D10_4重積分的應用

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié) 一、立體體積一、立體體積 和物體的質(zhì)量和物體的質(zhì)量 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、物體的轉(zhuǎn)動慣量 五、物體的引力五、物體的引力 重積分的應用 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 能用重積分解決的實際問題的特點: 所求量是 對區(qū)域具有可加性 用微元分析法 (元素法)建立積分式 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點: 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面)

2、,(yxfz 則其體積為 D yxyxfVdd),( ,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為 zyxVddd 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1: 22 1 yxzS 任一點的切平面與曲面 22 2 :yxzS所圍立體的體積 V . 例例1. 求曲面 分析分析: 1: 22 1 yxzS 22 2 :yxzS 1 M 第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 與S2的交線 在xOy面上的投影, 寫出所圍區(qū)域 D ; 第三步: 求體積V . z O (示意圖) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1: 22 1 yxzS 任一點的切平面與曲面 22 2 :yxzS所圍立體的體積 V .

3、 解解: 曲面 1 S 的切平面方程為 2 0 2 000 122yxyyxxz 它與曲面 22 yxz的交線在 xOy 面上的投影為 1)()( 2 0 2 0 yyxx yxV D dd 22 yx 2 0 2 000 122yxyyxx yx D dd 1 2 0 2 0 )()(yyxx sin,cos 00 ryyrxx令 2 (記所圍域為D ) ),( 000 zyx在點 D rrrdd 2 例例1 1. 求曲面 rr dd 1 0 3 2 0 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O x y z a2 例例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的 內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積. 解解: 在球

4、坐標系下空間立體所占區(qū)域為 : 則立體體積為 zyxVddd cos2 0 2 d a rr dsincos 3 16 0 3 3 a )cos1( 3 4 4 3 a cos20ar 0 20 0 dsin 2 0 d rrvdddsind 2 M 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n M Ad d k 二、曲面的面積二、曲面的面積 x y z S O 設光滑曲面:( , ) ,S zf x y 則S的面積 A 可由曲面上各點 ),(zyxM 處小切平面的面積 d A 累加得到. 設它在 D 上的投影為 d , Adcosd ),(),(1 1 cos 22 yxfyxf yx d),(),(1

5、d 22 yxfyxfA yx (稱為面積元素) 則 M n d 在xoy面上 的投影為D. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故有曲面面積公式 d),(),(1 22 D yx yxfyxfA yx y z x z A D dd)()(1 22 若光滑曲面 zy z x y x Add)()(1 22 ( , ) ,xg y z 則有 D 即 在yoz面上的投影為D. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xz x y z y Add)()(1 22 若光滑曲面( , ) ,yh z x 若光滑曲面方程為隱式 ,0),(zyxF則 則有 yx z y z x Dyx F F y z F F x z ),

6、(, A yx D D z zyx F FFF 222 ,0 z F且 yxdd 在zox面上的投影為D. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算雙曲拋物面yxz 被柱面 222 Ryx所截 解解: 曲面在 xOy 面上投影為,: 222 RyxD則 yxzzA D yx dd1 22 yxyx D dd1 22 rrr R d1d 0 2 2 0 )1)1( 3 2 2 3 2 R 出的面積 A . z x y O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計算半徑為 a 的球的表面積. 解解: 222 zaxy 22 ,1Dx y xy 02 : 0 D ra 222 , zx x a

7、xy 222 zy y axy 2 2 222 1 zza xy axy 取上半球面方程為 則它在xoy面上的投影區(qū)域為 或者 且 于是 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222 2 D a Adxdy axy 2 0022 2 a ar ddr ar 022 4 a r adr ar 022 4lim b ba r adr ar 22 4lim ba aaab 2 4 a （反常積分） 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 設空間有n個質(zhì)點, ),( kkk zyx其質(zhì)量分別 , ),2, 1(nkmk由力學知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標 , 1 1 n k k n k kk m

8、 mx x, 1 1 n k k n k kk m my y n k k n k kk m mz z 1 1 設物體占有空間域 ,),(zyx有連續(xù)密度函數(shù) 則 公式 , 其坐標分別為 為 為 即: 采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質(zhì)心 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 將 分成 n 小塊, ),( kkk 將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點),( kkk 例如, n k kkkk n k kkkkk v v x 1 1 ),( ),( 令各小區(qū)域的最大直徑,0 zyxzyx zyxzyxx x ddd),( ddd),( 系的質(zhì)心坐標就近似該物體的質(zhì)心坐標. 的質(zhì)點, 即得 此

9、質(zhì)點 在第 k 塊上任取一點 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理可得 zyxzyx zyxzyxy y ddd),( ddd),( zyxzyx zyxzyxz z ddd),( ddd),( ,),(常數(shù)時當zyx則得形心坐標： , ddd V zyxx x , ddd V zyxy y V zyxz z ddd 的體積為 zyxVddd 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若物體為占有xOy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, , ),(yx為 yxyx yxyxx x D D dd),( dd),( yxyx yxyxy y D D dd),( dd),( ,常數(shù)時 , dd A yxx x D A

