人教版九年級(jí)上冊(cè)21.2.4《根與系數(shù)關(guān)系》

1、一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：的求根公式： x= a acbb 2 4 2 (b2-4ac 0) （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空：解下列方程并完成填空： 方程 兩根兩根和 X1+x2 兩根積 x1x2x1x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 2x2+3x-2=0 3 4127 1-3- 4- 4 -1-2 2 1 2 3 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系： 如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1

2、x2= a b a c （韋達(dá)定理）（韋達(dá)定理） 注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac0 韋達(dá)（韋達(dá)（15401603） 韋達(dá)是法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)韋達(dá)是法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué) 家之一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，家之一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)， 并對(duì)方程論做了改進(jìn)。并對(duì)方程論做了改進(jìn)。 他生于法國(guó)的普瓦圖。年青時(shí)學(xué)習(xí)他生于法國(guó)的普瓦圖。年青時(shí)學(xué)習(xí) 法律當(dāng)過律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過法律當(dāng)過律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過 議會(huì)的議員，在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為議會(huì)的議員，在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為 政府破譯敵軍的密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)政府破譯敵軍的密碼。

3、韋達(dá)還致力于數(shù) 學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用 字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪， 帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋 達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn) 了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們 把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié) 論稱為論稱為“韋達(dá)定理韋達(dá)定理”）。）。 韋達(dá)在歐洲被尊稱為韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之代數(shù)學(xué)之 父父”。 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的證明： a acbb x 2

4、4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 X1+x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 + = a b 2 2 = a b X1x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 = 2 4 2 )4 2 ( 2 )( a acbb = 2 4 4 a ac = a c 如果方程x2+px+q=0的兩根是 x1 ，x2，那么x1+x2= , x1x2= P q 例例1 1、不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：、不解方程，求方程兩根的和與兩根的積： 2 310 xx 2 2410 xx 12 3xx 12 1xx 12 2xx 解：解： 我能行我能行1 原方程可化

5、為：原方程可化為： 0 2 1 2 2 xx 2 1 21 xx 二次項(xiàng)不是二次項(xiàng)不是1 1，可，可 以先把它化為以先把它化為1 1 1 6 2 5 x 3 5()27 5 k k 3 5 7 答：方程的另一個(gè)根是答：方程的另一個(gè)根是，的值是的值是。 2 560 xkx k 例例2 2、已知方程、已知方程 求它的另一個(gè)根及求它的另一個(gè)根及 的一個(gè)根是的一個(gè)根是2 2 的值。的值。 2 6 0 55 k xx 原方程可化為：原方程可化為： 想一想，想一想， 還有其他還有其他 方法嗎？方法嗎？ 還可以把還可以把 代入方程的兩邊，求出代入方程的兩邊，求出2x k 解：解： ，那么那么 1 x設(shè)方程的

6、另一根是設(shè)方程的另一根是 1 3 5 x 3 ()2 55 k 又 我能行我能行2 12 3 2 xx 12 1 2 xx 2 2310 xx 例例3 3、不解方程，求一元二次方程、不解方程，求一元二次方程 兩個(gè)根的兩個(gè)根的平方和；平方和；倒數(shù)和。倒數(shù)和。 12 ,x x 設(shè)方程的兩根是設(shè)方程的兩根是，那么，那么 解：解： 我能行我能行3 2 221 2 1 2 21 2)(xxxxxx 21 2 21 2 2 2 1 2)(xxxxxx 4 13 ) 2 1 (2) 2 3 ( 22 2 2 1 xx 21 21 21 11 xx xx xx ) 2 1 () 2 3 ( 3 所求的方程是所

7、求的方程是：解：解： 我能行我能行4 0) 2 1 2() 3 1 3() 2 1 2 3 1 3( 2 xx 例例4 4、求運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系一個(gè)一元二次方程，、求運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系一個(gè)一元二次方程， 使它的兩個(gè)根是：使它的兩個(gè)根是： 3 1 3 2 1 2 ， 2 525 0 63 xx 即即： 2 65500 xx 或或： （1 1）下列方程兩根的和與兩根的積各是多少？）下列方程兩根的和與兩根的積各是多少？ 2 310 xx 2 322xx 2 230 xx 2 31x ； ； 求它的另一個(gè)根及求它的另一個(gè)根及 （2 2）已知方程）已知方程 2 3190 xxm m的值。的值。 的一個(gè)根

8、是的一個(gè)根是1 1， 12 ,x x 2 2430 xx 12 (1)(1)xx 21 12 xx xx 是方程是方程 不解方程，求下列各式的值不解方程，求下列各式的值: : （3 3）設(shè)）設(shè)的兩個(gè)根的兩個(gè)根, , 開啟 智慧知識(shí)在于積累知識(shí)在于積累 開啟 智慧知識(shí)在于積累知識(shí)在于積累 4, 713,13 （4 4）求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別為：）求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別為： ； （5 5）已知兩個(gè)數(shù)的和等于）已知兩個(gè)數(shù)的和等于 6 2，積等于，積等于 求這兩個(gè)數(shù)求這兩個(gè)數(shù) 根與系數(shù)關(guān)系小結(jié) 1、已知方程的一個(gè)根求另一個(gè)根及未知數(shù)、已知方程的一個(gè)根求另一個(gè)根及未知數(shù) （也

9、可以用根的定義求解）（也可以用根的定義求解） pxx 21 :有qxx 21 對(duì)于一元二次方程對(duì)于一元二次方程 的兩根的兩根0 2 qpxx21 、xx 2、求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值 如如:兩根的平方和、兩根的倒數(shù)和等兩根的平方和、兩根的倒數(shù)和等 3、以、以x x1 1、 、x x2 2 為根的一元二次方程 為根的一元二次方程 x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)x+x)x+x1 1x x2 2=0=0， 1、當(dāng)、當(dāng)k為何值時(shí)，方程為何值時(shí)，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為的兩根差為1。 解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1x2)，則x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2= , x1x2= 2 1k 2 3k 1 2 3 4 2 ) 2 1 ( kk 解得k1=9,k2= -3 當(dāng)k=9或-3時(shí)，由于0，k的值為9或-3。 czsx 2、設(shè)、設(shè)x1，x2是方程是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 x12+x22=4，求，求k的值。的值。 解：由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得 0 2 4 2 ) 1(