第九章-B-s期權(quán)定價(jià)模型PPT課件

1、 理解股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特性，掌握 Black-Scholes微分方程的基本概念和推導(dǎo) Black-Scholes公式的過程； 掌握公式的性質(zhì)，并且能夠運(yùn)用該公式進(jìn)行定 價(jià)； 掌握風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的原理和方法； 能夠運(yùn)用期權(quán)定價(jià)公式對(duì)支付紅利的股票期 權(quán)進(jìn)行定價(jià)。 第九章第九章 B-S期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型 一、布萊克斯科爾斯微分方程 n（一）思路（一）思路： n由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性(dz) 影響，若匹配適當(dāng)，這種不確定性就可以相互抵消。 n布萊克和斯科爾斯建立一個(gè)包括一單位衍生證券若干單位 標(biāo)的證券多頭的投資組合。 n若數(shù)量適當(dāng)，標(biāo)的證券多頭盈利(或虧損)總是會(huì)

2、與衍生證券 空頭的虧損(或盈利)相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是 無風(fēng)險(xiǎn)的。 n在無套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一 定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。 （二）布萊克斯科爾斯微分方程的假設(shè) n1證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和為常數(shù)； n2允許賣空標(biāo)的證券； n3沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分 的； n4在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支 付； n5不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； n6證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； n7在衍生證券有效期內(nèi),無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。 (三)布萊克斯科爾斯微分方程的推導(dǎo) n1、基礎(chǔ)證券的運(yùn)動(dòng)模型： n由于假設(shè)證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因 此有： ndS

3、Sdt十Sdz n其在一個(gè)小的時(shí)間間隔t中，S的變化值 S為： n S=St+Sz（1） 2、衍生工具的運(yùn)動(dòng)模型： 假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則f一定是S和t的 函數(shù)，由伊藤引理可得： )2() 2 1 S f (f :f f ) 2 1 ( 22 2 2 22 2 2 zS S f tS S f t f S t Sdz S f dtS S f t f S S f df 為的變化值中，在一個(gè)小的時(shí)間間隔 n3、構(gòu)建無風(fēng)險(xiǎn)組合： n從上面分析看出，(1)和(2)中的z相同， 都等于 。 n因此只要選擇適當(dāng)?shù)难苌C券和標(biāo)的證 券的組合就可以消除不確定性。 n為了消除z，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括

4、一 單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多 頭的組合。 n令代表該投資組合的價(jià)值，則： t S f 為：該投資組合的價(jià)值變化時(shí)間后在 , )3( t S s f f :),4()2() 1 ( )4( 可得代入和將式 S s f f ) 5 ( 2 122 2 2 tS S f t f n4、無套利定價(jià) n由于式(5)中不含有z，該組合的價(jià)值在 一個(gè)小時(shí)間間隔t后必定沒有風(fēng)險(xiǎn)。 n因此該組合在t中的瞬時(shí)收益率一定等 于t中的無風(fēng)險(xiǎn)收益率。 n否則的話，套利者就可以通過套利獲得 無風(fēng)險(xiǎn)收益率。 n因此，在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下： nrt（6） n把式(3)和(5)代入（6）得: 5、這就是著名的布菜克

5、斯科爾斯微分分程, 它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定 價(jià)。 7 2 1 )() 2 1 ( 2 2 22 22 2 2 rf S f S S f rS t f tS S f frtS S f t f n6、注意 n(1)組合的風(fēng)險(xiǎn)性 n當(dāng)S和t變化時(shí)， 的值也會(huì)變化，因此上述投 資組合的價(jià)值并不是永遠(yuǎn)無風(fēng)險(xiǎn)的，它只是在 一個(gè)很短的時(shí)間間隔t中才是無風(fēng)險(xiǎn)的。 n在一個(gè)較長時(shí)間中，要保持該投資組合無風(fēng)險(xiǎn)， 必須根據(jù)t的變化而相應(yīng)調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量。 n當(dāng)然，推導(dǎo)布萊克斯科爾斯微分方程并不 要求調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量，因?yàn)樗魂P(guān)心t中 的變化。 S f n(2)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 n從

