云師大附中2020-2021學(xué)年高三高考適應(yīng)性月考(六)數(shù)學(xué)(理)試題

1、云師大附中2020.2021學(xué)年高三高考適應(yīng)性月考（六）數(shù)學(xué)（理）試題學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：一、單選題1 .已知集合人=工|/。82工1，集合8 = xeN|k|2,則AU8=（）A. x0xl B, x|0x2 c. x|0xl,4.已知實(shí)數(shù)X，y滿足約束條件42元一22,則上的最大值為（） ,，32A. 2B. C. 1D.235.在區(qū)間（0,3）上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y =履與雙曲線C：x、y2=l有兩 個(gè)不同的交點(diǎn)”發(fā)生的概率為（）1 12A. B. C. De 13236 .已知（2xl）（x+）3展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為27,則其展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為（）A. 24B. 1

2、8C. 12D. 47 . A6C的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為。力,c,若5加4 =*, =則角C 的大小為（）B.-C.3九 D.8.在如圖四個(gè)三棱柱中，45為三楂柱的兩個(gè)頂點(diǎn),E,產(chǎn),G為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)三棱柱中，直線人5與平面EFG不平行的是（）9.已知橢圓C：后+a=1(4b0)與拋物線E.y2 = 2Px(p 0)有公共焦點(diǎn)R橢圓C與拋物線E交于48兩點(diǎn)，且45,尸三點(diǎn)共線，則橢圓C的離心率為()A. V2-1 B. ec.正D.正上22210 .己知數(shù)列“滿足:V/? e Nan = log,2+1 ( + 2),對(duì)7；設(shè)為數(shù)列q的前項(xiàng)之積, 則下列說法錯(cuò)誤的是()A.B. %

3、C.1=3D. T7 0、0乃）的部分圖象如圖所示，設(shè).%為的極大值點(diǎn)，則cosm”=（）A 6b 2A345555二、填空題13 .命題“Vx0,+8）, 丁2x 此0”為真命題，則實(shí)數(shù)?的最大值為14 .設(shè)己知直線/:or+y -2a = 0與圓C：（x2 + y2=4交于A8兩點(diǎn)， 則弦AB的長(zhǎng)為./、 一,xe（0,2/、15 .己知函數(shù)/（力=什 則/（x）在x = 3處的切線方程為/（x-2）,xg（2,+oo）,16 .己知平面內(nèi)一正六邊形A6C。石廠的邊長(zhǎng)為1，中心為點(diǎn)。，將該正六邊形沿對(duì)角線 AO折成二面角七一A3-C,則當(dāng)二面角七一人。一。的平面角余弦值為g時(shí)，三棱 錐O-

4、CEF的外接球表面積為.三、解答題17 .己知數(shù)列“的前項(xiàng)和為5”，當(dāng)“wN時(shí)，工=2+】一 2.（1）求數(shù)列為的通項(xiàng)公式；4, Clr Cl, 4（2）證明:當(dāng)時(shí)， + + +2h + 2.a2 。3an18.改革開放以來，中國(guó)快遞行業(yè)持續(xù)快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)量從上世紀(jì)80年代的153萬 件提升到2021年的507億件，快遞行業(yè)的發(fā)展也給我們的生活帶來了很大便利.已知某市某快遞點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:首重（重量小于等于1kg川攵費(fèi)10元，續(xù)重5元/依（不足1依按1依算）.（如:一個(gè)包裹重量為2.5依，則需支付首付10元，續(xù)重10元，一共20元 快遞費(fèi)用）（1）若你有三件禮物重量分別為0.4依,1.2依

5、,1.9奴，要將三個(gè)禮物分成兩個(gè)包裹寄出（如:AS合為一個(gè)包裹，C一個(gè)包裹），那么如何分配禮物，使得你花費(fèi)的快 遞費(fèi)最少？（2）為了解該快遞點(diǎn)2021年的攬件情況，在2021年內(nèi)隨機(jī)抽查了 30天的口攬收包裹 數(shù)（單位:件），得到如下表格：包裹數(shù)（單位:件）(0,100(100,200(200,300(300,400天數(shù)（天）81282現(xiàn)用這30天的口攬收包裹數(shù)估計(jì)該快遞點(diǎn)2021年的口攬收包裹數(shù).若從2021年任取4 天，記這4天中口攬收包裹數(shù)超過200件的天數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望 19.如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形44生生，= 242,4紇=2,圓臺(tái)。02的側(cè)面積為6小若點(diǎn)分別

