協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

1、一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì) 二二、相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義 三、小結(jié)三、小結(jié) 第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 1. 問題的提出問題的提出 那么那么相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量,YX ).()()(YDXDYXD 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX ?)( YXD 2 ()()()D XYE XYE XY ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì) 協(xié)方差協(xié)方差 ).()(),ov(C ),Cov(. )()( YEYXEXEYX YXYX YEY

2、XEXE 即即記為記為的協(xié)方差的協(xié)方差與與 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量量量 2. 定義定義 . )()( ),Cov( 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量 而而 YX YDXD YX XY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX)2( 3. 說明說明 . ,)1( 個(gè)無量綱的量個(gè)無量綱的量 它是一它是一協(xié)方差協(xié)方差的相關(guān)系數(shù)又稱為標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)又稱為標(biāo)準(zhǔn)和和YX 4. 協(xié)方差的計(jì)算協(xié)方差的計(jì)算 q 若若 ( X ,Y ) 為離散型為離散型， ij ij ji pYEyXExYX 11 )()(),cov

3、( q 若若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型為連續(xù)型， dxdyyxfYEyXExYX),()()(),cov( 1). 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算 );()()(),Cov()1(YEXEXYEYX (2)()()( )2Cov(, ).D XYD XD YX Y 2). 利用計(jì)算公式利用計(jì)算公式 求求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例例1 已知已知 X ,Y 的聯(lián)合分布為的聯(lián)合分布為 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解解 1 0 p q X Y P ,)(,)( ,)(,)( pqYDpqXD pY

4、EpXE ,)(,)(pqXYDpXYE 1,),cov( XY pqYX . ),(),( 2 2 2 121 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 的的與與試求試求設(shè)設(shè)YXNYX 解解 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 21 )()( 2 )( )1 ( 2 1 exp 12 1 ),( y yx x yxf由由 ,e 2 1 )( 2 1 2 1 2 )( 1 x xf x X .,e 2 1 )( 2 2 2 2 2 )( 2 y yf y Y 例例2 .)(,)(,)(,)( 2 2 2 121 YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov( 21 而而 .ddee )

5、( 12 1 2 1 1 2 2 22 1 2 1 )1(2 1 2 )( 21 2 21 xy yx x y x , 1 1 1 1 2 2 2 x y t令令, 1 1 x u ututu YX tu dde )1( 2 1 ),Cov( 22 2 21 2 21 22 tuu tu dede 2 22 2 21 22 ttuu tu dede 2 1 22 2 21 22 ,22 2 21 .),Cov( 21 YX 故有故有 . )()( ),Cov( YDXD YX XY 于是于是 結(jié)論結(jié)論 ; ,)1( 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與 代表了代表了參數(shù)參數(shù)中中二維正態(tài)分布密度函數(shù)二維正態(tài)

6、分布密度函數(shù) Y X . )2( 相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與等價(jià)于等價(jià)于 相關(guān)系數(shù)為零相關(guān)系數(shù)為零與與二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量 YX YX 注意注意 獨(dú)立必不相關(guān)，反之不然獨(dú)立必不相關(guān)，反之不然。 反例反例：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X的分布為的分布為： X-101 p1/31/31/3 Y=X2，則則XY=0，但但X與與Y不獨(dú)立不獨(dú)立。 返回 5. 性質(zhì)性質(zhì) );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(為為常常數(shù)數(shù)baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3( 2121 YXYXYXX .23,21 ),4 , 0(),3 , 1(,

7、22 YXZ NNYX XY 設(shè)設(shè) 分別服從分別服從已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 .)2( .) 1 ( 的相關(guān)系數(shù)與求 的數(shù)學(xué)期望和方差求 ZX Z 解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由 ) 23 ()( YX EZE 得得)( 2 1 )( 3 1 YEXE . 3 1 例例3 ) 2 , 3 Cov(2) 2 () 3 ()( YXY D X DZD ),Cov( 3 1 )( 4 1 )( 9 1 YXYDXD )()( 3 1 )( 4 1 )( 9 1 YDXDYDXD XY . 3241 )()( 2 1 )( 3 1 YDXDXD XY . 03

8、3 Cov(,) ()( )0. XZ X ZD XD Z故故 ) 23 ,Cov(),Cov()2( YX XZX ),Cov( 2 1 ),Cov( 3 1 YXXX 1. 問題的提出問題的提出 ? ?, 衡量接近的程度又應(yīng)如何來 最接近可使應(yīng)如何選擇問YbXaba )( 2 bXaYEe 設(shè)設(shè) .的好壞程度的好壞程度近似表達(dá)近似表達(dá)可用來衡量可用來衡量則則YbXae .,的近似程度越好的近似程度越好與與表示表示的值越小的值越小當(dāng)當(dāng)YbXae .,達(dá)到最小達(dá)到最小使使的值的值確定確定eba 二、相關(guān)系數(shù)的意義二、相關(guān)系數(shù)的意義 ).(2 )(2)(2)()( 2222 YaE XabEXY

