拉普拉斯變換重點PPT學習教案

1、會計學1 拉普拉斯變換重點拉普拉斯變換重點 拉普拉斯（Laplace）變換在電學、光學、力學等工程技術(shù) 與科學領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用由于它的像原函數(shù) ( )f x 要求 的條件比傅里葉變換的條件要弱，因此在某些問題上，它比傅里葉變換的適用面要廣本部分首先從傅里葉變換的定義出發(fā)，導(dǎo)出拉普拉斯變換的定義，并研究它的一些基本性質(zhì)，然后給出其逆變換的積分表達式復(fù)反演積分公式，并得出像原函數(shù)的求法，最后介紹拉普拉斯變換的應(yīng)用 第1頁/共51頁 本節(jié)介紹拉普拉斯變換的定義、拉普拉斯變換的存在定理、 常用函數(shù)的拉普拉斯變換，以及拉普拉斯變換的性質(zhì) 8.1.1 拉普拉斯變換的定義 傅里葉變換要求進行變換的函數(shù)在

2、無窮區(qū)間 , 有定義，在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并要求 第2頁/共51頁 ( ) df tt 存在這是一個比較苛刻的要求，一些常用的 函數(shù)，如階躍函數(shù) )(tH ，以及 tttcos,sin, 些要求另外， 等均不滿足這 為自變量的函數(shù)，往往當 在物理、線性控制等實際應(yīng)用中，許多以時間 0t 時沒有意義，或者不需要知道 0t 就限制了傅里葉變換應(yīng)用的范圍 的情況因此傅里葉變換要求的函數(shù)條件比較強，這 第3頁/共51頁 為了解決上述問題而拓寬應(yīng)用范圍，人們發(fā)現(xiàn)對于任意一 個實函數(shù) ( ) t ，可以經(jīng)過適當?shù)馗脑煲詽M足傅氏變換的基本 條件 首先將函數(shù) ( ) t ( ) t 乘以單位階躍

3、函數(shù)： 0 0 ( ) 1 0 t u t t 得到 ( )( ) ( )f tt u t ，則根據(jù)傅氏變換理論有 第4頁/共51頁 ii 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )d( )d tt f tt u tt u t etf t et FF 很顯然通過這樣的處理，當 0t 時， ( ) t 在沒有定 義的情況下問題得到了解決但是仍然不能回避 ( )f t 在 0,) 上絕對可積的限制為此，我們考慮到當 t 時，衰減速度很快的函數(shù)，那就是指數(shù)函數(shù) , (0) t e 于是有 第5頁/共51頁 i(i ) 00 0 ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d , ( i ) tttt

4、t pt f t et u t ef t eetf t et f t etp FF 上式即可簡寫為 0 ( )( )d pt F pf t et 這是由實函數(shù) ( )f t 通過一種新的變換得到的復(fù)變函數(shù)， 這種變換就是我們要定義的拉普拉斯變換 第6頁/共51頁 定義8.1.1 設(shè) 實函數(shù) ( )f t 在 0t 上有定義，且積分 0 ( )( )d pt F pf t et （ p 為復(fù)參變量） 上某一范圍 對復(fù)平面 p 收斂，則由這個積分所確定的函數(shù) 0 ( )( )d pt F pf t et （8.1.1） 稱為函數(shù) ( )f t 的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（或稱為 像函數(shù)），記為

5、( ) ( )F pf tL 第7頁/共51頁 （說明：有的書籍記： ( )f p ( )f tL ，即 ( )f p 為函數(shù) ( )f t 的拉氏變換） 綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數(shù)是一個 實自變量為 的復(fù)值函數(shù)，而拉氏變換的像函數(shù)則是一個復(fù) 變數(shù) p 的復(fù)值函數(shù)，由式（8.1.1）式可以看出， ( ) (0)f tt 第8頁/共51頁 的拉氏變換實際上就是 ( ) ( ),(0) t f t u t e 的傅氏變換 （其中 ( )u t 為單位階躍函數(shù)），因此拉氏變換實質(zhì)上就是 一種單邊的廣義傅氏變換，單邊是指積分區(qū)間從0到 廣義是指函數(shù) ( )f t 要乘上 ( ) (0