6、為圓 。1,。2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Cd在平面44仄片的同側(cè).D(1)求證:AC_L A?C；（2）若/42c = 60。，則當(dāng)三棱錐C-AQ4的體積取最大值時(shí)，求4。與平面CR4所成角的正弦值.20.已知拋物線C:y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線/與拋物線C交于45兩點(diǎn), 且廠| = 2怛尸叢之2).(1)求直線/斜率的取值范闈；(2)過點(diǎn)A 8分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P，求A6P面積的取值范圍.21 .己知函數(shù)/(x) = lnx+2x-ax2.(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)4 = 1時(shí)，判斷并說明函數(shù)g(x) = /(x) - COSX的零點(diǎn)個(gè)數(shù).若函數(shù)g(x)所有零點(diǎn)均在區(qū)間上九(7Z

7、, Z)內(nèi)，求一加的最小值.X = 1 + COS Ct.22 .在平面直角坐標(biāo)系工0丁中，曲線C的方程為(。為參數(shù)，且。(0,犯),y = sina.若點(diǎn)M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，直線OM交直線x = 2于點(diǎn)P.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)|尸叫=3時(shí)，求點(diǎn)P的極坐標(biāo).23 .設(shè)函數(shù)/(x) = |x+l 上一1|的最大值為.(1)求”的值;4（2）設(shè)正數(shù)。力,c滿足a + % +,求證：ab + ac + bc l如圖，作出不等式組 log, 272 =三 點(diǎn),所以log. 32% /，A正確;2。7= logs

8、9 =log? 3 4，B 正確；T6 = log2 3xlog3 4x-xlog7 8 = log, 8 = 3, C 正確；因?yàn)?； = log、3xk)g34xxlogs9,則4 =同3,所以D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列4的前項(xiàng)之積及項(xiàng)的大小比較，涉及到對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、換底公式等知識(shí), 考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.11. D【分析】在RA4OC中，可判斷，中，可判斷，利用A4D5與AAOE全等及A4OC 與ADFC相似即可判斷.【詳解】在MA43C中，OC = 2rsina,故不正確；因?yàn)?。=。，所以N54C = 2,在心AA5C中，AB = 2rcQs2a,故正確；因?yàn)?/p>

9、AE = AB 5。=。，易知與A4Z)后全等，故。石= 5O = OC, DF1EC.所以尸C=廠一AB(l-cos2),又 2=C AC DC所以DC2 = AC FC = r(lr-AB),故正確, 由 DC = 2rsni6/, AB = 2rcos267, DC2 = r(lr-AB)，可得(2rsuir/)- = 7*(2r-2rcos2rz) 即 2suf a = l-cos2 故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，考杳學(xué)生在圓中利用三角形邊長(zhǎng)證明倍角公式的背景下，判斷所需的 邊長(zhǎng)是否正確，是一道中檔題.12. B【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)可以出)，=$譏(以+。)的奇偶性，然后根

10、據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可以求出 函數(shù)的解析式，然后對(duì)函數(shù)/(x)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)奇偶性、輔助角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)? (x) = J*山(wx+。)為偶函數(shù)y = e為偶函數(shù),所以y =s加(wx +0)為偶函數(shù)，又0夕)，所以。=,由圖象及=/(3)=0可知卬=2, 所以 / (x) = cos2x,因?yàn)閥 =/(X)和=cos2x為偶函數(shù),所以只需考慮xNO的情況，當(dāng)xZO時(shí)，fx = excoslx/f(x) = ex (cos2x-2sin2x) = y/5excos(2x+),甘木下.2小其中 coscp = , sincp = 7當(dāng) 2x + = 1 + 2k;r,kZ

