江蘇省2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第13講　圓錐曲線(含軌跡問題)

1、圓錐曲線(含軌跡問題)本節(jié)知識(shí)在江蘇高考試題中要求比較低，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是B級(jí)考點(diǎn)，其余都是A級(jí)考點(diǎn)，但高考必考在理解定義的基礎(chǔ)上，只需對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)熟悉，特別是圓錐曲線中的離心率計(jì)算(含范圍)要能準(zhǔn)確建模(方程或不等式)1. 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實(shí)際問題；了解運(yùn)用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法2. 了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)3. 了解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解拋物線的簡單幾何性質(zhì)1. 若橢圓1的離心率e，則m的值是_2.若拋

2、物線y22x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為_3.雙曲線2x2y260上一個(gè)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_4.已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為e，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得e，則該橢圓離心率e的取值范圍是_【例1】已知橢圓G：1(ab0)的離心率為，右焦點(diǎn)為(2，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(3,2)(1) 求橢圓G的方程；(2) 求PAB的面積【例2】直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)(2，1)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1) 求橢圓C的方程；(2

3、) 過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸下方，且3.求過O、A、B三點(diǎn)的圓的方程【例3】已知橢圓y21的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)(1) 當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由【例4】(2011徐州模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓B：(x1)2y216與點(diǎn)A(1,0)，P為圓B上的動(dòng)點(diǎn)，線段PA的垂直平分線交直線PB于點(diǎn)R，點(diǎn)R的軌跡記為曲線C.(1) 求曲線C的方程；(2) 曲線C與x軸正半軸交

4、點(diǎn)記為Q，過原點(diǎn)O且不與x軸重合的直線與曲線C的交點(diǎn)記為M、N，連結(jié)QM、QN，分別交直線xt(t為常數(shù)，且t2)于點(diǎn)E、F，設(shè)E、F的縱坐標(biāo)分別為y1、y2，求y1y2的值(用t表示)1. (2011天津)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為_2.(2010全國)已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于D點(diǎn)，且2，則C的離心率為_3.(2011江西)若橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)作圓x2y21的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是_4.(2011重慶)設(shè)雙曲線

5、的左準(zhǔn)線與兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，左焦點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_5.(2011江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.(1) 當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；(2) 當(dāng)k2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；(3) 對(duì)任意k0，求證：PAPB.6.(2011重慶)如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e，一條準(zhǔn)線的方程為x2.(1) 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：2，其中M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與O

6、N的斜率之積為，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|PF2|為定值？若存在，求出F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)；若不存在，說明理由(2011蘇錫常鎮(zhèn)二模)(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點(diǎn)，其右準(zhǔn)線l與x軸交于T點(diǎn)，直線BF交橢圓于C點(diǎn)，P為橢圓上弧AC上的一點(diǎn)(1) 求證：A、C、T三點(diǎn)共線；(2) 如果3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時(shí)橢圓的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)(1) 證明：設(shè)橢圓方程為1(ab0)，則A(0，b)，B(0，b)，T.(1分)AT：1，BF：1，(3分)聯(lián)立解得：交點(diǎn)C，代入得(4分)1，(5分)滿

7、足式，則C點(diǎn)在橢圓上，A、C、T三點(diǎn)共線(6分)(2) 解：過C作CEx軸，垂足為E，OBFECF.3，CEb，EFc，則C，代入得1， a22c2，b2c2.(7分)設(shè)P(x0，y0)，則x02y2c2.(8分)此時(shí)C，ACc，SABC2cc2，(9分)直線AC的方程為x2y2c0，P到直線AC的距離為d，SAPCdACcc.(10分)只需求x02y0的最大值(解法1) (x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)(11分)3(x2y)6c2， x02y0c.(12分)當(dāng)且僅當(dāng)x0y0c時(shí)，(x02y0)maxc.(13分)(解法2)令x02y0t，代入x22y2c2得(t2y0)22