6、) t u t e 之后再 作傅氏變換 例8.1.1 求拉氏變換 1L 第9頁/共51頁 Re0p ip 0 【解】 在 ,(按照假設(shè) ) 即為 的半平面， 0 1 1d, pt et p 例8.1.2 求拉氏變換 .tL 【解】 在 Re0p 的半平面, 第10頁/共51頁 00 0 0 2 0 2 1 dd() 11 =d 11 =d, 1 = (Re0) ptpt ptpt pt tette p teet pp et pp tp p L 同理有 第11頁/共51頁 1 ! = n n n t p L 例8.1.3 求單位階躍函數(shù) 0, 0 ( ) 1, 0 t u t t 的拉氏變換 【

7、解】 由拉氏變換的定義，有 0 0 1 ( )d ptpt u tete p L 設(shè) ip ，由于 第12頁/共51頁 (i) | | pttt eee ，所以，當且僅當 Re0p 時， lim0 p t t e ，從而有 1 ( ) (Re0)u tp p L 例8.1.4 求拉氏變換 , st esL 為常數(shù). 【解】 在 ReReps 的半平面上 第13頁/共51頁 ()() 0 00 11 dd 1 (ReRe ) stptp s tp s t st e etete p sp s eps p s L 請記住這個積分以后會經(jīng)常用到 例8.1.5 若 ( )sinf tt 或 cos (t

8、 拉氏變換 為實數(shù)），求 ( )f tL 第14頁/共51頁 【解】 (i )(i ) 00 1 sinsindd 2i ptptpt tteteet L 22 111 , Re0 2iii p ppp 同理 22 cos, Re0 p tp p L 第15頁/共51頁 例8.1.6 求拉氏變換 , st tesL 為常數(shù). 【解】 在 ReReps 的半平面上， () 00 ()() 0 0 2 2 1 dd 1 d 1 = () 1 (ReRe ) () stptp s t p s tp s t st te ette ps teet ps ps teps ps L 第16頁/共51頁 同理

9、 1 ! () nst n n t e ps L 例8.1.7 若 at cetf)(a ( )f tL （為復(fù)數(shù)），求拉氏變換 【解】 () 0 0 d, ReRe p a t atatpt cec cece etpa p ap a L 第17頁/共51頁 8.1.2 拉氏變換的存在定理 定理 8.1.1 拉氏變換存在定理 若函數(shù) )(tf 滿足下述條件： （1）當 0t)(tf0t )(tf 時， =0；當時， 在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)； （2）當 t 時， )(tf 的增長速度不超過某一 第18頁/共51頁 指數(shù)函數(shù)，即存在常數(shù) M 及 0 0 ，使得 tMetf t 0,)( 0 則

10、( )( )f tF pL 在半平面 0 Rep 上存 在且解析 【證明】：證明 0 ( )( )d pt F pf t et 存在由 第19頁/共51頁 0 0 00 0 ( )dd, t pt M f t etMet 所以上述積分絕對收斂，且 )(pF 在右半平面 0 Rep 存在 然后證明 )(pF 解析為此，在積分號內(nèi)對 p 導(dǎo)數(shù)，并取 求偏 101 ( 為任意實常數(shù)），則有 第20頁/共51頁 10 2 000 10 ()d()dd t ptpt M f t etf t etMtet pp 故積分 0 ( )d pt f t et p 在半平面 0 Rep 上一致收斂，可交換積分與微

11、商的次序，即 2 00 10 dd ( )( )d( )d dd ptpt M F pf t etf t et ppp 第21頁/共51頁 )(pF 0 Rep )(pF 0 Rep 故的導(dǎo)數(shù)在 且有限，可見 在半平面 內(nèi)解析 上處處存在 8.2 拉普拉斯逆變換概念 定義8.2.1 拉氏逆變換 若滿足式： 0 ( )( )d pt F pf t et ，我們稱 ( )f t 第22頁/共51頁 為 ( )F p 的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為 原函數(shù)），記為 1 ( ) ( )f tF p L 為了計算拉氏逆 變換的方便，下面給出拉氏逆變換的具體表達式 實際上 ( )f t 的拉氏變

