《數(shù)學(xué)分析選論》習(xí)題全解 ch5

1、數(shù)學(xué)分析選論習(xí)題解答5第 五 章 級(jí)數(shù)下列命題中有些是真命題，有些是偽命題對(duì)真命題簡述理由；對(duì)假命題舉出反例（題中“”是“”的簡寫）：（），發(fā)散發(fā)散；（），收斂收斂；（）收斂收斂；（），絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂；（）收斂，絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂；（）收斂，收斂；（）收斂，收斂；（）收斂；（）收斂收斂；（）收斂；（）收斂收斂；（）收斂收斂；（）與收斂收斂；（）收斂收斂；（）發(fā)散；（）收斂收斂；（）收斂；（）收斂收斂；（）與同斂態(tài)；（）收斂解其中有十二個(gè)真命題：（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）；其余八個(gè)是偽命題現(xiàn)依此簡述如下：（）反例：為收斂（）反例：收斂，為發(fā)散（）因（）

2、，（） 因 收斂收斂（）反例：，為發(fā)散（）因 ，收斂（）因（）據(jù)阿貝爾判別法，收斂，單調(diào)有界，故收斂（）反例：收斂，而不存在極限（）由收斂，（）反例：收斂，發(fā)散（）（）反例： 發(fā)散，但因，故 為收斂（）反例：收斂，滿足（）（）反例：同（）題（）收斂時(shí)，有所以滿足柯西條件，從而收斂（）可見與同時(shí)收斂，或同時(shí)發(fā)散（）設(shè)的前項(xiàng)部分和為，且則有設(shè)為證項(xiàng)級(jí)數(shù)，試證對(duì)數(shù)判別法：（） 若存在和，使得當(dāng) 時(shí)，有，則收斂；（）若存在，使得當(dāng) 時(shí)，有，則發(fā)散證把不等式分別改寫成：（）；（）根據(jù)比較法則，（）時(shí)收斂；（）時(shí)發(fā)散利用對(duì)數(shù)判別法鑒別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂、散性：（）；（）；（）解（），故收斂（），故收斂（），

3、由于，故當(dāng)時(shí)收斂；時(shí)發(fā)散證明：（） 若收斂，則收斂；（） 若收斂，則時(shí)也收斂證（）由阿貝爾判別法，已知收斂，而單調(diào)有界，故收斂（）同理，由，收斂，當(dāng)時(shí)單調(diào)有界，故收斂證明：若與都在上一致收斂，則在上也一致收斂證設(shè)，依據(jù)定義，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，恒有，；于是又有所以，注：本題也可用確界逼近準(zhǔn)則（ p.138 定理5.2 ）來證明設(shè)在區(qū)間上一致連續(xù)，且，試證：，證因在上一致連續(xù)，故，只要，便有對(duì)上述，由，必定，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，均有記，則有這就證得 ， 證明：在上一致收斂的必要條件是證設(shè)，則由題易知設(shè)收斂，試證上一致收斂證由一致收斂的阿貝爾判別法，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂即一致收斂；對(duì)每個(gè)，對(duì)單調(diào)（減），且一致有界故在

4、上一致收斂 判別下列函數(shù)序列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在指定的區(qū)間上是否一致收斂：（），；（），；（），（），（）；（）解（）由于，且，因此，（）由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法，為一致有界；，關(guān)于單調(diào)（減）；且，從而，所以，在上為一致收斂（） 事實(shí)上，記，由 ，求出的最大值點(diǎn)，和最大值由于，因此（） 設(shè)，則有（）由于，因此在上不一致收斂，從而在上更不一致收斂（）當(dāng)時(shí)，由于，因此，（） 設(shè)由于，因此有根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，由收斂，可知在上一致收斂 證明：在任何閉區(qū)間上一致收斂；但對(duì)任何不絕對(duì)收斂 證由于為一致有界，關(guān)于單調(diào)（減），設(shè)，因此根據(jù)狄利克雷判別法，該級(jí)數(shù)在任何上一致收斂又因?qū)θ魏?，所以發(fā)散 設(shè)在上

5、可積，試證在上一致收斂證設(shè)，則可依次估計(jì)得：，而易用比式判別法得知它收斂，故級(jí)數(shù)在上一致收斂已知在上一致收斂試討論：當(dāng)在上滿足何種條件時(shí)，就能保證在上一致收斂？解這里可用一致收斂的柯西準(zhǔn)則來討論由于在上一致收斂，故，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和，恒使而，因此當(dāng)設(shè)在上有界，即時(shí)，就有此即表示在上一致收斂證明：若對(duì)每個(gè)是上的單調(diào)函數(shù)，且都絕對(duì)收斂，則在上為絕對(duì)一致收斂證由假設(shè)條件，對(duì)每一個(gè)有由于與都收斂，因此 與也都收斂，從而收斂依據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，證得在上為一致收斂設(shè)試求解由于，而為收斂，因此為一致收斂，于是可以逐項(xiàng)求積據(jù)此便可求得設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)可微，記試證：（）在任何上一致收斂于；（）證（）由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)故，只要 且, 便有而由假設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)任何，恒有這就證得，（） 利用逐項(xiàng)積分定理，易得證明：函數(shù)在上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)證由于，收斂，因此在上一致收斂又，收斂，故在上也一致收斂因?yàn)樵谏蠞M足定理和定理的條件，所以在上連續(xù)，且有，又因