單自由度體系地震作用

1、 1動(dòng)力計(jì)算概況 2單自由度體系的自由振動(dòng) 3阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 4單自由度體系的受迫振動(dòng) 5單自由度體系的地震作用 目 錄 Contents 6地震反應(yīng)譜 7地震作用與作用效應(yīng) 3 2-1 2-1 動(dòng)力計(jì)算概述動(dòng)力計(jì)算概述 一、動(dòng)力計(jì)算的目的、內(nèi)容和特點(diǎn)一、動(dòng)力計(jì)算的目的、內(nèi)容和特點(diǎn) 1 1、靜力荷載與動(dòng)力荷載、靜力荷載與動(dòng)力荷載 “靜力荷載靜力荷載”是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這 類荷載類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確 定的。定的

2、。 “動(dòng)力荷載動(dòng)力荷載”是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類 荷載荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度， 由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。 4 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容 2 2、動(dòng)力計(jì)算的目的、動(dòng)力計(jì)算的目的 計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)內(nèi)力，動(dòng)位移、速度與加速度）。計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)內(nèi)力，動(dòng)位移、速度與加速度）。 3 3、動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容、動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容 研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)

3、荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法。研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法。 涉及到內(nèi)外兩方面的因素：涉及到內(nèi)外兩方面的因素： 1 1）確定動(dòng)力荷載（外部因素，即干擾力）；）確定動(dòng)力荷載（外部因素，即干擾力）； 2 2）確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（內(nèi)部因素，如結(jié)構(gòu)的自振頻率、周期、）確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（內(nèi)部因素，如結(jié)構(gòu)的自振頻率、周期、 振型和阻尼等等），類似靜力學(xué)中的振型和阻尼等等），類似靜力學(xué)中的I等；等； 計(jì)算計(jì)算動(dòng)位移動(dòng)位移及其幅值；計(jì)算及其幅值；計(jì)算動(dòng)內(nèi)力動(dòng)內(nèi)力及其幅值。及其幅值。 5 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容 4 4、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)

4、(1)(1)必須考慮慣性力。必須考慮慣性力。 (2)(2)內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜平衡。必須考據(jù)慣性力，依達(dá)朗伯原理，內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜平衡。必須考據(jù)慣性力，依達(dá)朗伯原理， 加慣性力后，將動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題。加慣性力后，將動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題。 (3)(3)分析自由振動(dòng)即求自振頻率、振型、阻尼參數(shù)等是求強(qiáng)迫振動(dòng)分析自由振動(dòng)即求自振頻率、振型、阻尼參數(shù)等是求強(qiáng)迫振動(dòng) 動(dòng)力反應(yīng)的前提和準(zhǔn)備。動(dòng)力反應(yīng)的前提和準(zhǔn)備。 6 P(t ) t P t 簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化） 一般周期荷載一般周期荷載 二、動(dòng)力荷載分類二、動(dòng)力荷載分類 按起變化規(guī)律及其作用特點(diǎn)可分為：按起

5、變化規(guī)律及其作用特點(diǎn)可分為： 3 3）隨機(jī)荷載：）隨機(jī)荷載：( (非確定性荷載非確定性荷載) ) 荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值無法事先確定。荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值無法事先確定。 （如地震荷載、風(fēng)荷載）（如地震荷載、風(fēng)荷載） 2 2）沖擊荷載：）沖擊荷載：短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載） P t P(t ) t tr P tr P 1 1）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化。（轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)的偏心力）。（轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)的偏心力） 7 三、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度三、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度 確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為確定體系上全部質(zhì)量位置所

6、需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振動(dòng)自由度體系的振動(dòng)自由度。 1 1、集中質(zhì)量法、集中質(zhì)量法 (1)(1)把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無限自由度的問題簡(jiǎn)化成把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無限自由度的問題簡(jiǎn)化成 有限自由度問題。有限自由度問題。 m mm梁 m+m梁 I I2I m+m柱 廠房排架水平振廠房排架水平振 時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖 單自由度體系單自由度體系 8 （2 2）并非一個(gè)質(zhì)量集中點(diǎn)一個(gè)自由度（分析下例）。）并非一個(gè)質(zhì)量集中點(diǎn)一個(gè)自由度（分析下例）。 （3 3）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無關(guān)。）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無關(guān)。 2個(gè)自由度個(gè)自由度2個(gè)自由度個(gè)自由度4個(gè)自