6、式(7)可以看出，衍生證券的價(jià)值決定 公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià) (S)、時(shí)間(t)、證券價(jià)格的波動(dòng)率()和 無風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú) 立于主觀變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。 n而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證 券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià) 值決定公式中。 n這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何， 都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。 n在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是 風(fēng)險(xiǎn)中性的。 n在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下， 所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng) 險(xiǎn)利率r，這是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并 不需要額外負(fù)擔(dān)外的收益來吸引他們承 擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。 n在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可 以通過無風(fēng)險(xiǎn)

7、利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 n應(yīng)該注意的是，風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了 求解布萊克斯科爾斯微分方程而作出 的人為假定。 n但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于 投資考風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭 惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。 二、布萊克斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式 n1973年，布萊克和斯科爾斯成功地求解了他們的 微分方程，從而獲得了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán) 的精確公式。 n 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)(T 時(shí)刻)的期望值為： )0,max( XSE T n其中， 表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期 望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐 式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值 按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值

8、， 即： ) 8 ()max( )( XSEec T tTr E 在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，我們可以用r取代下式中的 ),)( 2 (lnln 2 tTtTSST tTd tT tTrXS d tT tTrXS d dNXedSNc tTtTrSS tTr T 1 2 2 2 1 2 )( 1 2 )(2/()/ln( )(2/()/ln( : )10()()( :, )9(),)( 2 (lnln 其中 結(jié)果為積分過程對(duì)上式右邊求值是一種 nN(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布 函數(shù)(即這個(gè)變量小于x的概率)。 n根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，有： nN(x)1N(x)。 n對(duì)對(duì)B-SB-S公式理解

9、：公式理解： n （1 1）上式右邊的第二項(xiàng)）上式右邊的第二項(xiàng)- e- e-r(T-t) -r(T-t)XN(d XN(d2 2) )，是構(gòu)建無套，是構(gòu)建無套 利組合時(shí)加入的一個(gè)單位衍生證券空頭的現(xiàn)值，風(fēng)險(xiǎn)中性利組合時(shí)加入的一個(gè)單位衍生證券空頭的現(xiàn)值，風(fēng)險(xiǎn)中性 條件下的貼現(xiàn)值。條件下的貼現(xiàn)值。 n 由于該頭寸是空頭，所以符號(hào)為負(fù)，可以理解為組合由于該頭寸是空頭，所以符號(hào)為負(fù)，可以理解為組合 中的負(fù)債價(jià)值。中的負(fù)債價(jià)值。 n N(d N(d2 2) )是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中S ST T大于大于X X的概率，即是歐式的概率，即是歐式 看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率；看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率； n

10、XN(d XN(d2 2 ) )是執(zhí)行價(jià)格乘以行權(quán)的概率，是概率折扣后 是執(zhí)行價(jià)格乘以行權(quán)的概率，是概率折扣后 到期行權(quán)獲得的價(jià)值，是到期行權(quán)獲得的價(jià)值，是T T時(shí)刻的終值；時(shí)刻的終值； n e e-r(T-t) -r(T-t)XN(d XN(d2 2) )是上面終值是上面終值X X風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值，風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值， 它構(gòu)成當(dāng)前期權(quán)價(jià)格的一部分；它構(gòu)成當(dāng)前期權(quán)價(jià)格的一部分； n （2 2）上式右邊的第一項(xiàng)）上式右邊的第一項(xiàng)SN(dSN(d1 1) )，是構(gòu)建無套利組合時(shí)加，是構(gòu)建無套利組合時(shí)加 入的若干個(gè)單位的標(biāo)的證券的多頭的現(xiàn)值。由于該頭寸是入的若干個(gè)單位的標(biāo)的證券的多頭的現(xiàn)值。由

11、于該頭寸是 多頭，所以符號(hào)為正，可以理解為組合中的資產(chǎn)價(jià)值。無多頭，所以符號(hào)為正，可以理解為組合中的資產(chǎn)價(jià)值。無 套利資產(chǎn)組合中必然同時(shí)存在多頭和空頭，否則風(fēng)險(xiǎn)無法套利資產(chǎn)組合中必然同時(shí)存在多頭和空頭，否則風(fēng)險(xiǎn)無法 對(duì)沖。對(duì)沖。 n N(dN(d1 1) )可以看作是組合中股票的數(shù)量（不超過可以看作是組合中股票的數(shù)量（不超過1 1），）， SN(dSN(d1 1) )就是股票的市值。就是股票的市值。 n SN(d1)e-r(T-t) STN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn) 值值。 考慮到在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，考慮到在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，S ST T實(shí)際上是實(shí)際上是S S按無風(fēng)險(xiǎn)利

