鋼絲的切變模量與扭轉(zhuǎn)角度關(guān)系的研究

1、鋼絲的切變模量與扭轉(zhuǎn)角度關(guān)系的研究 - 一個(gè)值得重視的力學(xué)實(shí)驗(yàn)條件的探索與分析常帥* 王淵敏* 陳駿逸 陸申龍（復(fù)旦大學(xué) 物理系，上海 200433）摘 要：研究了鋼絲的切變模量隨其扭轉(zhuǎn)角度變化而變化的情況，觀察到扭轉(zhuǎn)角大于某一角度時(shí)，切變模量趨于定值的規(guī)律，得出扭擺實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確測(cè)量的方法，此測(cè)量方法在其他許多力學(xué)實(shí)驗(yàn)中也可應(yīng)用。關(guān)鍵詞：扭轉(zhuǎn)周期；切變模量；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中圖分類號(hào)：O313.31 引 言材料在彈性限度內(nèi)應(yīng)力同應(yīng)變的比值是度量物體受力時(shí)形變大小的重要參量。正應(yīng)力同線應(yīng)變的比值稱楊氏模量，剪應(yīng)力同剪應(yīng)變的比值稱剪切彈性模量，簡(jiǎn)稱切變模量。通常認(rèn)為鋼絲的切變模量為定值，但筆者發(fā)現(xiàn)鋼絲扭轉(zhuǎn)不同

2、的角度測(cè)得的切變模量并非定值，這在扭轉(zhuǎn)角較小時(shí)相當(dāng)明顯。必須當(dāng)其扭轉(zhuǎn)超過一定角度后，才趨于一定值。這個(gè)規(guī)律在其他的力學(xué)實(shí)驗(yàn)中也存在。如在彈簧勁度系數(shù)實(shí)驗(yàn)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)，摩擦系數(shù)實(shí)驗(yàn)，楊氏模量實(shí)驗(yàn)等實(shí)驗(yàn)中，也有類似規(guī)律。在力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，對(duì)于類似大于克服“靜摩擦力”的條件下，待測(cè)量才為定值，這一規(guī)律須引起實(shí)驗(yàn)者重視。2 原 理設(shè)某一彈性固體的一個(gè)長(zhǎng)方形體積元，它的底面固定，如圖1所示。在它頂面A上作用著一個(gè)與平面平行且均勻分布的切力F，在這個(gè)力的作用下，兩個(gè)側(cè)面將轉(zhuǎn)過一定角度，通常這樣一種彈性形變?yōu)榍凶?。在切變較小的情況下，作用在單位面積上的切力F/A與切變角成正比 （1）其中A為受切力的面

3、積，G是一個(gè)物質(zhì)常數(shù)，稱切變模量，單位是N/m2。 圖1 圖2 由（1）式可知，G值大，表示該材料在受外力作用時(shí)，其切變較小。在實(shí)*作者簡(jiǎn)介：常帥（1984），男，河北人，復(fù)旦大學(xué)物理系2003級(jí)本科生指導(dǎo)老師：陳駿逸（1963），男，浙江鄞縣人，復(fù)旦大學(xué)物理系講師，理學(xué)學(xué)士，從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作驗(yàn)中，待測(cè)對(duì)象是一根上下均勻而細(xì)長(zhǎng)的鋼絲，從幾何上說，就是一個(gè)細(xì)長(zhǎng)圓柱體，如圖2所示。設(shè)圓柱體的半徑為R，高為L(zhǎng),其上端固定，下端面受到一個(gè)外加扭轉(zhuǎn)力矩的作用（即沿著圓面上各點(diǎn)的切向施加外力），于是圓柱體中各體積元（取半徑為r，厚為dr的圓環(huán)狀柱體為體積元）均發(fā)生切變?？偟男Ч菆A柱體下端面繞中心軸線

4、OO扭轉(zhuǎn)了一個(gè)角，也即底周上的P點(diǎn)轉(zhuǎn)至P位置。因?yàn)閳A柱（鋼絲）很長(zhǎng)，各體積元均能滿足的條件，利用關(guān)系式L=R及式（1），通過積分可求得如下關(guān)系式： （2）其中為外力矩。設(shè)圓柱體內(nèi)部的反向彈性力矩為，在平衡時(shí)則有，可見 。令 D (3)則 D （4） 對(duì)一定的物體（如上述鋼絲），D為常數(shù)，稱扭轉(zhuǎn)系數(shù)。扭擺的結(jié)構(gòu)如圖3所示。若使爪手繞中心軸轉(zhuǎn)過某一角度，然后放開，則爪手將在鋼絲彈性扭轉(zhuǎn)力矩M作用下，做周期性的自由振動(dòng)，這就構(gòu)成了一個(gè)扭擺。如鋼絲在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中的角位移以表示，若爪手整個(gè)裝置對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有： 圖3 即 此方程是一個(gè)常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，它的振動(dòng)周期是 (5) 如