11、時(shí)，/（x）有極大值， -2 6此時(shí) cos2x = coscp = sin =、.2）5故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，考杳了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考 查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13. -1【分析】由題意丘（0,+到戶2-2.加20,轉(zhuǎn)化為（/-2.丫）而產(chǎn)7,只需求出函數(shù)），=一2/的最小值即可.【詳解】Vx （0,4- 0,只需（廠2xn 之 , 又當(dāng) x=l 時(shí)， =/一2文有最小值一1,所以?（一1,川的最大值為一1.故答案為：-1.【點(diǎn)睛】本題考查與命題真假有關(guān)得不等式恒成立問題，一般恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值或取值范圍來處 理，是一道基礎(chǔ)題.14. 4【分析】

12、 直線。丫+）2。= 0恒過定點(diǎn)（2,0）,而圓心也為（2,0）,可得弦45為圓。的直徑.【詳解】 圓。:(x2+)，= 4的圓心為(2,0),半徑為2,直線八批+y2。= 0過定點(diǎn)(2,0),所以弦A5為圓C的直徑，故弦A5的長(zhǎng)為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線恒過定點(diǎn)的問題，是一道基礎(chǔ)題.15. y = -x + 4【分析】先求出當(dāng)xe(2,4時(shí)/(x)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程.【詳解】由可知， /(x-2),xg(2,+oo),當(dāng)xs(2,4時(shí)，力=,廣(”=一代7所以“3) = 1,1(3)=1,/(x)在x = 3處的切線方程為y1

13、 =-(x3),即)，= t+4.故答案為：y = -x+4.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求/(x)在某點(diǎn)處的切線方程，涉及到函數(shù)解析式的求法，是一道容易題.16. 2 乃【分析】由題意作圖，取線段OD的中點(diǎn)G,連接EG, CG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合二面角 平面角的定義可以判斷4GC即為二面角七一AO-C的平面角，結(jié)合余弦定理、線面垂 直的判定定理和性質(zhì)、四點(diǎn)共球的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意作圖，取線段QD的中點(diǎn)G,連接EG, CG,可知CG1AD,所以NEGC即為二面角石一A。一C的平面角，即 cosZEGC =-,又 EG = CG = 0， 32由余弦定理可得石C二L又因?yàn)镋G

14、c CG = G,所以AO_L平面EGC,所以 AO_LEC，由 AD/EF,得 EFL EC.因此在三棱錐O-C石/中，OC = OF = OE = EC = EF = 1, FC = &,三棱錐O-CE尸外接球球心為線段產(chǎn)。的中點(diǎn)，半徑為巫 2所以外接球表面積為27r.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角的定義，考杳了三楂錐外接球表面積，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能 力.17. (1)。 = 2一1；詳見解析.【分析】(1)利用公式當(dāng)之2時(shí)，q,=S-St進(jìn)行驗(yàn)證求解即可；(2)對(duì)烏出進(jìn)行常變量分離，然后進(jìn)行放縮，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）解:當(dāng) 2 2 時(shí)，S_ = 2 1

15、, 4 = Sn S_ = 2 1, 當(dāng) =1 時(shí)，q = S = 2?-1-2 = 1滿足/ = 2-1.綜上，當(dāng) eN”時(shí)，q=21.（2）證明:當(dāng)時(shí)，2”122t，所以色a：21 1 =2 +2一 12一12 + - 2-1所以%+ % + + 也02 + 1 + 上 + + 上=2+ J q d %2 2-2t12/1 y= 2 + 2 1故 ZAC4=90。，即 AC_LAC.（2）解:由題意可知，三棱錐CAO4的體積為匕F嘰=；|。0?艮4網(wǎng)=*同。|%。|又在直角三角形中，AD2-AD2=AlA = 162AlDA2D所以當(dāng)且僅當(dāng)| A& = |= 2 J3即點(diǎn)。為弧44的中點(diǎn)時(shí)