12、率按無風(fēng)險(xiǎn)利率 增長在增長在T T時(shí)刻的終值：時(shí)刻的終值： S ST T=Se=Ser(T-t) r(T-t) 或 或 S S e e-r(T-t) -r(T-t) S ST T n因此因此SN(dSN(d1 1) ) 可以變換為：可以變換為： n SN(d SN(d1 1) )e e-r(T-t) -r(T-t) S ST TN(dN(d1 1) ) n期權(quán)定價(jià)公式可以相應(yīng)表示為：期權(quán)定價(jià)公式可以相應(yīng)表示為： )()( 2 )( 1 )( dNXedNeSc tTrtTr T n（3 3）d1d1和和d2d2的性質(zhì)的性質(zhì) n 當(dāng)股票價(jià)格當(dāng)股票價(jià)格S S變得很大時(shí)，變得很大時(shí)， d1 d1和和

13、d2 d2 變得很大，變得很大， nN N（d1d1）和）和 N N（ d2 d2 ）趨近于）趨近于1 1，則：，則： n 看漲期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格f f為：為：S-X eS-X e-r(T-t) -r(T-t) n 看跌期權(quán)價(jià)格看跌期權(quán)價(jià)格p p為為0 0，因?yàn)?，因?yàn)镹 N（-d1-d1）和）和 N N（-d2-d2） n趨近于趨近于0 0。 n n 當(dāng)股價(jià)波動(dòng)率當(dāng)股價(jià)波動(dòng)率趨近于趨近于0 0時(shí)，有兩種情況：時(shí)，有兩種情況： n 當(dāng)當(dāng)SX eSX e-r(T-t) -r(T-t) 時(shí)， 時(shí)， d1 d1和和d2d2趨向于正無窮大，趨向于正無窮大， N N（d1d1） 和和 N N（ d2 d

14、2 ）趨近于）趨近于1 1， n 看漲期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格f f為：為：S-X eS-X e-r(T-t) -r(T-t) ； ； n 看跌期權(quán)價(jià)格看跌期權(quán)價(jià)格p p為：為：0 0 n n n 當(dāng)當(dāng)SX eSX e-r(T-t) -r(T-t) 時(shí)， 時(shí)，d1d1和和d2d2趨向于負(fù)無窮大，趨向于負(fù)無窮大， N N（d1d1） 和和 N N（ d2 d2 ）趨近于）趨近于0 0， n 看漲期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格f f為為0 0； n 看跌期權(quán)價(jià)格看跌期權(quán)價(jià)格p p為：為：X eX e-r(T-t) -r(T-t) S S n 總之，只要總之，只要趨近于趨近于0 0，一定有：，一定有： n 看漲期

15、權(quán)價(jià)值總為：看漲期權(quán)價(jià)值總為： MAX MAX（S-X eS-X e-r(T-t) -r(T-t)， 0 0 ）；）； n 看跌期權(quán)價(jià)值總為：看跌期權(quán)價(jià)值總為： MAX MAX（X eX e-r(T-t) -r(T-t) S S，0 0）； ）； 歐式看跌期權(quán)定價(jià) n在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于Cc，因 此式(10)也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期 權(quán)的價(jià)值。 n根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平 價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期 權(quán)的定價(jià)公式： npXe-r(T-t) N(d2)SN(d1) (11) n由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在 嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定 價(jià)還沒有得

16、到一個(gè)精確的解析公式。 n美式看跌期權(quán)可以用蒙特卡羅模擬、二叉 樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似 方法求出。 三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式 n到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的資 產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益。 n那么，對(duì)于有收益資產(chǎn)，其期權(quán)定價(jià)公式 是什么呢？ n實(shí)際上，如果收益可以準(zhǔn)確地預(yù)測到，或 者說是已知的，那么有收益資產(chǎn)的期權(quán)定 價(jià)并不復(fù)雜。 (一)有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 n在收益己知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分 解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值 部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。 n當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付 現(xiàn)金收益而消失，因此，我們只用