7、由度個(gè)自由度 靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定結(jié)構(gòu)次超靜定結(jié)構(gòu) 3次超靜定結(jié)構(gòu)次超靜定結(jié)構(gòu) 9 （4 4）可用加鏈桿的方法確定自由度。）可用加鏈桿的方法確定自由度。 10 1 y 2 y 1 y 1 y 2 y EI 11 1 y 1 y 2 y EI 12 )(xm y(x,t) x 無限自由度體系無限自由度體系 1010） 13 水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊 (t) v(t) u(t) 14 四、動(dòng)力計(jì)算的方法四、動(dòng)力計(jì)算的方法 動(dòng)力平衡法（達(dá)朗伯爾原理）動(dòng)力平衡法（達(dá)朗伯爾原理） m .運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 m 設(shè)其中設(shè)其中 P(t)

8、 .平衡方程平衡方程 I(t)慣性力，與加速度成正比，方向相反慣性力，與加速度成正比，方向相反 改寫成改寫成 P tmy t & & my tI t& & my tI t & & P tmy t & & 0P tmy t & & 15 2-2 2-2 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng) 自由振動(dòng)自由振動(dòng)：體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用。：體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用。 靜平衡位置靜平衡位置 m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 自由振動(dòng)產(chǎn)生原因自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（：體系在初始時(shí)刻（t=t=0 0）受到外界的干擾。）受到外界的干擾。 y t & 16 研究

9、單自由度體系振動(dòng)的重要性研究單自由度體系振動(dòng)的重要性 1 1、是工程上一些實(shí)際結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化。、是工程上一些實(shí)際結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化。 2 2、 它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基 本概念。本概念。 建筑物基礎(chǔ)建筑物基礎(chǔ) 水塔的水平振動(dòng)水塔的水平振動(dòng) 要解決的問題包括：要解決的問題包括： 建立運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算自振頻率、周期和阻尼建立運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算自振頻率、周期和阻尼. . 17 一、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立一、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立 方法：達(dá)朗伯爾原理方法：達(dá)朗伯爾原理應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程）應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程） 1 1、 剛度法剛度法：研究作用于被

10、隔離的質(zhì)量上的：研究作用于被隔離的質(zhì)量上的 力，建立平衡方程。力，建立平衡方程。 m . . yj .yd 靜平衡位置 質(zhì)量m在任一時(shí)刻的位移 y(t)=yj+yd k 力學(xué)模型力學(xué)模型 . yd mm W S(t) I(t) + 重力重力 W 彈性力彈性力 )()()( dj yyktkytS恒與位移反向恒與位移反向 慣性力慣性力 (a) 其中 kyj=W 及 上式可以簡(jiǎn)化為 或或 由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。 jd I tmy tm yy & & & & jdjd m yyk y

11、yW& & & 0 j y & & 0 dd myky& & 0myky& & (b) 18 2 2、 柔度法柔度法：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。 . . m靜平衡位置 I(t) k 1 可得與可得與 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程 剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。 y tI tmy t & & (c) 0my ty t & & 19 二、自由振動(dòng)微分方程的解二、自由振動(dòng)微分方程的解 改寫為 其中 m k 2 它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：它是二階線性齊次微分方程

12、，其一般解為： ).(.cossin)( 21 dtCtCty 積分常數(shù)積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定由初始條件確定 12 2 2 1212 1212 1,212 00 , cossin r xr x r x x rprqypyqy r ryC eC e rryCC x e riyeCxCx 0myky& &(b) 0 k yy m & &0 2 yy& & 20 m靜平衡位置靜平衡位置 I(t) ).(cossin)( 21 dtCtCty 設(shè)設(shè) t=0 時(shí)時(shí) v C yC 1 2 . . （d）式可以寫成式可以寫成 ).(.sincos)(et v tyty 由式可知，位移是由初位移由式

13、可知，位移是由初位移y 引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度v 引起的正弦引起的正弦 運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng), , 令令 cos,sinA v Ay (e)式改寫成式改寫成 ).(.).sin()(ftAty 它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其中它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其中A和和 可由下式確定可由下式確定 ).(. 1 2 2 g v y tg v yA 振幅振幅 相位角相位角 0 0 yy yv & 21 ).(.sincos)(et v tyty ).(.).sin()(ftAty y 0 t y -y T T T v v y