12、換，就是 ( ) ( ) t f t u t e (0) 的傅氏變換.因此，當 ( ) ( ) t f t u t e 滿足傅氏 積分定理的條件時，根據(jù)傅里葉積分公式， ( )f t 在連續(xù)點處 第23頁/共51頁 ii i(i ) 0 i 1 ( ) ( )( ) ( )d d 2 1 =( )d d 2 1 =(i )d (0) 2 tt t t f t u t efueee efe Fet 等式兩端同乘 t e ，并注意到這個因子與積分變量 無關(guān)， 故 0t 時 第24頁/共51頁 (i) 1 ( )(i )d 2 t f tFe 令 ip ，則有 i i 1 ( )( )d (0) 2

13、i pt f tF p ept （8.2.1） 上式為 ( )F p 的拉普拉斯逆變換式，稱為拉氏逆變換式 記為 1 ( ) ( )f tF p L 并且 ( )f t 稱為 第25頁/共51頁 ( )F p 的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為像原函 數(shù)或原函數(shù)） （8.2.1）稱為黎曼梅林反演公式，這就是從像函數(shù)求原函數(shù) 上式右端的積分稱為拉氏反演積分公式 的一般公式 注意：公式 0 ( )( )d pt F pf t et 和公式 i i 1 ( )( )d , (0) 2i pt f tF p ept 構(gòu)成一對互逆的 第26頁/共51頁 積分變換公式， ( )f t( )F p 也

14、稱 和 構(gòu)成一組拉氏變換對。 8.3 拉氏變換的性質(zhì) 雖然，由拉氏變換的定義式可以求出一些常用函數(shù)的拉氏變換但在實際應(yīng)用中我們總結(jié)出一些規(guī)律：即拉氏變換的一些基本性質(zhì)通過這些性質(zhì)使得許多復(fù)雜計算簡單化 我們約定需要取拉氏變換的函數(shù)，均滿足拉氏變換存在定理的 條件 第27頁/共51頁 性質(zhì)1 線性定理 若 , 為任意常數(shù)，且 1122 ( )( ),( )( )F pf tFpf tLL ，則 1212 111 1212 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f tf tf tf t F pF pF pF p LLL LLL (8.3.1) 【證明】 1212 0 ( )(

15、)( )( )d pt f tf tf tf t et L 第28頁/共51頁 12 00 12 ( )d( )d ( )( ) ptpt f t etf t et f tf t LL 根據(jù)逆變換的定義，不難證明第二式具體留給讀者去證明 例8.3.1 求 函數(shù) 3 ( )cos36 t f tte 的拉氏變換. 【解】 3 22 6 ( )cos3 6 33 t p f tte pp LLL 第29頁/共51頁 例8.3.2 求函數(shù) 1 ( ) (0,0,) ()() F pabab pa p b 的拉氏逆變換 【解】 因為 111 11111 ( ) ()() 1111 ( ) 1 () a

16、tbt atbt F p papbabpabapb F p abpabapb ee ee abbaab LLL 第30頁/共51頁 例8.3.3求 sh,atLchatL 【解】 22 111 sh 22 atat eea at p apapa LL 22 111 ch 22 atat eep at papapa LL 性質(zhì)2 延遲定理 第31頁/共51頁 若設(shè) 為非負實數(shù)， ( )( )f tF pL ，又當 0t 時， ( )0f t ，則 ()( ) ( ) pp f teF pef t LL (8.3.2) 或 1 ( )() p eF pf t L 【證明】由定義出發(fā)，隨后令 tu

17、，可得 () 0 ()()d( )d ptp u f tf tetf u eu L 第32頁/共51頁 u)(uf 利用0時， =0，積分下限可改為零，故得 0 ()( )d ( ) ppup f tef u euef t LL 例8.3.4 已知 0 0 0, (0) ( ), (0) 0, () t f tctt tt ，求 ( )f tL 【解】用階躍函數(shù)表示 )(tf )()()( 0 ttcHtcHtf 第33頁/共51頁 再利用線性定理及延遲定理，有 00 0 ()()()1 ptpt ccc f tcH tcH t tee ppp LLL 性質(zhì)3 位移定理 若 ( )( )f t

18、F pL ，則有 0 ( )(), (Re() at e f tF papapL (8.3.3) 0 p ( )f t 其中是的增長指數(shù) 證明 根據(jù)定義 第34頁/共51頁 0 () 0 ( )( )d ( )() atatpt p a t e f te f t et f t edtF pa L 例8.3.5 求 t te L 【解】令 )(tft( ) ( ) F pf ttLL =，則由 得 2 1 t p L = )(pF 利用位移定理 ( )() at e f tF paL ，即有 第35頁/共51頁 2 1 () () t teF p p L 性質(zhì)4 相似定理 設(shè) ( )( )f t