8、y2c20，即6y4ty0t22c20.(11分)(4t)224(t22c2)0，得tc.(12分)當(dāng)tc，代入原方程解得：x0y0c.(13分) 四邊形的面積最大值為c2c2c2，(14分) c21，a22，b21，(15分)此時(shí)橢圓方程為y21，P點(diǎn)坐標(biāo)為.(16分)第13講圓錐曲線(含軌跡問題)1. 已知方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_，若該方程表示雙曲線，則m的取值范圍是_【答案】 (，1)(2，)2. 點(diǎn)P為橢圓1(ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1 ，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，如果PF1F275，PF2F115，則橢圓的離心率為_【答案】 3. 已知拋物線y22px(p0)，過其焦點(diǎn)且斜

9、率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_【答案】x14. 設(shè)P點(diǎn)在圓x2(y2)21上移動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓y21上移動(dòng)，則|PQ|的最大值是_【答案】1解析：圓心C(0,2)，|PQ|PC|CQ|1|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值設(shè)Q(x，y)， |CQ|， 1y1， 當(dāng)y時(shí)，|CQ|max， |PQ|max1.5. (2011南京二模)如圖，橢圓C：1的右頂點(diǎn)是A，上、下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B、D，四邊形OAMB是矩形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)E、P分別是線段OA、AM的中點(diǎn)(1) 求證：直線DE與直線BP的交點(diǎn)在橢圓C上；(2) 過點(diǎn)B的直線l1、l2與

10、橢圓C分別交于點(diǎn)R、S(不同于B)，且它們的斜率k1、k2滿足k1k2，求證：直線RS過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)(1) 證明：由題意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，2)，E(2,0)，P(4,1)所以直線DE的方程為yx2，直線BP的方程為yx2.解方程組得所以直線DE與直線BP的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓1上即直線DE與直線BP的交點(diǎn)在橢圓C上(2) 解：直線BR的方程為yk1x2.解方程組得或所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為.因?yàn)閗1k2，所以直線BS的斜率k2，直線BS的方程為yx2.解方程組得或所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為.(若寫成“同理可得點(diǎn)S的坐標(biāo)為”也可以)所以R、S關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，故R、O

11、、S三點(diǎn)共線，即直線RS過定點(diǎn)O.6. (2011揚(yáng)州三模)如圖，已知橢圓C：1(ab0)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G：x2y2 (c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N.(1) 若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；(2) 當(dāng)c為定值時(shí)，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn))；(3) 若存在點(diǎn)P使得PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍解：(1) 令橢圓mx2ny21，其中m，n，得所以m，n，即橢圓為1.(2) 直線AB：1，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則OP的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)O、M、P、N所在的圓的方程為22

12、，化簡為x2x0xy2y0y0，與圓x2y2作差，即有直線MN：x0xy0y.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在直線AB上，所以1，所以x00，所以得x，y，故定點(diǎn)E，.(3) 直線AB與圓G：x2y2(c是橢圓的半焦距)相離，則，即4a2b2c2(a2b2)，4a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e46e240.因?yàn)?e1，所以0e23.連結(jié)ON、OM、OP，若存在點(diǎn)P使PMN為正三角形，則在RtOPN中，OP2ON2rc，所以c，a2b2c2(a2b2)，a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e43e210.因?yàn)?e1，所以e21.由，得e23，所以e.基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 3或2. 3. 244. 1,

13、1)解析： e, PF1ePF2e(2aPF1)，PF1，又acPF1ac， acac，a(1e)a(1e)，1e1e，解得e1.又0e1, 1e1.例題選講例1解：(1) 由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以橢圓G的方程為1.(2) 設(shè)直線l的方程為yxm.由得4x26mx3m2120.設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中點(diǎn)為E(x0，y0)，則x0，y0x0m；因?yàn)锳B是等腰PAB的底邊，所以PEAB.所以PE的斜率k1.解得m2.此時(shí)方程為4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此時(shí)，點(diǎn)P(3,2)到直線AB：

14、xy20的距離d，所以PAB的面積S|AB|d.例2解：(1) 由題意，設(shè)橢圓C：1(ab0)，則2a4，a2.因?yàn)辄c(diǎn)(2，1)在橢圓1上，所以1，解得b，故所求橢圓方程為1.(2) 如圖設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(3,0)由3，得即又A、B在橢圓C上，所以解得所以B，代入得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，)因?yàn)?，所以O(shè)AAB.所以過O、A、B三點(diǎn)的圓就是以O(shè)B為直徑的圓，其方程為x2y2xy0.變式訓(xùn)練已知點(diǎn)P(4,4)，圓C：(xm)2y25(mb0)有一個(gè)公共點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切(1) 求m的值與橢圓E的方程；