14、t0 y t 0 A -A tycos t v sin tAsin 22 三、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率三、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率 由式由式)sin()(tAty及圖可見位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。及圖可見位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。 T y t 0 A -A 周期周期 , 2 T 工程頻率工程頻率),( 2 1 Hz T f 圓頻率圓頻率 T f 2 2 23 計(jì)算頻率和周期的幾種形式計(jì)算頻率和周期的幾種形式 st g W g mm k 1 gk m T st 22 頻率和周期的討論頻率和周期的討論 （1 1）自振周期與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與外界的干擾因素）自振周期與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛

15、度有關(guān)，與外界的干擾因素 無關(guān)。干擾力只影響振幅無關(guān)。干擾力只影響振幅A A。 （2 2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，周期越大（頻率?。唬┳哉裰芷谂c質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，周期越大（頻率?。?； 自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越小（頻率越大）；要改 變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。 （3 3）兩個(gè)外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動(dòng)力性能相差很大。反）兩個(gè)外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動(dòng)力性能相差很大。反 之，兩個(gè)外形看來

16、并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用之，兩個(gè)外形看來并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用 下的動(dòng)力性能基本一致。下的動(dòng)力性能基本一致。 24 例例1 1、圖示三根單跨梁，、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m， 不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：解：1 1）求）求 EI l 48 3 1 P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EI lllll EI l 768 7 ) 32 5 216 3 2 2( 6 1 3 2 1 3

17、1 1 481 ml EI m 據(jù)此可得據(jù)此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng)結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng), ,其剛度越大其剛度越大, ,剛度越大剛度越大, ,其自振動(dòng)頻率也越大。其自振動(dòng)頻率也越大。 25 例例1 1、圖示三根單跨梁，、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m， 不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：解：1 1）求）求 EI l 48 3 1 EI l 768 7 3 2 EI l 192 3 3 3 1 1 481 ml EI m 3

18、 2 2 7 7681 ml EI m 3 3 3 1921 ml EI m 據(jù)此可得據(jù)此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng)結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng), ,其剛度越大其剛度越大, ,剛度越大剛度越大, ,其自振動(dòng)頻率也越大。其自振動(dòng)頻率也越大。 由單位桿端位移所引起的桿端力（剛度系數(shù)）由單位桿端位移所引起的桿端力（剛度系數(shù)） 補(bǔ)充：補(bǔ)充：等截面直桿的形常數(shù)等截面直桿的形常數(shù) =1 A=1 EI 3i l i 3 =1 A=1 EI 4i 2i l i6 l i6 補(bǔ)充：補(bǔ)充：等截面直桿的形常數(shù)等截面直桿的形常數(shù) 補(bǔ)充：補(bǔ)充：等截面直桿的等截面直桿的載載常數(shù)常數(shù) 29 例例2.

19、2.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)頻率。計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)頻率。 m l A,E,I H E,I 1 H H m 1 E,A 1 V V V m 1 II EI1= m h 1 k 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 例例3.3.計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。 3 12 h EI 3 12 h EI 由截面平衡由截面平衡 3 24 h EI k 3 24 mh EI m k EI mh T 2 2 3 30 四、簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性四、簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性 由式由式 )sin()(tAty 可得，可得，加速度為：加速度為： 在無阻尼

20、自由振動(dòng)中，在無阻尼自由振動(dòng)中，位移、加速度和慣性力位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)都按正弦規(guī) 律變化，且作律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)相位相同的同步運(yùn)動(dòng)，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極 值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。 它們的幅值產(chǎn)生于它們的幅值產(chǎn)生于1)sin(t 時(shí)，其值分別為：時(shí)，其值分別為： Ay 2 mAI 既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣， 于是可于是可在幅值處建立運(yùn)動(dòng)方程在幅值處建立運(yùn)動(dòng)方程，此時(shí)方程中將不含時(shí)間，此時(shí)方程中將不含

21、時(shí)間t，結(jié)果把，結(jié)果把微分微分 方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程了，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。了，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。 慣性力為：慣性力為： sin 2 y tAt & & sin 2 I tmy tmAt & & 2 yA & & 31 例例4. 4. 計(jì)算體系自振頻率計(jì)算體系自振頻率( (練習(xí)題）。練習(xí)題）。 A BC D EI= l /2 l /2l mm 1mm 3 1 2 k BC k 1 m 2 m . .A1. .A2 lk 1 I 2 I 解：?jiǎn)巫杂啥润w系，解：?jiǎn)巫杂啥润w系， 以以 表示位移參數(shù)的幅值表示位移參數(shù)的幅值, , 各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為： 2 2 1 2 11

