“三線合一”證題

1、-作者xxxx-日期xxxx“三線合一”證題【精品文檔】等腰三角形巧用“三線合一”證題 “三線合一”是等腰三角形的一條特殊性質(zhì)，在一些幾何題的證題過程中有著廣泛的應(yīng)用。本文結(jié)合實(shí)例說明其應(yīng)用，供參考。一. 直接應(yīng)用“三線合一” 例1. 已知，如圖1，AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高。 求證：AD垂直平分EF 分析：從本題的條件和圖形特征看，欲證AD垂直平分EF，因?yàn)橛校灾灰C為等腰三角形即可 證明： 又 AD垂直平分EF 例2. 如圖2，中，ABAC，AD為BC邊上的高，AD的中點(diǎn)為M，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)K，求證： 分析：可考慮作DE/CK交AB于E，因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以K

2、是AE的中點(diǎn)，只要證E是BK的中點(diǎn)，問題可得到解決。由于有，所以就想到用“三線合一”。 證明：過點(diǎn)D作DE/CK交BK于點(diǎn)E 二. 先連線，再用“三線合一” 例3. 如圖3，在中，D是BC的中點(diǎn)，P為BC上任一點(diǎn)，作，垂足分別為E、F 求證：（1）DEDF；（2） 分析：（1）欲證二線段相等，容易想到利用全等三角形。觀察DE為或的一邊，DF為或的邊，但它們都沒有全等的可能。由于D為等腰直角三角形的底邊BC上的中點(diǎn)，于是我們想到連結(jié)AD一試，這時(shí)容易發(fā)現(xiàn)或 問題得證。 （2）欲證，只要證，即可 但由（1）已證出 又，故問題解決 證明：連結(jié)AD。D是BC的中點(diǎn) ， DA平分， 四邊形PEAF是矩形

3、 又 又 （2） 又 即三. 先構(gòu)造等腰三角形，再用“三線合一” 例4. 如圖4，已知四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證： 分析：由于MN與CD同在中，又N為CD的中點(diǎn)，于是就想到證為等腰三角形，由于MD、MC為、斜邊AB上的中線，因此，所以，問題容易解決。 證明：連結(jié)DM、CM ，M是AB的中點(diǎn) 是等腰三角形 又N是CD的中點(diǎn)， 例5. 如圖5，中，BC、CF分別平分和，于E，于F，求證：EF/BC 分析：由BE平分、容易想到：延長(zhǎng)AE交BC于M，可得等腰，E為AM的中點(diǎn)；同理可得等腰，F(xiàn)是AN的中點(diǎn)，故EF為的中位線，命題就能得證。 證明：延長(zhǎng)AE、AF分別交BC于M、N

4、 ， 為等腰三角形 即， 同理 為的中位線 一、證明角相等圖121EDCBA【例1】已知：如圖1，在中，于D求證：【分析】作出等腰的頂角平分線將頂角分為相等的兩部分，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)證得等于其中任一部分即可【證明】作的平分線AE，則有，（三線合一）又，【點(diǎn)撥】添加輔助線，利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造了兩個(gè)具有同一銳角的直角三角形，將已知條件與待證結(jié)論有機(jī)地聯(lián)系在一起，從而容易獲得問題的解決二、證明線段相等【例2】（2009汕頭）如圖2，是等邊三角形，D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使，過點(diǎn)D作，垂直為M求證：圖2ECAMDB【分析】在中，如果能證得，由“三線合一”就可得出

5、【證明】是等邊三角形，D是的AC中點(diǎn)，BD平分（三線合一）又，又，又，（三線合一）【點(diǎn)撥】能利用“三線合一”證明線段相等的問題，也可以用全等三角形來解決，但利用“三線合一”證明要比用全等三角形證明簡(jiǎn)便得多因此，我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí)，要糾正總是依據(jù)三角形全等的思維定勢(shì)，應(yīng)該優(yōu)先選用“三線合一”來解決三、證明直線垂直【例3】（2009義烏）如圖3，在正ABC中，于點(diǎn)D，以AD為一邊向右作正ADE請(qǐng)判斷AC、DE的位置關(guān)系，并給出證明FEDCB圖3A【分析】在正ABC中，由“三線合一”知而ADE也是正三角形，于是有，這樣就得AF是正ADE的角平分線，再由“三線合一”得【證明】在正ABC中，（三線合一

6、）在正ADE中，AF是的平分線（三線合一）【點(diǎn)撥】當(dāng)題設(shè)中同時(shí)具備下列兩個(gè)條件時(shí)，就可以利用“三線合一”來證明兩條直線相互垂直：（1）有一個(gè)等腰三角形；（2）兩條直線中有一條是這個(gè)等腰三角形的頂角的平分線或底邊上的中線所在的直線例1. 等腰三角形頂角為，一腰上的高與底邊所夾的角是，則與的關(guān)系式為=_。圖1 分析：如圖1，AB=AC，BDAC于D，作底邊BC上的高AE，E為垂足，則可知EAC=EAB，又，所以。 例2. 已知：如圖2，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求證：ACE=B。圖2 分析：欲證ACE=B，由于AC=AB，因此只需構(gòu)造一個(gè)與RtACE全等的三角形，即做底邊B

7、C上的高即可。 證明：作ADBC于D， AB=AC， 又， BD=CE。 在RtABD和RtACE中， ABAC，BD=CE， RtABDRtACE（HL）。 ACE=B 例3. 已知：如圖3，等邊三角形ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，CE=CD，DMBC于M，求證：M是BE的中點(diǎn)。圖3 分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMBC，因此只需證DB=DE，即證DBE=E，根據(jù)等邊ABC，BD是中線，可知DBC=30，因此只需證E=30。 證明：聯(lián)結(jié)BD， ABC是等邊三角形， ABC=ACB=60 CD=CE， CDE=E=30 BD是AC邊上中線， BD平分ABC，即DBC=30 DBE=E。 DB=DE 又DMBE， DM是BE邊上的中線，即M是BE的中點(diǎn)。練習(xí) 1. 如圖4，墻上釘了一根木條，小明想檢驗(yàn)這根木條是否水平，他拿來一個(gè)如圖所示的測(cè)平儀，在這個(gè)測(cè)平儀中，AB=AC，BC邊的中點(diǎn)D處有一個(gè)重錘，小明將BC邊與木條重合