15、(2) 設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍解：(1) 點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓C方程，得(3m)215. m3， m1.圓C：(x1)2y25.設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：yk(x4)4，即kxy4k40. 直線PF1與圓C相切， .解得k或k. 當(dāng)k時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去當(dāng)k時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4， c4，F(xiàn)1(4,0)，F(xiàn)2(4,0). 2aAF1AF256，a3，a218，b22.橢圓E的方程為：1.(2) (1,3)，設(shè)Q(x，y)，(x3，y1)，(x3)3(y1)x3y6. 1，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|3y|， 3xy

16、3.則(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范圍是0,36. x3y的取值范圍是6,6 x3y6的取值范圍是12,0. (注：本題第二問若使用橢圓的參數(shù)方程或線性規(guī)劃等知識(shí)也可解決)例3解：(1) 直線AM的斜率為1時(shí)，直線AM方程為yx2，代入橢圓方程并化簡得5x216x120，解之得x12，x2， M.(2) 設(shè)直線AM的斜率為k，則AM：yk(x2)，則化簡得(14k2)x216k2x16k240. 此方程有一根為2， xM，同理可得xN.由(1)知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為P. kMP，同理可計(jì)算得kPN. 直線MN過x軸上的一定點(diǎn)P.變式訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1

17、(ab0)的離心率為，其焦點(diǎn)在圓x2y21上(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)A、B、M是橢圓上的三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角，使cossin. 求證：直線OA與OB的斜率之積為定值； 求OA2OB2.(1) 解：依題意，得c1.于是a，b1.所以所求橢圓的方程為y21.(2) 證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y1.又設(shè)M(x，y)，因cossin，故因M在橢圓上，故(y1cosy2sin)21.整理得cos2sin22cossin1.將代入上式，并注意cossin0，得y1y20.所以kOAkOB為定值 解：(y1y2)22(1y)(1y)1(yy)yy，故yy1.又2

18、，故xx2.所以O(shè)A2OB2xyxy3.例4解：(1) 連結(jié)RA，由題意得RARP，RPRB4，所以RARB4AB2，由橢圓定義，得點(diǎn)R的軌跡方程為1.(2) 設(shè)M(x0，y0)，則N(x0，y0)，QM、QN的斜率分別為kQM、kQN，則kQM，kNQ，所以直線QM的方程為y(x2)，直線QN的方程為y(x2)令xt(t2)，則y1(t2)，y2(t2)，又(x0，y0)在橢圓1上，所以y3x.所以y1y2(t2)2(t2)2，其中t為常數(shù)且t2.高考回顧1. 1解析：由題設(shè)可得雙曲線方程滿足3x2y2(0)，即1.于是c2.又拋物線y224x的準(zhǔn)線方程為x6，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y

19、224x的準(zhǔn)線上，則c236，于是27.所以雙曲線的方程1.2. 解析：設(shè)橢圓方程為1(ab0)，設(shè)D(x2，y2)，B(0，b)，C(c,0)，(c，b)，(x2c，y2) c21， e2， e.3. 1解析：作圖可知一個(gè)切點(diǎn)為(1,0)，所以橢圓c1.分析可知直線AB為圓x2y21與以為圓心，為半徑的圓的公共弦由(x1)22與x2y21相減得直線AB方程為：2xy20.令x0，解得y2， b2，又c1， a25，故所求橢圓方程為：1.4. (1，)解析：由題可知A，c， ba， c2a2a2， ，即1e.5. 解：(1) 由題意知M(2,0)，N(0，)，M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線PA平分線段MN，又直線PA經(jīng)過原點(diǎn)，所以k.(2) 直線PA：y2x，由得P，A，C，AB方程：，即：xy0，所以點(diǎn)P到直線AB的距離d.(3) (解法1)由題意設(shè)P(x0，y0)，A(x0，y0)，B(x1，y1)，則C(x0,0)， A、C、B三點(diǎn)共線， kACkAB，又因?yàn)辄c(diǎn)P、B在橢圓上， 1，1，兩式相減得：kPB， kPAkPB1， PAPB.(解法2)設(shè)A(x