隱函數(shù)和參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解析完整版

1、 已知方程 yxyln 2 確定了y是x的函數(shù)，求 y 此時(shí)如何計(jì)算 ？ y 案例引入 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 出來(lái)的函數(shù)出來(lái)的函數(shù), 稱(chēng)為稱(chēng)為顯函數(shù)顯函數(shù) 如果變量如果變量 yx, 間的函數(shù)關(guān)系由方程間的函數(shù)關(guān)系由方程 0),(yxF 所確定，所確定， 稱(chēng)這種函數(shù)叫做由方程所確定的稱(chēng)這種函數(shù)叫做由方程所確定的隱函數(shù)隱函數(shù) 注注：并非每個(gè)含：并非每個(gè)含 的方程都確定隱函數(shù)關(guān)系。的方程都確定隱函數(shù)關(guān)系。yx, 042 22 yx例如例如 因變量因變量 可由含有自變量可由含有自變量xy的數(shù)學(xué)式子直接表示的數(shù)學(xué)式子直接表示 ( )yf x 即形如即形如 的函數(shù)。的函數(shù)。 0 y xyxe例

2、如：方程例如：方程確定了確定了x，y 的隱函數(shù)關(guān)系。的隱函數(shù)關(guān)系。 討論分析 顯函數(shù)和隱函數(shù)的關(guān)系顯函數(shù)和隱函數(shù)的關(guān)系: （1）所有的顯函數(shù)均可化為隱函數(shù)；）所有的顯函數(shù)均可化為隱函數(shù)； 但有些隱函數(shù)不能化為顯函數(shù)但有些隱函數(shù)不能化為顯函數(shù). 問(wèn)題問(wèn)題 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? （2）有些隱函數(shù)可化為顯函數(shù)（隱函數(shù)的顯化），）有些隱函數(shù)可化為顯函數(shù)（隱函數(shù)的顯化）， dy dx 關(guān)鍵是要能從關(guān)鍵是要能從( , )0F x y 直接把直接把求出來(lái)。求出來(lái)。 方程方程 的兩端對(duì)的兩端對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo),x( , )0F x y 數(shù)數(shù)，利用，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，求出求導(dǎo)，求出 即可。即可。 dy dx 注意注意 y 是是 x 的函的函 討論分析 例例1 求由方程求由方程 2 9 y xe 所確定的所確定的 . dx dy 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解解 將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得 2 9()()( ) y xe 即即 20 y yxe 所以所以 2 y dyx dxe ,( ), y zeyf xzx 令而所以 是 的復(fù)合函數(shù)。 () yy dzdz dy e dxdy dx ey 故 討論分析 例例2 求由方程求由方程 23 sin()0 x yxxy 所確定的所確定的 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4、. dy dx 32 ()( )sin()0 xxxyy 所以所以 3 22 12cos() 3cos() xyxy y x yxy 即即 解解 將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得 223 21cos()3()0 x yxxyxyyy 322 231cos() (1)0 x yxyyxyy 討論分析 例例3 3 求曲線求曲線 ln1xyy 在點(diǎn)在點(diǎn) (1,1)M處的切線方程處的切線方程 解解 先求切線的斜率將方程兩邊對(duì)先求切線的斜率將方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 x ln()()(1)y xy 1 0yxyy y 即即 2 1 y y xy 則該曲線上點(diǎn)則該曲線上點(diǎn) (1

5、,1)M處切線的斜率處切線的斜率 1 1 1 2 x y ky 所求切線方程為所求切線方程為 1 1(1) 2 yx 230 xy 即即 討論分析 (0,1) ln(2)sin, y dy yx d y x e 34 (1)20;yxxy 練習(xí)：求下列方程所確定的隱函數(shù)練習(xí)：求下列方程所確定的隱函數(shù) y=f (x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). sin(3)tan50 y x x 討論分析 （2） 一類(lèi)是由一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方所一類(lèi)是由一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方所 ( ) ( ) v x xyu （1） 一類(lèi)是冪指函數(shù)，即一類(lèi)是冪指函數(shù)，即 主要用于解決兩類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題：主要用于解決兩類(lèi)函數(shù)

6、的求導(dǎo)問(wèn)題： 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則 構(gòu)成的函數(shù)構(gòu)成的函數(shù). 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法在等式兩邊先在等式兩邊先取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)，將，將顯函數(shù)顯函數(shù) 化成化成隱函數(shù)隱函數(shù)，然后用，然后用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù) 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 討論分析 所以所以 cos ( sinln) x yyxx x 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 11 sinlncosxx x yx y 解解 兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得 coslnlnxxy 例例6 求函數(shù)求函數(shù) 0 cos () x yxx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) cos cos ( sinln) x x xxx x 討論分析 于是于

7、是 3 23111 (1) 41224 x yx xxxx 311 2 11 124xxxy y 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 1 ln3ln(1)ln(2)ln(4) 2 yxxx 解解 函數(shù)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得函數(shù)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得 例例7 求函數(shù)求函數(shù) 3 2 (1) 4 x yx x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 討論分析 (2)cos1 x yxxe (1); 1 x x y x 練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 討論分析 三、參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一般形式為一般形式為 ( ), () ( ), xt t yt , dy dt dt d dy d dy dx

8、 t d dt x x ( ) ( ) t xt dy d 即即 注意注意 這里的導(dǎo)數(shù)是通過(guò)參數(shù)表達(dá)出來(lái)的這里的導(dǎo)數(shù)是通過(guò)參數(shù)表達(dá)出來(lái)的 可以證明可以證明,當(dāng)當(dāng) )(),(tytx 都可導(dǎo)都可導(dǎo), 且且 ( )0t 時(shí)時(shí) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為 討論分析 解解 dy dy dt dx dx dt 例例8 設(shè)設(shè) 2 3 1xt ytt ，求求 . dy dx 32 2 1 3 12 () () ttt tt 討論分析 例例9 求曲線求曲線 2 sin , cos xt yt 上對(duì)應(yīng)于上對(duì)應(yīng)于 6 t 的點(diǎn)處的切線方程的點(diǎn)處的切線方程 解解 ： dy dy dt dx dx dt 1 26 4sin2 xt dy kt dx 得得 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 6 t 11 , 22 所求的切線方程為所求的切線方程為 11 2 22 yx 2sin2 4sin , cos t t t 討論分析 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)方程逐項(xiàng)關(guān)于對(duì)方程逐項(xiàng)關(guān)于 求導(dǎo)求導(dǎo),并視并視 為中間變量為中間變量,再?gòu)囊言購(gòu)囊褁y 求導(dǎo)的方程