16、，。一4。4有最大值羋連接。 因?yàn)镺0?l平面AQA?,oq_LO/?,所以以。、為坐標(biāo)原點(diǎn)， 一分別以?！?。凡,。此的方向?yàn)閄,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。xyz.點(diǎn) A（0,2,0）,4（0,2,0）,3（2,0,0）,由N4民C = 60。可知CV3273A。= (2,2,0 A A =(0,4,0), A.C = -y-, ,5/3設(shè)平面的法向量 = (x,y,2),A A /? = 0X 一ACk = 04y = 0工一1+底=0取 二（2,0,-1），nA1。 n AtD所以A。與平面C414所成角的正弦值為風(fēng)【點(diǎn)睛】本題考查了圓臺(tái)的側(cè)面積公式和三棱錐的體積公式，考查了

17、基本不等式的應(yīng)用，考查了空間 向量夾角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.20. （1） k k /求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩條切線的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式、點(diǎn) 4到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）拋物線C:V=4y ,點(diǎn)尸（0,1）,由題意知直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y = Ax+L代入拋物線方程犬=4y ,可得4日一4 = 0,設(shè)點(diǎn)A（石,）,6（匹,名）,所以用 + &=4k,七毛=-4,因?yàn)閨A尸| = 2怛廠I，所以X =-44,又 X, （12）= 4/c, 4,可得K=匕互=（_1 +九一242 4U ）當(dāng)人之2時(shí)，k2- 8所以k之立或kw-包 44工1,1（

18、2） My = -xy=-x 42則直線4尸：一）1 = 3網(wǎng)（工一事）， 1 , 又1 =不，所以直線AP：y = ；&x_；x； xx同理可得直線BP: y =2 -4 所以點(diǎn)尸（人1,竿即P（2女1）點(diǎn)夕到直線/的距離4 =|AB| = yjk2 + 1( + x2)2 -4x1x2 = 4 + 4所以446戶面積5 = 346 = 4(1 +/)5/1 +女2之二應(yīng) 28 27綜上，AA6P面積的取值范闈為 一 +00 I【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線切線的求法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21. （1）當(dāng)時(shí)，在（0,+8）上單調(diào)遞增；當(dāng)0時(shí)，/（x）在0尸 ； + 上

19、， 乙v /上單調(diào)遞增，在, y 上單調(diào)遞減（2 ） g（X）存在兩個(gè)零點(diǎn)再，X,且再1, ,I 2 Jk 2J七（兀,4,詳見解析：一 1的最小值為3【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)/（1）=1+ 2-2奴=26十21+1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分 =0 0三種情況分類討論求解.(2)當(dāng)a = l時(shí)，g() = 111X+2x-x2-3cosx,當(dāng)xe(0時(shí)，/(1)二山工+2工一/單調(diào)遞增，/(a)3cos 1 3cos,則g(x)0,所以/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增； X當(dāng)avO時(shí)，2。/0, /（力0,所以/（x）在（0,+e）上單調(diào)遞增：當(dāng)。0時(shí)，令2aF + 2x+l = 0,得W J +4

20、+且,l Jl + 2q （舍）1 2a2a當(dāng) XE 0,時(shí)，/（X）O,當(dāng) XE ,4-00 , /（X）。時(shí)，/在。，巨笠 上單調(diào)遞增，在比/收上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)。=1 時(shí)，g(x) = nx2x-x2-3cosx , 當(dāng)x(0,l時(shí)，/(x) = lnx+2x-x2單調(diào)遞增，=3 cos x 3 cos 1 3 cos y =-,則 g(x) 3sin 1 3sin =,6 223所以g(x) + 2-兀+大0，g(x)單調(diào)遞增, 7T2(兀)I兀兀2 n =111 + JU 024所以存在唯一使得g(xJ = 0.當(dāng)兀時(shí)，f(x) = + 2-2x+3sinx, g(x) = -2 + 3cosx0,且(兀)=+ 2 2兀0, g(x)單調(diào)遞增;V 2.當(dāng)X(X0,兀|時(shí)，/(玉)， g(兀) = ln兀+ 2兀一兀？ + 3。，因此，g（X）0在y,7T上恒成立，故不存在零點(diǎn).當(dāng)xe（兀,4時(shí)，g（x） = -3-2+3cosxv0,所以g（x）單調(diào)遞減, A因?yàn)槲荩ㄘ＃﹙O,所以g（x）vO, g（x）單調(diào)遞減,又g（兀）。,g（4）= hi4+8-16-3cos40,所以存在唯一&（兀,