極限運(yùn)算法則07910PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則07910 )()(xgxf)( BA)( BAAB ,AB.)3(成立成立 :)3(的證明的證明 :)4(的證明的證明. 0為例 為例以以xx B A xg xf )( )( )( )()( xBg xAgxBf , 0 AB , 0,)( BBxg又又, 0 ,0 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx , 2 )( B xg 恒有恒有, 2 )( 1 2 B xBg , )(xBg AB , )( 0時(shí)的無(wú)窮小 時(shí)的無(wú)窮小是是xx xBg AB .)4(成立成立 , )( )( B A xg xf 第1頁(yè)/共20頁(yè) 推論推論1 1則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果,)(l

2、imcxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果,)(limnxf推論推論2 2 ).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(lim nn xfxf ,)(lim,)(lim),()(bxaxxx 且且如果如果定理定理5 5 . ba 則則 第2頁(yè)/共20頁(yè) 例例1 1).1(lim 4 1 xx x 求求 解解 )1(lim 4 1 xx x 111 . 1 :,有有一般地一般地 ,)( 1 1 10nn nn n axaxaxaxP 設(shè)設(shè) )(lim 0 xPn xx 則則 nn nn axaxaxa 01 1 0100 ).( 0 xPn 1limlimlim 11 4 1

3、xxx xx )(xf )(xf f 第3頁(yè)/共20頁(yè) 例例2 2. 2 1 lim 2 23 1 xx xx x 求求 解解 原式原式 )2(lim )1(lim 2 1 23 1 xx xx x x . 4 3 :,有有一般地一般地 則有則有且且設(shè)設(shè), 0)(, )( )( )( 0 xQ xQ xP xf n n m )(lim 0 xf xx)( )( 0 0 xQ xP n m ).( 0 xf )(lim )(lim 0 0 xQ xP n xx m xx 有理函數(shù)的代入法有理函數(shù)的代入法 第4頁(yè)/共20頁(yè) 例例3 3 . 34 1 lim 2 3 1 xx x x 求求 解解 原

4、式原式 1 lim x ) 0 0 (型型 )3)(1( )1)(1( 2 xx xxx 1 lim x 3 1 2 x xx 3 2 . 消零因子法消零因子法 第5頁(yè)/共20頁(yè) 練習(xí)練習(xí)1 1).(lim 23 cbxaxx x 求求 解解 cbxaxx xf xx 23 1 lim )( 1 lim 32 3 1 1 lim x c x b x a x x , 0 ,系知系知由無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)由無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān) 原式原式. 無(wú)窮小因子析出法無(wú)窮小因子析出法 第6頁(yè)/共20頁(yè) 練習(xí)練習(xí)2 2. 1 sinlim, sin lim 3 0 x x x x xx 求求 解解, 1 ,為無(wú)窮小

5、為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x x ,sin 是是有有界界函函數(shù)數(shù)而而x x xx x xx sin 1 lim sin lim ; 0 :同理可知同理可知 x x x 1 sinlim 3 0 . 0 x x x 1 sinlim 3 0 第7頁(yè)/共20頁(yè) 定理定理4,lim,limByAx n n n n 若若 ;lim)1(BAyx nn n :則有則有 ;lim)2(BAyx nn n ;lim)3(BAyx nn n . 0,lim)4( B B A y x n n n 數(shù)列極限的四則運(yùn)算數(shù)列極限的四則運(yùn)算: 第8頁(yè)/共20頁(yè) 例例4 4, 12 13 lim 3 3 x xx a x 計(jì)算計(jì)

6、算 解解 a x lim )(型型 . 12 )13)(12)(1( lim 4 2 n nnn b n 3 32 1 2 13 1 x xx ; 2 1 b n lim 4 1 2 n ) 1 3)( 1 2)( 1 1( 2 nnn . 3 無(wú)窮小因子析出法無(wú)窮小因子析出法 第9頁(yè)/共20頁(yè) 例例5 5). 21 (lim 222 n n nn n 求求 分分 析析 ,是是無(wú)無(wú)窮窮個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)時(shí) n 2 21 lim n n n 原式原式 2 )1( 2 1 lim n nn n ) 1 1( 2 1 lim n n . 2 1 先變形再求極限先變形再求極限. 解解 第10頁(yè)