5、果測(cè)得、R 、L、值，可由（3）式和（5）式求得G。但由于圖3中這套裝置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較難計(jì)算，故在測(cè)得后，尚需利用一金屬圓環(huán)作進(jìn)一步測(cè)試，圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 其中m為圓環(huán)質(zhì)量，分別為其內(nèi)外半徑。在盤上放置圓環(huán)后的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為+，其振動(dòng)周期為 (6)由（5）式和（6）式消去后，得： (7) 由式（3）式和（7）式得： （8）3 實(shí)驗(yàn)裝置 實(shí)驗(yàn)裝置由支架、軋具、爪手、圓環(huán)、待測(cè)物（琴鋼絲）、圓柱剛體、霍耳開關(guān)、小磁鋼、數(shù)字式智能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)儀等組成，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。 圖4 圖4中： 1 爪手，頂部帶軋具。環(huán)狀剛體可水平和垂直放置在爪盤上繞軸扭轉(zhuǎn)。2 環(huán)狀剛體（水平放置和垂直放置二種狀態(tài)）。 3

6、待測(cè)材料：鋼絲。 4 集成霍耳開關(guān)，直流電源工作電壓5V。 5 釹鐵硼小磁鋼。 6 可調(diào)節(jié)底座水平的支架。 7 數(shù)字式智能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)儀。量程0199s，分辨率0.01s。8 標(biāo)志旋鈕。 9 扭動(dòng)旋鈕。 4 實(shí)驗(yàn)方法1）用電子天平稱圓環(huán)的質(zhì)量 ；游標(biāo)卡尺測(cè)圓環(huán)內(nèi)徑、外徑；千分尺測(cè)琴鋼絲直徑2R 。2） 將爪盤上端夾緊鋼絲，夾緊支點(diǎn)為O；鋼絲上端通過夾具固定在支架上（支點(diǎn)為O），使爪盤懸起。用米尺測(cè)量鋼絲O、O間距L 。3） 轉(zhuǎn)動(dòng)爪盤到不同的角度，用霍耳開關(guān)計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)儀測(cè)量扭轉(zhuǎn)不同角度所對(duì)應(yīng)的擺動(dòng)周期。每隔測(cè)量一次。再將環(huán)狀鋼體水平放置在爪手上，測(cè)量扭轉(zhuǎn)動(dòng)不同角度所對(duì)應(yīng)的擺動(dòng)周期，所測(cè)的扭轉(zhuǎn)角度與上一

7、步一致。最后分別計(jì)算不同的扭轉(zhuǎn)角度對(duì)應(yīng)的切變模量，列表作圖并進(jìn)行分析討論。5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及分析圓環(huán) 79.94mm ,110.14mm ,560.43g 。鋼絲 L70.48cm ,2R = 0.400mm 。轉(zhuǎn)動(dòng)爪盤到不同角度,對(duì)應(yīng)測(cè)得擺動(dòng)的周期如表1所示。 表1扭轉(zhuǎn)角/ 306090120150180210周期/s5.4955.6465.6815.7135.7455.7455.765扭轉(zhuǎn)角/240270300330360450630周期/s5.7725.7815.7825.7825.7885.7835.792 將環(huán)狀剛體水平放置爪盤上，轉(zhuǎn)動(dòng)整個(gè)裝置到不同角度,對(duì)應(yīng)測(cè)得擺動(dòng)周期見表2所示。表2

8、扭轉(zhuǎn)角/ 306090120150180210周期/s13.73814.47714.57914.62514.67214.71314.753扭轉(zhuǎn)角/240270300330360450630周期/s14.76114.77414.78714.78214.80614.77014.791將上述R、r1、r2、L、m、T0、T1代入公式（8）,求不同扭轉(zhuǎn)角度對(duì)應(yīng)的切變模量，得表3和圖5結(jié)果。扭轉(zhuǎn)角/306090120150180210切變模量/()8.2248.0797.9647.9197.8777.8237.787扭轉(zhuǎn)角/240270300330360450630切變模量/()7.7687.7687.