22、 l mAmI lm lmAmI 2 2 2 2 22 2 1 2 3 3 1 建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0 B M 0 2 3 2 21 llklI l I 0 2 3 2 1 22 1 22 llkllm l lm 化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得km 2 m k 32 1 提高：例提高：例5.5.求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率（練習(xí)題）。求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率（練習(xí)題）。 解法解法1 1：求：求 k=1/h MBA=kh = MBC k l h m I EI B A C lh EI l EI3 3 lmh EI m k 2 3 2 3 lh EI k 1 h 解法解法2 2：求：求 EI lhhlh EI

23、33 2 2 1 2 2 11 31 mlh EI m 33 例例6.6.求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率( (練習(xí)題）。練習(xí)題）。 l EI m k 1 k11 k11 k 3 3 l EI解：求解：求 k 3 11 3 l EI kk m k m k l EI 3 3 11 對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。 如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn)如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn) 都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為剛架剛架) )計(jì)算剛度系數(shù)方便。計(jì)算剛度系數(shù)方便。 3 12 l EI 一端鉸結(jié)的桿

24、的側(cè)移剛度為：一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為： 3 3 l EI 兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為： 34 實(shí)驗(yàn)證明，振動(dòng)中的結(jié)構(gòu)，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)證明，振動(dòng)中的結(jié)構(gòu)，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生 非彈性的內(nèi)力，非彈性的內(nèi)力，非彈性力起阻尼作用非彈性力起阻尼作用。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些 結(jié)論也反應(yīng)了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，如：結(jié)論也反應(yīng)了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，如： 1 1、阻尼的存在、阻尼的存在 忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律 結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無關(guān)。結(jié)構(gòu)

25、的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無關(guān)。 簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。 自由振動(dòng)的振幅永不衰減。自由振動(dòng)的振幅永不衰減。自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。 共振時(shí)的振幅趨于無窮大。共振時(shí)的振幅趨于無窮大。共振時(shí)的振幅較大但為有限值。共振時(shí)的振幅較大但為有限值。 2-3 2-3 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解：關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解： 1 1）使振動(dòng)衰減的作用；）使振動(dòng)衰減的作用； 2 2）使能量耗散。）使能量耗散。 35 2 2、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素 1 1）結(jié)構(gòu)在

26、變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱）結(jié)構(gòu)在變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱“內(nèi)摩擦內(nèi)摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基礎(chǔ)的振動(dòng)引起土壤發(fā)生振動(dòng)，此振動(dòng)以波的形式向周圍擴(kuò)散，）建筑物基礎(chǔ)的振動(dòng)引起土壤發(fā)生振動(dòng)，此振動(dòng)以波的形式向周圍擴(kuò)散， 振動(dòng)波在土壤中傳播而耗散能量；振動(dòng)波在土壤中傳播而耗散能量； 3 3）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點(diǎn)上的摩擦和空氣阻尼等等。）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點(diǎn)上的摩擦和空氣阻尼等等。 振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對(duì)非彈性力的描述振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對(duì)非彈性力的描述 不同，目前主要有兩種阻尼理論：不同，目前主要有

27、兩種阻尼理論： * *粘滯阻尼理論粘滯阻尼理論非彈性力與變形速度成正比：非彈性力與變形速度成正比： * *滯變阻尼理論滯變阻尼理論 3 3、阻尼力的確定：、阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向；大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向；大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系： 1 1）與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。）與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。 2 2）與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。）與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。 3 3）與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)（如摩擦力）。）與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)（如摩擦力）。 其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。其他阻尼力也

28、可化為等效粘滯阻尼力來分析。 R tcy t & 36 m S(t) I(t) P(t) y . . k m P(t) P(t) )(tR C 平衡方程平衡方程 )()(tkytS 4 4、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 設(shè)解為： t Bey 特征方程特征方程 02 22 ),1( 2 2, 1 特征值特征值 一般解一般解 tt eBeBty 21 21 )( m c m k 2 , ( 阻尼比阻尼比） 令令 I tmy t & & R tcy t & mycykyP t & & 0mycyky& & 0 ck yyy mm & & 2 0y2yy& & 37 （1）低阻尼情形低阻