7、/共20頁(yè) 例例6 6).1(lim 22 nnn n 求求 解解 )(型型 n lim原式原式 1 1 22 nnn )(分子有理化分子有理化 nnn n 22 1 lim )()1( 22 nnn )(型型 nnn n n 22 1 1 lim nn n n /11/11 /11 lim 2 . 2 1 11 1 第11頁(yè)/共20頁(yè) 例例7 7). 1 2 1 1 (lim 2 1x x x 求求 解解 )(型型 1 lim x 原式原式 )(通分通分 )1)(1(xx 2)1( x )0(因子因子消消 )1)(1( 1 lim 1xx x x x x 1 1 lim 1 . 2 1 )

8、0 0 ( 型型 第12頁(yè)/共20頁(yè) ,)( ,)(lim (1) AxgaAxg ax 的局部有的局部有且在且在若若定理定理6 6 ,)(lim (2)Buf Au .)(lim :Bxgf ax 則有則有 換元法換元法 )(lim xF ax 求求)(lim xgf ax )(xgu )( limuf Au Axg)( 第13頁(yè)/共20頁(yè) 例例8 8).(lim, 0, 0, 1 arctan )( 0 1 xf xe x x xf x x 討論討論設(shè)設(shè) 解解兩兩個(gè)個(gè)單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點(diǎn)點(diǎn),0 x )(lim 0 xf x u e lim x x e 1 0 li

9、m u )(lim 0 xf x , 0 uarctan lim x x 1 arctanlim 0 u , 2 左右極限存在左右極限存在, 但不相等但不相等, .)(lim 0 不存在不存在故故xf x 第14頁(yè)/共20頁(yè) 例例9 9).(lim, 0, 1 arctan 0, 1 arctan )( 0 xf x x x x xf x 討論討論設(shè)設(shè) 解解 兩兩個(gè)個(gè)單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點(diǎn)點(diǎn),0 x )(lim 0 xf x u u arctanlim )(lim 0 xf x , 2 左右極限存在左右極限存在, 且相等且相等, . 2 )(lim,)(lim 00 x

10、fxf xx 且且存在存在故故 , 2 )arctan(limu u x x 1 arctanlim 0 ) 1 arctan(lim 0 x x 第15頁(yè)/共20頁(yè) 思考題思考題 （1）在相同的變化過(guò)程中）在相同的變化過(guò)程中, 若若 f (x) 有極限有極限, g(x) 無(wú)極限無(wú)極限, 那么那么 f (x) +g (x) 是否有極限？為什么是否有極限？為什么 ？ 解答解答: （1）沒(méi)有極限）沒(méi)有極限 假設(shè)假設(shè) f (x)+g(x) 有極限有極限, 則由極限運(yùn)算法則可知：則由極限運(yùn)算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限， 與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤

11、 （2）在相同的變化過(guò)程中）在相同的變化過(guò)程中, 若若 f (x) 有極限有極限, g(x) 無(wú)極限無(wú)極限, 那么那么 f (x) g (x) 是否有極限？舉例說(shuō)是否有極限？舉例說(shuō) 明？明？ 第16頁(yè)/共20頁(yè) 思考思考 題題 解答解答: （2）在相同的變化過(guò)程中）在相同的變化過(guò)程中, 若若 f (x) 有極限有極限, g(x) 無(wú)極限無(wú)極限, 那么那么 f (x) g (x) 是否有極限？舉例說(shuō)是否有極限？舉例說(shuō) 明？明？ （2）可能有極限，也可能沒(méi)有極限）可能有極限，也可能沒(méi)有極限 ,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)如如x ., 11)()(有極限有極限 xgxf ),( 1 )(, 0)()ii( 2 無(wú)極限無(wú)極限 x xgxxf ., 1 )()(沒(méi)有極限沒(méi)有極限 x xgxf 第17頁(yè)/共20頁(yè) 會(huì)用以下求極限的方法會(huì)用以下求極限的方法: : (1) 有理函數(shù)有理函數(shù)(包括多項(xiàng)式函數(shù)包括多項(xiàng)式函數(shù))的代入法的代入法. 四、四、小結(jié)與教學(xué)小結(jié)與教學(xué)基本基本要求要求 (2) 消零因子法消零因子法. (3) 無(wú)窮小因子析出法無(wú)窮小因子析出法. (4) 利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì). (5) 利用