9、7547.7627.7347.7687.754表3 由圖5及表1、表2得： 鋼絲的切變模量隨扭轉(zhuǎn)角度增加而減小，當(dāng)剛體扭轉(zhuǎn)角大于時(shí)，切變模量G趨于穩(wěn)定。而這個(gè)值正是實(shí)驗(yàn)者在實(shí)際中所希望測(cè)得的鋼絲的切變模量值。 圖5據(jù)廠方提供的該琴鋼絲G值為7.80，與本實(shí)驗(yàn)中扭轉(zhuǎn)角大于所測(cè)得的鋼絲穩(wěn)定切變模量正好相符。所以可得結(jié)論：爪手與環(huán)的扭轉(zhuǎn)角大于后，其切變模量才趨于定值。而此時(shí)琴鋼絲扭轉(zhuǎn)角度= 將一個(gè)已知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的長(zhǎng)方體剛體置于爪手上，并使其作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，測(cè)出爪手和長(zhǎng)方形剛體放置在一起時(shí)，扭轉(zhuǎn)不同角度所對(duì)應(yīng)的周期，由此算出不同的扭轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與理論計(jì)算值對(duì)比，其規(guī)律也相同，即長(zhǎng)方形剛體

10、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值與扭轉(zhuǎn)角大于時(shí)所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)值符合的很好。說明當(dāng)轉(zhuǎn)角大于時(shí)，由趨于常數(shù)的鋼絲的切變模量來(lái)計(jì)量負(fù)載物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可行性。也就是鋼絲扭轉(zhuǎn)角度必須大于某一角度之后，它的切變模量值才有實(shí)際意義。本實(shí)驗(yàn)用秒表或光電傳感器也進(jìn)行過周期的測(cè)量，其規(guī)律相同。6 實(shí)驗(yàn)結(jié)論切變模量值與扭轉(zhuǎn)角度有關(guān)這個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，在其他力學(xué)實(shí)驗(yàn)中也出現(xiàn)類似的情況。在測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)時(shí)，利用公式，在垂直的彈簧上所加重力應(yīng)與鋼絲伸長(zhǎng)量成正比。但在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)開始的砝碼重量比較小時(shí)，彈簧的鋼絲各匝之間未被拉開，或僅僅部分被拉開，此時(shí)測(cè)得的彈簧勁度系數(shù)偏小，必須將砝碼加到一定質(zhì)量后，使得彈簧的鋼絲各匝之間均存在一定間隙，此時(shí)

11、測(cè)得的彈簧勁度系數(shù)才符合實(shí)際值。說明必須將加在彈簧上的力大至某一“閾值力”，其勁度系數(shù)才趨向定值，并且符合實(shí)際值。在本實(shí)驗(yàn)中，有類似的關(guān)系式，同樣鋼絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)D也是在扭轉(zhuǎn)角度達(dá)到一定值后才趨向定值。聯(lián)系具有相同關(guān)系式的摩擦力來(lái)比較。，其中為摩擦力， 為摩擦系數(shù)，N為壓力。當(dāng)物體靜止時(shí)，必須當(dāng)推力大于某閾值力時(shí)，物體才能移動(dòng)，此時(shí)靜 變?yōu)?，靜為可變量，而為不變量。類似地，在本實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)扭轉(zhuǎn)角比較小時(shí)，其扭轉(zhuǎn)系數(shù)可視為“靜扭轉(zhuǎn)系數(shù)”，是一個(gè)可變的量，它比“動(dòng)扭轉(zhuǎn)系數(shù)”大。當(dāng)扭轉(zhuǎn)角超過時(shí)，“靜扭轉(zhuǎn)系數(shù)”變?yōu)椤皠?dòng)扭轉(zhuǎn)系數(shù)”，是一個(gè)不變的量。在實(shí)際測(cè)量和手冊(cè)中列出的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，正是這定值的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，只是不

12、用“靜”和“動(dòng)”兩個(gè)詞冠。所以在實(shí)驗(yàn)教學(xué)和科研中必須重視這一實(shí)驗(yàn)規(guī)律的分析和研究。為了使教和學(xué)更進(jìn)一步，達(dá)到深入了解的目的，應(yīng)該在物理實(shí)驗(yàn)教材中，將這一規(guī)律補(bǔ)充進(jìn)去，使學(xué)生了解其中的物理規(guī)律，而不是單純作一個(gè)規(guī)定。參考文獻(xiàn)：1賈玉潤(rùn)、 王公治、凌佩玲。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)M。上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1987。2丁慎訓(xùn)、張連芳。物理實(shí)驗(yàn)教程第二版。北京：清華大學(xué)出版社，2000.9 。3德威廉H.衛(wèi)斯特發(fā)爾著，王福山譯。物理實(shí)驗(yàn)。上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1964.7。 A research of the relation between a steel wires shear modulus and r

13、everse angle -Exploration and analysis of a noticeable mechanics experimental conditionChang Shuai* Wang Yuanmin* Chen Junyi Lu shenlong (Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China)Abstract: The situation of changes of the steel wires shear modulus along with the reverse angles changes is studied, a rule is observed that when the reverse angle is bigger than a certain angle, the shear modulus tends to the definite value,