29、尼情形 ( 1 強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問題不常見。強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問題不常見。 r C C 0 0 0 0 yy yv & 設(shè)設(shè) m 受迫振動(dòng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）：受迫振動(dòng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)。結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)。 k y(t) y m ky P(t ) m P(t ) P(t ) 彈性力彈性力ky、慣性力慣性力 和荷載和荷載P(t)之間的平衡方程為之間的平衡方程為: ( )mykyP t& & 一、簡(jiǎn)諧荷載：一、簡(jiǎn)諧荷載： t m F tDtDsinsinsin 22 tDy*sin )( 22 m F D tyt m F y* st sin )1 ( 1 si

30、n )1 ( 22222 F m F y st 2 單自由度體系強(qiáng)迫單自由度體系強(qiáng)迫 振動(dòng)的微分方程振動(dòng)的微分方程 特解特解： 2-4 2-4 單自由度體系的受迫振動(dòng)單自由度體系的受迫振動(dòng) sinP tFt my & & 2 sin F yyt m & & my & & 最大靜最大靜位移位移 yst（是把荷載幅值當(dāng)作靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)所（是把荷載幅值當(dāng)作靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的產(chǎn)生的位移）。位移）。 tyy st sin 1 1 22 * 特解可寫為：特解可寫為： 通解可寫為：通解可寫為：tytCtCy st sin 1 1 cossin 22 21 設(shè)設(shè)t=0時(shí)的初始位移和初始速度均為零，則：

31、時(shí)的初始位移和初始速度均為零，則： 0, 1 2 22 1 CyC st )sin(sin 1 1 22 ttyy st 過渡階段過渡階段：振動(dòng)開始兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段；：振動(dòng)開始兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段； 平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動(dòng)的階段。（由于阻尼的存在）：后來只按荷載頻率振動(dòng)的階段。（由于阻尼的存在） 按自振頻率振動(dòng) 按荷載頻率振動(dòng) 平穩(wěn)階段：平穩(wěn)階段：tyy st sin 1 1 22 最大動(dòng)位移（振幅）為：最大動(dòng)位移（振幅）為： 22 max 1 1 st yy st y y max 22 1 1 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)： 1 0 2 3 123 重要的特性：重要的特性： f當(dāng)

32、當(dāng)/0時(shí)時(shí),1： 荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。 f當(dāng)當(dāng)0 / 1，并且隨并且隨/的增大的增大 而增大。而增大。 f當(dāng)當(dāng)/ 1時(shí)時(shí), ： 即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅 會(huì)無限增大。稱為會(huì)無限增大。稱為“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1時(shí)時(shí), 的絕對(duì)值隨的絕對(duì)值隨/的增大而減小。的增大而減小。 當(dāng)當(dāng)很大時(shí)，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及反應(yīng)很大時(shí)，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及反應(yīng)。 例：已知例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動(dòng)力

33、彎矩。求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。 2m EI m k Psint 2m 解：解：1)1)求求 kEI l 2 1 2 1 48 3 21 EI l EI l EI l 192 5 19248 333 1 3 16.134 5 1921 s ml EI m 2)2)求求 552. 1 1 1 22 m EI l PPy 3 5 333 max 1075. 5 1090192 451020552. 1 192 5 3)3)求求ymax， Mmax mkNlPM.04.31420552. 1 4 1 )( 4 1 max 當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，由于體系上各當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由

34、度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，由于體系上各 截面的內(nèi)力、位移都與質(zhì)點(diǎn)處的位移成正比，故各截面的最大動(dòng)內(nèi)力和最大截面的內(nèi)力、位移都與質(zhì)點(diǎn)處的位移成正比，故各截面的最大動(dòng)內(nèi)力和最大 動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)，動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)按靜力方法只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)按靜力方法 來計(jì)算即可來計(jì)算即可。 練習(xí)練習(xí) 簡(jiǎn)支梁（簡(jiǎn)支梁（I28b），慣性矩），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)，截面系數(shù)W=534cm3， E=2.1104kN/cm2。在跨度中點(diǎn)有電動(dòng)機(jī)重量。在跨度中點(diǎn)有電動(dòng)機(jī)重量Q=35kN，轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=500r/min。由。由 于具有偏心，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生離心力于具有偏

