現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題16頁

1、概念：設(shè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為，（1）若，則稱為（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ）（2）若，則稱為（ 傳遞函數(shù)矩陣 ）（3）若，則稱為（能控性矩陣）（4）若，則稱為（能觀性矩陣）（5）若，則稱為（輸出能控性矩陣）（6）李雅普諾夫方程，其中為正定對(duì)稱陣，當(dāng)使方程成立的為（ 正定對(duì)稱陣 ）時(shí)，系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。（7）設(shè)系統(tǒng)，如果存在一個(gè)具有一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，并且對(duì)于狀態(tài)空間X中的且非零點(diǎn)x滿足如下條件：為（正定）；為（負(fù)定）；當(dāng)時(shí)，。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是（大范圍漸近穩(wěn)定的）。（8）狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的（可控性）。輸出至狀態(tài)微分反饋不改變系統(tǒng)的（可觀測(cè)性）。輸出至參考輸入反饋，不改變系統(tǒng)的（可控性和可觀測(cè)性）。狀態(tài)反饋和輸出

2、反饋都能影響系統(tǒng)的（穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能）。（9）狀態(tài)反饋控制的極點(diǎn)任意配置條件是系統(tǒng)狀態(tài)（完全可控）。狀態(tài)觀測(cè)的極點(diǎn)任意配置條件是系統(tǒng)狀態(tài)（完全可觀）。（10）系統(tǒng)線性變換時(shí)，變換矩陣必須是（非奇異的，或滿秩）的。二：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) ，試求約當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程。解：由上式，可得約當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程三：試求下列狀態(tài)方程的解 的解解：由題意可得： 五：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控，試求。解：令時(shí)，即可滿足可控性條件。六：試確定使系統(tǒng)可觀測(cè)的。解： 時(shí)，于是系統(tǒng)可觀。第A9-3題：系統(tǒng)微分方程為 ， 其中u為輸入量；x為輸出量。設(shè)狀態(tài)，試寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程；設(shè)狀態(tài)變換，試確定變換矩陣T，及變換后的動(dòng)態(tài)方程

3、。參考答案：列寫系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程求變換矩陣T和變換后的動(dòng)態(tài)方程由題意知 , 故變換矩陣 由于 , , 變換后的動(dòng)態(tài)方程, 第A9-5題：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其狀態(tài)變量為x1，x2，x3。試列寫動(dòng)態(tài)方程。參考答案：將頻域參量s視作微分算子，可得 ，整理得動(dòng)態(tài)方程 寫成向量矩陣形式, 第A9-6題：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試求可控標(biāo)準(zhǔn)型（A為友矩陣），可觀標(biāo)準(zhǔn)型（A為友矩陣轉(zhuǎn)置），對(duì)角型（A為對(duì)角陣）動(dòng)態(tài)方程。參考答案：由于 串聯(lián)分解，引入中間變量z，可得微分方程 選取狀態(tài)變量 ， 則狀態(tài)方程 ，則輸出方程 可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程 利用能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系， ， ， 由可控標(biāo)準(zhǔn)型得可觀標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程 由于 故

4、1=-1，2=-3為系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，且有因此， 令狀態(tài)變量 ， 其反拉氏變換 ， ， 因此對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程 第A9-13題：已知線性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為試求系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A。參考答案1：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì) 參考答案2：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)所以第A9-14題：設(shè)系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)矩陣為試求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：參考答案1：拉氏變換法參考答案2：線性變換法由于A是友矩陣，故有，所以， 參考答案3：待定系數(shù)法根據(jù)凱萊-哈密頓定律因A的特征值1 = 2 = 1, 3 = 2, 則有第A9-15題：已知線性定常自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程, 試求系統(tǒng)的狀態(tài)軌線。參考答案：線性定常齊次狀態(tài)方程的解， ， 第A9-1

5、9題：已知線性動(dòng)態(tài)方程為, 試求傳遞函數(shù)陣G(s)。參考答案： 第A9-21題：已知 ad = bc, 試計(jì)算參考答案： 設(shè)，則A的特征多項(xiàng)式為由數(shù)學(xué)歸納法第A9-22題：設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試求：可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)；可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)；對(duì)角型實(shí)現(xiàn)；下三角型實(shí)現(xiàn)；參考答案： 可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)引入中間變量z，使可得微分方程， 選擇，則有系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)， 可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的微分方程， 選擇狀態(tài)變量， 則有系統(tǒng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)， 對(duì)角型實(shí)現(xiàn)；將傳遞函數(shù)分解成部分分式設(shè), , 可得 ， ， 系統(tǒng)的對(duì)角型實(shí)現(xiàn)為， 下三角型實(shí)現(xiàn)；將傳遞函數(shù)分解成設(shè), , 可得 ， ，系統(tǒng)的三角型實(shí)現(xiàn)為， 第A9-26題

6、：設(shè)有不穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)（A，b，c），其中，能否通過狀態(tài)反饋把系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在處？若能，試求出實(shí)現(xiàn)上述極點(diǎn)配置的反饋增益向量k； 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不可直接測(cè)量時(shí)，能否通過狀態(tài)觀測(cè)器來獲取狀態(tài)變量？若能，試設(shè)計(jì)一個(gè)極點(diǎn)位于處的等維狀態(tài)觀測(cè)器；參考答案： 反饋增益向量k系統(tǒng)的可控性矩陣及秩，rankP = 3系統(tǒng)是可控的，可以通過狀態(tài)反饋來進(jìn)行極點(diǎn)配置，設(shè)反饋增益向量系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式 閉環(huán)系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式 比較同次系數(shù)得 ， 反饋增益向量系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)矩陣及秩，rankV = 3系統(tǒng)是可觀測(cè)的，可以通過狀態(tài)觀測(cè)器來獲取狀態(tài)變量。利用輸出至狀態(tài)微分反饋來配置極點(diǎn)，設(shè)反饋增益向量h，先將（A，

7、c）化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型 變換矩陣，設(shè) ， 狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為期望的狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為比較同次系數(shù)得 ， 要設(shè)計(jì)的等維狀態(tài)觀測(cè)器 【A9-27】試用李雅普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的原點(diǎn)穩(wěn)定性： 【參考答案1】方法一：原點(diǎn)(x1=0, x2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài).選取正定標(biāo)量函數(shù)則有對(duì)于狀態(tài)空間中的一切非零x滿足V(x)正定,負(fù)定，故系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。方法二：系統(tǒng)狀態(tài)方程寫成向量矩陣形式， 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 ， 即A是非奇異的，故原點(diǎn)xe=0是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。設(shè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)及其導(dǎo)微分分別為則 成立。取 Q = I，上式為其中p12=p21求解該矩陣方程可得由于，

8、對(duì)稱矩陣P是正定的。系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的?！緟⒖即鸢?】原點(diǎn)(x1=0, x2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài). 系統(tǒng)狀態(tài)方程向量矩陣形式若選取 解李雅普諾夫方程 得 ，由于， 為不定，則難以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用特征根判別 可見系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。【參考答案3】原點(diǎn)(x1=0, x2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài).選取正定標(biāo)量函數(shù)則有對(duì)于狀態(tài)空間中的一切非零x滿足V(x)正定,負(fù)定，故系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。注：， 選取都行。【參考答案4】系統(tǒng)狀態(tài)方程向量矩陣形式，即 若選取 代入離散李雅普諾夫方程 得 展開得方程組 解之得 由于， 為正定，故系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的?！?題】：設(shè)有不穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)（A,b,c），其中 ，, 能否通過狀態(tài)反饋把系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在