10、yxy y D dd ( A 為D 的面積) 得D 的形心坐標: 則它的質(zhì)心坐標為 M M y M M x 其面密度 x M y M 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4 例例3. 求位于兩圓sin2rsin4r和 的質(zhì)心. 2 D 解解: 利用對稱性可知0 x 而 D yxy A ydd 1 D rrddsin 3 1 2 rr d sin4 sin2 2 dsin 9 56 0 4 3 7 之間均勻薄片 0 dsin 3 1 O y x C 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 V zyxz z ddd 例例6. 一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線 的方程為 ,

11、30,)3(9 22 zzzx 內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液, 解解: 利用對稱性可知質(zhì)心在 z 軸上， ,0 yx 采用柱坐標, 則爐壁方程為,)3(9 22 zzr zyxVddd h zzz 0 2 d)3( 9 z D h yxzddd 0 因此 故 自重, 求它的質(zhì)心. Ox z h 若爐 不計爐體的 其坐標為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 h zzz 0 22 d)3( 9 z D h yxzzddd 0 d ddz x y z ) 5 1 2 3 3( 9 23 hhh 2 2 54090 43060 hh hh hz ) 4 1 2 2 9 ( 9 23 hhhV Ox z h

12、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設空間有n個質(zhì)點, ),( kkk zyx 其質(zhì)量分別為, ),2, 1(nkmk 由力學知, 其坐標分別為 該質(zhì)點系對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 22 1 n xkkk k Iyzm 22 1 n ykkk k Ixzm 22 1 n zkkk k Ixym ， ， 四、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、物體的轉(zhuǎn)動慣量 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù) . ),(zyx 該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()( 22 因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量: zyxzyxyxI z ddd),()( 22 z Id

13、 O x y z 對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可得: zyxzyxI x ddd),( zyxzyxI y ddd),( zyxzyxIOddd),( )( 22 zy )( 22 zx )( 222 zyx 對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量 對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量 對原點的轉(zhuǎn)動慣量 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果物體是平面薄片, 面密度為Dyxyx),(),( D x yxyxIdd),( D O yxyxIdd),( 則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分. x D y O 2 y 2 x )( 2

14、2 yx D y yxyxIdd),( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 rr a ddsin 0 3 0 2 例例5.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑 解解: 建立坐標系如圖, 0 : 222 y ayx D yxyI D x dd 2 D rrddsin 23 4 4 1 a 2 4 1 aM 半圓薄片的質(zhì)量 2 2 1 aM 2 的轉(zhuǎn)動慣量. O x y D aa 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )sinsincossin( 222222 rr 解解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸, ,: 2222 azyx 則 z I zyxyxddd)( 22 5 5 2 aMa 2 5 2 dd

15、dsin 2 rr 1 3 2 2 2 0 d 球體的質(zhì)量 3 3 4 aM dsin 0 3 rr a d 0 4 例例8.8.求密度為 的均勻球體對于過球心的一條軸 l 的 設球所占 域為 (用球坐標) l O z x y 轉(zhuǎn)動慣量. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 0 2 0 2 0 )()()(zzyyxxr ,G 為引力常數(shù) 五、物體的引力五、物體的引力 設物體占有空間區(qū)域 ,，連續(xù)),(zyx 物體對位于點P0(x0, y0, z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力為 v r xxzyx GFxd )( ),( d 3 0 v r yyzyx GFyd )( ),( d 3 0 v r z

16、zzyx GFzd )( ),( d 3 0 其密度函數(shù) ),( zyx FFFF 其中 r z x vd y Fd 0 P O 引力元素 在三坐標軸上分量為Fd 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 v r xxzyx GFx d )( ),( 3 0 v r yyzyx GFy d )( ),( 3 0 v r zzzyx GFz d )( ),( 3 0 若求 xOy 面上的平面薄片D, 對點P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點 的引力分量, ),(yx D z r zyx GF d )0( ),( 3 0 因此引力分量為 則上式改為D上的二重積分, 密度函數(shù)改為 即可. 例如, 其中: 2 0 2 0 2 0

17、 )()()(zzyyxxr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 a aR 11 22 x y z R O 例例9. 設面密度為 ,半徑為R的圓形薄片 求它對位于點 解解: 由對稱性知引力 z Fd d aG , 222 Ryx )0(), 0 , 0( 0 aaM D z aGF aGaG2 處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. 2 d d G d a R 0 2 0 d a0 M 。 , 0z ),0,0( z FF 2 3 222 )( d ayx 2 3 222 )( d ayx 2 3 22 )( d ar rr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 R x y z O 例例7. 求半徑為R的均勻球 2222

18、 Rzyx 對位于 )(), 0 , 0( 0 RaaM的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. 解解: 利用對稱性知引力分量0 yx FF z F R R zazGd)( v azyx az Gd )( 2 3 222 R R zazGd)( 2 00 2 3 22 22 )( d d zR azr rr 點 z Dazyx yx 2 3 222 )( dd 0 M a z D 2 a M G 3 4 3 R M 為球的質(zhì)量 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 R R zazd )( z F G2 22 2 11 azaR za 2 00 2 3 22 22 )( d d zR azr rr R R zazGd)( G2 R R az a )( 1 22 2daazR R2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P153 7，10 , 17 P173 1，3，6, 11, 13 , 14 習題課 目錄 上頁