19、F pL ，則對于大于零 的常數(shù) c ，有 1 ()() p f ctF cc L （8.3.4） 【證明】由定義出發(fā)，隨后作變量代換 ctu ，則 00 ( )( )d( )d u p pt c u f ctf ct etf u e c L 第36頁/共51頁 0 11 ( )() p u c p f u eduF ccc 性質(zhì)5 微分定理 設(shè) ( )( )f tF pL ( ) ( ) (1,2,) n ftn 存在且分段連續(xù)，則 ( 2 ( )12(1)2) ( ) ( )(0) ( ) ( )(0)(0) ( ) ( )(0)(0)(0)(0) nnnnnn f tpf tf f tp

20、f t pf pff ftpf tpfpff LL LL LL （8.3.5） 第37頁/共51頁 【證明】 由定義出發(fā)，隨后用分部積分，可得 0 00 ( )( )d( )( )d ptptpt f tf t etf t epf t et L (0)()( )(0)fpF ppf tf L )(t f )(tf 同理，用取代上述的 ，可得 ( )( )(0)ftpftfLL 2 ( )(0)(0) ( )(0)(0) p pf tff pf tpff L L 第38頁/共51頁 繼續(xù)作下去，即得所證 特別地，當 () (0)0 (0,1,2,1) k fkn 則 ( ) ( ) nn ftp

21、f tLL 性質(zhì)6 像函數(shù)的微分定理 d ( )()( ) d n n n F ptf t p L (8.3.6) 【證明】在拉氏變換定義式兩邊對 p 求導(dǎo) 第39頁/共51頁 00 dd ( )( )d ( )d dd ptpt f pf t etf t et ppp 0 () ( )d() ( ) pt t f t ett f t L 2 2 00 dd ( )() ( )d() ( )d dd ptpt F pt f t ett f t et ppp 22 0 ()( )d()( ) pt tf t ettf t L 繼續(xù)作下去，即得所證 第40頁/共51頁 性質(zhì)7 積分定理 設(shè) ( )

22、( )f tF pL ，則 0 11 ( )d ( )( ) t ff tF p pp LL (8.3.7) 【證明】設(shè) 0 ( )( )d t g tf ，則 0)0(),()(gtftg 由微分定理，有 ( ) ( )(0) ( )g tpg tgpg tLLL 即 1 ( )( )g tg t p LL 第41頁/共51頁 由 )()(tftg 可得 0 111 ( )d ( )( ) ( )( ) t fg tg tf tF p ppp LLLL 一般地對應(yīng)n重積分，我們有 000 1 dd( )d ( ) ttt n ttfF p p L 性質(zhì)8 像函數(shù)的積分定理 第42頁/共51頁

23、 ( ) ()d p f t F pp t L (8.3.8) 【證明】由拉氏變換的定義式出發(fā)，隨后交換積分次序 00 d()d( )dd( )d p tp t ppp F ppf t etpepf tt 00 ( ) ( )d( )d p tpt pp eef t f ttf tt ttt L 上面交換積分次序的根據(jù)是 0 ( ) p t f t edt 在滿足 第43頁/共51頁 0 Re p 條件下是一致收斂的 性質(zhì)9 拉氏變換的卷積定理 (1) 定義 8.3.1 拉氏變換的卷積 前一章我們學習了傅氏變換的卷積概念和性質(zhì)，當 12 ( ),( )f tft 是 (,) 上絕對可積函數(shù)時，它們的卷積是 1212 ( )*( )( )()df tf tff t 第44頁/共51頁 0t 12 ( )( )0f tft 如果當 時，有 ，則上式可寫為 1212 0 0 1212 ( ) ()* ()( ) ()d( ) ()dd t t ff tf t f tff tff t 1212 0 ( )* ( )( ) ()d (10.3.9) t f tf tff t 因為在拉氏變換中總認為 0t 時，像函數(shù) ( )f t 因此把上式（8.3.9）定義為拉氏變換的卷積 恒為零， 第45頁/共51頁 （2）拉氏變換的卷積定理 1212 ( )( )( )( )f