35、心，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生離心力P=10kN，P的豎向分量為的豎向分量為Psint。忽略梁的質(zhì)。忽略梁的質(zhì) 量，試求強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。（梁長(zhǎng)量，試求強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。（梁長(zhǎng)l=4m） 解：解：1 1）求自振頻率和荷載頻率）求自振頻率和荷載頻率 S QlEIg 1 343 4 .57400359807480101 . 24848 S n 1 3 .526050014. 32602 2 2）求動(dòng)力系數(shù)）求動(dòng)力系數(shù) 88. 5 4 .573 .521 1 1 1 2222 EI Pl EI Ql yst st 4848 33 max W lPQ W Pl W Ql

36、 4 )( 44 max st g 175.6MPa 必須特別注意，這種處理方法只適用于單自由度體系在質(zhì) 點(diǎn)上受干擾力作用的情況。對(duì)于干擾力不作用于質(zhì)點(diǎn)的單自由 度體系，以及多自由度體系，均不能采用這一方法。 I22b3570cm4 357039.7 39.7 1.35 325 149.2 設(shè)體系在設(shè)體系在t=0時(shí)靜止，然后時(shí)靜止，然后 有瞬時(shí)沖量有瞬時(shí)沖量S作用作用。 二、一般荷載二、一般荷載一般荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)可利用瞬時(shí)沖量的一般荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)可利用瞬時(shí)沖量的 動(dòng)力反應(yīng)來推導(dǎo)動(dòng)力反應(yīng)來推導(dǎo) 1、瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)、瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng) P(t) t P m tP m S v 0 0

37、 0 y t t m S ty sin)( t t t t t m S ty sin)( )(sin t m S tPSmv0 0 0 0 cossin v y tytt 2、任意荷載、任意荷載P(t)的動(dòng)力反應(yīng)的動(dòng)力反應(yīng) P(t) t dPdS)( 時(shí)刻的微分沖量對(duì)時(shí)刻的微分沖量對(duì)t瞬時(shí)瞬時(shí)(t ) 引起的動(dòng)力反應(yīng)引起的動(dòng)力反應(yīng): : )(sin )( t m dP dy 初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體 系在任意荷載作用下的位移系在任意荷載作用下的位移 公式公式: : dtP m ty t )(sin)( 1 )( 0 (Duhamel 積分積分) 初始位移初始位移y0和初

38、始速度和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式不為零在任意荷載作用下的位移公式: : 0 0 0 1 ( )cossin( )sin() t v y tyttPtd m t 3、幾種典型荷載的動(dòng)力反應(yīng)（略）、幾種典型荷載的動(dòng)力反應(yīng)（略） 1 1）突加荷載）突加荷載 0, 0, 0 )( 0 tP t tP 當(dāng) 當(dāng) P(t) t P dtP m ty t )(sin)( 1 )( 0 dtP m ty t )(sin 1 )( 0 0 )cos1 ( 2 0 t m P yst=P0=P0 /m2 yst y(t) t 0 23 質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)作簡(jiǎn)諧振

39、動(dòng) 2 )( max st y ty )cos1 (tyst 2 2）短時(shí)荷載）短時(shí)荷載 ut utP t tP , 0 0, 0, 0 )( 0 P(t) t P u 階段階段(0tu)：無荷載，體系以無荷載，體系以t=u時(shí)刻的位移時(shí)刻的位移 和速度和速度為初始條件作自由振動(dòng)。為初始條件作自由振動(dòng)。 )cos1 ()(uyuy st uyuv st sin)( )(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuyty stst tutystcos)(cos 或者直接由或者直接由Duhamel積分作積分作 dtP m ty t )(sin)( 1 )( 0 dtP m ty u )(s

40、in 1 )( 0 0 )cos)(cos 2 0 tut m P ) 2 (sin 2 sin2 u t u yst 另解：短時(shí)荷載可認(rèn)為由兩個(gè)突加荷載疊加而成。另解：短時(shí)荷載可認(rèn)為由兩個(gè)突加荷載疊加而成。 P(t) t P P(t) t P u P(t) t P u )cos1 ()(tyty st )(cos1)(utyty st 當(dāng)當(dāng)0t u )cos1 ()(tyty st )(cos1 (utyst )cos)(costutyst) 2 (sin 2 sin2 u t u yst 3 3）線性漸增荷載）線性漸增荷載 r r r ttP tt t tP tP 當(dāng) 當(dāng) , 0, )(