9、bEaXEbYE 得得并令它們等于零并令它們等于零求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)分別關(guān)于分別關(guān)于將將,bae . 0)(2)(2)(2 , 0)(2)(22 2 XaEXYEXbE b e YEXbEa a e 解得解得, )( ),Cov( 0 XD YX b . )( ),Cov( )()( 0 XD YX XEYEa )( 2 bXaYEe 得得中中代入代入將將,)(, 2 00 bXaYEeba )(min 2 , bXaYEe ba ).()1( 2 YDXY 2. 相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義 . , 系較緊密系較緊密 的線性關(guān)系聯(lián)的線性關(guān)系聯(lián)表明表明較小較小較大時(shí)較大時(shí)當(dāng)當(dāng)YXeXY .,線性

10、相關(guān)的程度較差線性相關(guān)的程度較差較小時(shí)較小時(shí)當(dāng)當(dāng)YXXY .,0不相關(guān)不相關(guān)YXXY和和稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )( 2 00 XbaYE 例例4 ?,),cos( ,cos,2, 0 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)和和求求是常數(shù)是常數(shù)這里這里 的均勻分布的均勻分布服從服從設(shè)設(shè) aa 解解, 0dcos 2 1 )( 2 0 xxE , 2 1 dcos 2 1 )( 2 0 22 xxE , 0d)(cos 2 1 )( 2 0 xaxE , 2 1 d)(cos 2 1 )( 2 0 22 xaxE ,cos 2 1 d)cos(cos 2 1 )( 2 0 axaxxE 數(shù)為數(shù)為由以上數(shù)據(jù)可得相關(guān)系由以上數(shù)

11、據(jù)可得相關(guān)系 .cosa , 1,0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a , 1, 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a .存在線性關(guān)系存在線性關(guān)系 , 0, 2 3 2 時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)aa .不相關(guān)不相關(guān)與與 , 1 22 但但 .不獨(dú)立不獨(dú)立與與因此因此 .的相關(guān)關(guān)系的相關(guān)關(guān)系與與動畫演示動畫演示 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停 ESCESC鍵退出鍵退出 (1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系 3. 注意注意 相互獨(dú)立相互獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān) (2) 不相關(guān)的充要條件不相關(guān)的充要條件 ; 0,1o XY YX不相關(guān)不相關(guān) ; 0),Cov(,2o YXYX不相關(guān)不相關(guān) ).()()(,3oYEXEXYEYX 不相關(guān)不相關(guān)

12、o 4,()( )( ).X YD X YD XDY不不相相關(guān)關(guān) 反例 4. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) . 1)1( XY (2)1:, 1. XY a b P YabX 的的充充要要條條件件是是 存存在在常常數(shù)數(shù)使使 證明證明)(min)1( 2 , bXaYEe ba )()1( 2 YDXY 0 01 2 XY . 1 XY . 1 ,1)2( bXaYP baXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是 1, XY 事實(shí)上事實(shí)上 2 0000 2 00 )()( )(0 XbaYEXbaYD XbaYE , 0)( 00 XbaYD . 0)( 00 XbaYE 由方差性質(zhì)知由

13、方差性質(zhì)知 . 1 00 XbaYP或或 0)( 2 00 XbaYE , 10)( 00 XbaYP 使使若存在常數(shù)若存在常數(shù)反之反之 ba , 1 XbaYP . 0)( 2 XbaYE )(min 2 , bXaYE ba )( 2 00 XbaYE )()1( 2 YDXY . 1 XY , 10)( 2 XbaYP , 10)( XbaYP 故有故有 )(0 2 XbaYE . ),( 的的關(guān)關(guān)系系相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù) 的的概概率率密密度度曲曲面面與與二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 XY YX 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出 例例5 5 設(shè)設(shè) X ,Y

14、相互獨(dú)立，且都服從相互獨(dú)立，且都服從 N (0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 為常數(shù)，為常數(shù)， 且都不為零，求且都不為零，求 UV 解解)()()(),cov(VEUEUVEVU )()()()( )()( 2222 YbEXaEYbEXaE YEbXEa 由由 2 )()( , 0)()( YDXD YEXE 22 22 )( )( YE XE 222 )(),cov(baVU 而而 22222 )()()()(baYDbXDaUD 22222 )()()()(baYDbXDaVD 故故 22 22 ba ba UV a,b 取何值時(shí)取何值時(shí), U與與V 不相關(guān)不相關(guān)？ 此時(shí)此時(shí), , U與與V 是否獨(dú)立是否獨(dú)立？ 繼續(xù)繼續(xù) 討論討論 但 UN (0, 2a2 2), VN (0, 2a2 2 ), )( )( YXaV YXaU )( 2 1 )( 2 1 VU a Y VU a X )( 2 1 ),( 2 1 | 2 1 2 1 2 1 2 1 |),(vu a vu a f aa aa vuf XYUV 若 a = b，UV = 0, 則 U , V 不相關(guān). )( 2 1 )( 2 1 2 1 ),( 2