 選取對稱基本結構的正對稱基本未知量和反對稱選取對稱基本結構的正對稱基本未知量和反對稱 基本未知量基本未知量 0 0 0 P3333232131 P2323222121 P1313212111 XXX XXX XXX 2FP X3X3 0 3113 1 1 X 1 M 1 2 X 2 M 1 3 X 3 M 0 0 0 3333232 2323222 1111 P P P XX XX X 基本方程分為兩組：基本方程分為兩組： 一組只含反對稱未知量一組只含反對稱未知量 一組只含正對稱未知量一組只含正對

4、稱未知量 0 2112 3. 對稱性利用之對稱性利用之荷載分組荷載分組 FPFP FPFP 2FP + 只要結構是對稱的，只要結構是對稱的， 對稱性的利用就成為對稱性的利用就成為 可能！可能！ 對稱結構在正對稱結構在正 對稱荷載作用對稱荷載作用 下，反對稱未下，反對稱未 知量為零。其知量為零。其 結構的內力和結構的內力和 變形是對稱的。變形是對稱的。 正對稱荷載作用下正對稱荷載作用下: FPFPFP X2 X2 X1X1 X3X3 FP FPFP 1 1 X 1 3 X 1 2 X 0 1 P 0 1 X 反對稱荷載作用下反對稱荷載作用下: 對稱結構在反對稱結構在反 對稱荷載作用對稱荷載作用

5、下，對稱未知下，對稱未知 量為零。其結量為零。其結 構的內力和變構的內力和變 形是反對稱的。形是反對稱的。 FPFP X2 X2 X1X1 X3X3 FPFP FPFP 1 1 X 1 3 X 1 2 X 0 3 P 0 2 X 0 2 P 0 3 X 三三. 取半個結構計算取半個結構計算 要使半結構能等效代替原結構的受力要使半結構能等效代替原結構的受力 和變形狀態(tài)。和變形狀態(tài)。關鍵關鍵在于在于被截開處被截開處應按原結應按原結 構上的位移條件及相應的靜力條件設置相構上的位移條件及相應的靜力條件設置相 應合適的支撐。應合適的支撐。 1.奇數(shù)跨對稱剛架奇數(shù)跨對稱剛架 正對稱荷載作用下的半剛架正對稱

6、荷載作用下的半剛架 q C q C q C C q 反對稱荷載作用下的半剛架反對稱荷載作用下的半剛架 PP C PP C P C PC 2.2.偶數(shù)跨對稱剛架偶數(shù)跨對稱剛架 正對稱荷載作用下的半剛架正對稱荷載作用下的半剛架 P C PP C PP C P C P C P F P F EI A P F P F 2 EI 2 EI P F 2 EI 反對稱荷載作用下的半剛架反對稱荷載作用下的半剛架 q aa 2a 例例: :用力法計算圖示結構。用力法計算圖示結構。EI常數(shù)。常數(shù)。 P M 圖圖 qa2/2 X11 1 M 圖圖 半邊結構半邊結構 8 2 qa M圖圖 4 1 8 P qa EI E

7、I a 3 3 11 1 3 8 qa X 1111P 0X 【解解】 1 基本體系基本體系 2 力法方程力法方程 3 求系數(shù)和自由項，解方程求系數(shù)和自由項，解方程 11P MM XM4 a EI2 EI EIEI EI2EI2 EIEI EI aaa a P 2F EIEI EI2 4 P F EIEI P 8F + 6 56 8 56 = 56 3 56 4 3 56 4 56 3 56 4 56 56 3 56 4 P F 例例: :用力法計算圖示結構。用力法計算圖示結構。 a EI2 EI EIEI EI2EI2 EIEI EI aaa a P F 56 4 56 3 56 8 56 6 56 6 56 8 56 8 56 4 56 3 56 3 M圖圖(FPa) 例例: :用力法計算圖示結構。用力法計算圖示結構。EI常數(shù)。常數(shù)。 q q q q l l X1 基本體系基本體系 1/4結構結構 ql2/8 ql2/8 P M 圖圖 1 1 M 圖圖 0 1111 P X 【解解】 1 基本體系基本體系 2 力法方程力法方程 2 1 12Xql 11 l EI 3 1 12 P qlEI 3 求系數(shù)，解方程求系數(shù)，解方程 11P MM XM4