41、0 0 P(t) t P0 tr 這種荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)同樣可由這種荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)同樣可由DuhamelDuhamel積分來求積分來求解解: : rr r st r r st ttttt t y tt t t t y ty 當(dāng) 當(dāng) ,)(sinsin 1 1 , sin )( 對(duì)于這種線性漸增荷載對(duì)于這種線性漸增荷載, ,其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間的長(zhǎng)短有很大關(guān)系。其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間的長(zhǎng)短有很大關(guān)系。 其動(dòng)力系數(shù)的反應(yīng)譜如下：其動(dòng)力系數(shù)的反應(yīng)譜如下： 01.02.03.04.0 T tr 1.4 1.2 1.0 1.6 1.8 2.0 tr P0 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)

42、介于介于1 1與與2 2之間。之間。 如果升載很短，如果升載很短，tr4T, ,則則接近于接近于1,1,即相當(dāng)于靜荷載情況。即相當(dāng)于靜荷載情況。 常取外包虛線作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。常取外包虛線作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。 三、有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)三、有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) 單獨(dú)由單獨(dú)由v0引起的自由振動(dòng)：引起的自由振動(dòng)： 瞬時(shí)沖量瞬時(shí)沖量ds=Pdt=mv0所引所引 起的振動(dòng)，可視為以起的振動(dòng)，可視為以v0=Pdt/m， y0=0為初始條件的自由振動(dòng)：為初始條件的自由振動(dòng)： t v ey r r t sin 0 t m Pdt ey r r t sin 將荷載將荷載P(t)的加載過程的加載過程 看看 作一系列瞬時(shí)沖量：作

43、一系列瞬時(shí)沖量： )(sin )( )( te m dP dy r t r 總反應(yīng)總反應(yīng) dte m P ty r tt r )(sin )( )( )( 0 t yv tye r r r t sincos 00 0 P(t) t d dPdS)( t （1）突加荷載突加荷載P0)sin(cos1 )( 2 0 tte m P ty r r r t 低阻尼低阻尼y- t曲線曲線 無阻尼無阻尼y- t曲線曲線 yst y(t) t 0 23 45 y(t) t 0 23 45 靜 力 平 衡 位 置 具有阻尼的體系在具有阻尼的體系在 突加荷載作用下，突加荷載作用下， 最初所引起的最大最初所引起的

44、最大 位移接近于靜位移位移接近于靜位移 yst=P0/m2的兩倍，的兩倍， 然后逐漸衰減，最然后逐漸衰減，最 后停留在靜力平衡后停留在靜力平衡 位置。位置。 （2）簡(jiǎn)諧荷載簡(jiǎn)諧荷載P(t)=Fsint 2 2sin F yyyt m & & 設(shè)特解為：設(shè)特解為：y=Asin t +Bcos t 代入得代入得： 222222222222 22 4)( 2 , 4)( m F B m F A 12 cossinsincos t rr yeCtCtAtBt 齊次解加特解得到通解：齊次解加特解得到通解： 自由振動(dòng)，因阻尼作用，自由振動(dòng)，因阻尼作用， 逐漸衰減、消失。逐漸衰減、消失。 純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振

45、動(dòng)，純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振動(dòng)， 振幅和周期不隨時(shí)間而變化。振幅和周期不隨時(shí)間而變化。 結(jié)論結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無論是否計(jì)入阻尼的作用，純：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無論是否計(jì)入阻尼的作用，純 強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。 y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) 2 1 2 2 2 2 2 2 22 )(1 )(2 ,41 2 1 tgyBAy stP 振幅振幅：yp， 最大靜力位移最大靜力位移：yst=F/k=F/m2 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2

46、 41 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)與頻率比與頻率比/和阻尼比和阻尼比有關(guān)有關(guān) 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 / =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 幾點(diǎn)注意：幾點(diǎn)注意： 隨隨增大增大曲線漸趨平緩，曲線漸趨平緩， 特別是在特別是在/=1附近附近的的 峰值下降的最為顯著峰值下降的最為顯著。 2 1 共振時(shí)共振時(shí) 當(dāng)當(dāng)接近接近 時(shí)，時(shí)， 增加很快，增加很快， 對(duì)對(duì) 的數(shù)值影響也很大的數(shù)值影響也很大。在在0.75 / 1.25( (共振區(qū)共振區(qū)) )內(nèi)，阻尼大大減小了內(nèi)，阻尼大大減小了 受迫振動(dòng)的位移，受迫振動(dòng)的位移，因此因此, , 為了研究共為了研究共 振時(shí)的動(dòng)力