17、S表示有風(fēng)險(xiǎn) 部分的證券價(jià)格。 n表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率。 n直接套用公式（10）和（11）分別計(jì)算出有收益 資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。 n當(dāng)標(biāo)的證券己知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用 (sI)代替式(10)和(11)中的S即可求出固定收益 證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 n當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q(單位為年)時(shí)，將Se-q(T-t) 代替式(10)和(11)中 的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲 和看跌期權(quán)的價(jià)格。從而使布萊克斯科爾斯的 歐式期權(quán)定價(jià)公式適用歐式貨幣期權(quán)和股價(jià)指數(shù)期 權(quán)的定價(jià)。 對(duì)于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價(jià)公式：

18、 tTd tT tTXF d tT tTXF d dFNdXNep dXNdFNec tTr tTr 1 2 2 2 1 12 )( 21 )( )(2/()/ln( )(2/()/ln( : )13()()( )12()()( 其中 n例1 n假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng) 險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為7，英國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年 利率為10，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng) 率為10，求6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為$1.5000的英鎊 歐式看漲期權(quán)價(jià)格。 n由于英鎊會(huì)產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)收益,現(xiàn)在的1英鎊等于6個(gè)月 后的e0.10.5英鎊,而現(xiàn)在的 e-0.10.5英鎊等于6個(gè) 月后的1英鎊，因此可令

19、S1.5000e-0.10.5 ,并 代入式（10）可求出期權(quán)價(jià)格： 2475. 05 . 01 . 01768. 0 1768. 0 0707. 0 0375. 005. 0 5 . 01 . 0 5 . 0)2/01. 007. 0()5000. 1/5000. 1ln( )(4484. 1)(4268. 1 )(5000. 1)(5000. 1 12 5 . 01 . 0 1 21 2 5 . 0 .07. 0 1 5 . 01 . 0 tTdd e d dNdN dNedNec n 通過查累積正態(tài)分布函數(shù)N(x)的數(shù)據(jù)表， 我們可以得出： n c = 1 . 4 2 6 8 0 . 4

20、 2 9 8 1.44840.40230.03053.05美分 n 因此，6個(gè)月期英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格 為3.05美分。 (二)有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià) n1美式看漲期權(quán) n當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有 提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期 權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜。 n布萊克提出了一種近似處理方法。 n方法： n先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。 n若不合理，則按歐式期權(quán)處理； n若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別 計(jì)算在T時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的 價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期 權(quán)的價(jià)格。 n在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。 例2 n假設(shè)一種1年期的美式股票看

21、漲期權(quán)，標(biāo)的 股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日， 每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股 票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50 元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30，無風(fēng)險(xiǎn) 連續(xù)復(fù)利年利率為10，求該期權(quán)的價(jià)值。 n首先我們要看看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。根據(jù)前 面的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是： 1 )( 1ii ttr i eXD 1 )( n tTr n eXD n在本例中，D1=D21.0元。 n第一次除權(quán)日前不等式右邊為 nX1-e -r(t1-t2)50(1e0.10.5) 2.4385 n由于2.43851.0元，因此在第一個(gè)除權(quán)日前 期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行. n第二次除權(quán)日前

22、不等右邊為： nX1-e-r(T-t2)50(1e0.10.0833) 0.4148 n由于0.41481.0元，因此在第二個(gè)除權(quán)日前 有可能提前執(zhí)行 n然后，要比較1年期和11個(gè)月期歐式看漲期權(quán) 價(jià)格。 n對(duì)于1年期歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為： n1.0e-0.10.4167十1.060.10. 91671.8716元 n因此S-I=48.1284，代入式(10)得： nc1248.1284N(d1)一50e0.11N(d2) n 48.1284 N(d1)一45.2419 N(d2) n其中 nd 1 =1n(48.128450)十(0.1十0.09 2)1 /0.31= 0.35

23、62 nd2=0.3526-0.310.0562 n由于N(0.3562)0.6392 nN(0.0562)0.5224 nc1248.12840.639245.24190.5224 n 7.1293元 n對(duì)于11個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為： n1.0e-0.10.4167=0.9592元 n因此S-I=9.0408元，代入式(10)得 nc1149.0408N(d1)一50e0.10.9167N(d2) n49.0408N(d1)一45.6203N(d2) n其中： nd 1 = 1 n ( 4 9 . 0 4 0 8 5 0 ) 十 ( 0 . 1 十 0 . 0 9 2)0.9167 /0.30.9167= 0.3952 nd2=0.3952-0.30.91677.2824 nc1149.04040.653645.62030.5437.2824