47、反映振時(shí)的動(dòng)力反映, , 阻尼的影響是不容阻尼的影響是不容 忽略。忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì)在共振區(qū)之外阻尼對(duì)的影響的影響 較小，可按無阻尼計(jì)算。較小，可按無阻尼計(jì)算。 max max并不發(fā)生在共振 并不發(fā)生在共振/= =1 1時(shí)，而發(fā)生在，時(shí)，而發(fā)生在， 由由y=yPsin(t ) 可見，阻尼體系的可見，阻尼體系的 位移比荷載位移比荷載P=Fsin t 滯后一個(gè)相位角滯后一個(gè)相位角 ， 2 1 ,1 1 max 峰 2 1 )(1 )(2 tg 但因但因很小，可近似地認(rèn)為：很小，可近似地認(rèn)為： 2 21 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),180體系振動(dòng)得很快，體系振動(dòng)得很快，F(xiàn)I很大，很大，S、R相對(duì)說來較小，動(dòng)荷相

48、對(duì)說來較小，動(dòng)荷 主要由主要由FI 平衡，平衡， FI 與與y同向，同向，y與與P反向；反向； 彈性力彈性力S，慣性力慣性力FI， 阻尼力阻尼力R分別為：分別為： 2 sin,sin, sin,cos pp I pp yytSkykyt FmymytRcyc yt & & t sin 2 1 tFsinm2 2 當(dāng)當(dāng)=時(shí)時(shí),90 由此可見：共振時(shí)（由此可見：共振時(shí)（=），），S與與FI剛好互相平衡，剛好互相平衡， yst 2 1 )(1 )(2 tg 有無阻尼均如此。動(dòng)荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會(huì)出現(xiàn)內(nèi)有無阻尼均如此。動(dòng)荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會(huì)出現(xiàn)內(nèi) 力為無窮大的情況。

49、而在無阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力與動(dòng)荷載力為無窮大的情況。而在無阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力與動(dòng)荷載 平衡，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。平衡，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。 k=m2=m2 2 m F )90sin( 0 tkyS P )90sin( 02 tymF P I )90cos( 0 tycycR P tym P sin2 2 sin, sin, sin, cos p p I p p yyt Skykyt Fmymyt Rcyc yt & & & 2-5 2-5 單自由度體系的地震作用單自由度體系的地震作用 根據(jù)達(dá)倫貝爾原理，單自由度彈性體系運(yùn)動(dòng)方程為根據(jù)達(dá)倫貝爾原理，單自由度彈性體

50、系運(yùn)動(dòng)方程為 體系上無干擾力，僅有地震引起的水平地面運(yùn)動(dòng)時(shí)體系上無干擾力，僅有地震引起的水平地面運(yùn)動(dòng)時(shí) 即即 令令 2 /k m 22 cc mkm 有有 mx tcx tkx tP t & & 0 g m xtx tcx tkx t & & & - g mx tcx tkx tmxt& & & 2 2- g x tx tx txt& & & 常系數(shù)二階非齊次方程，其解包括兩部分：一部分是與方程相常系數(shù)二階非齊次方程，其解包括兩部分：一部分是與方程相 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；另一部分是方程的特解。前者代表體對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；另一部分是方程的特解。前者代表體 系的自由振動(dòng)，后者代表體系在地震作

51、用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。系的自由振動(dòng)，后者代表體系在地震作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。 （1 1）齊次方程的通解）齊次方程的通解 00 0 cossin t xx x textt & （2 2）地震作用下運(yùn)動(dòng)方程的特解（杜哈梅積分）地震作用下運(yùn)動(dòng)方程的特解（杜哈梅積分） () 0 1 ( )sin() t t g x txt etd & & 2 2- g x tx tx txt& & & 單自由度彈性體系在地震作用下相對(duì)于地面的速度反應(yīng)為（初單自由度彈性體系在地震作用下相對(duì)于地面的速度反應(yīng)為（初 速度和初位移均為速度和初位移均為0 0） 單自由度體系的絕對(duì)加速度單自由度體系的絕對(duì)加速度 () 0 () 0 ( )cos() sin() t t g t t g x txt etd xt etd & & & & () 0 22 () 0 2 () 0 ( )( )2cos() 2 sin() sin() t t gg t t g t