4.5.2 補(bǔ)角和余角

1、第第4章章 直線與角直線與角 1 課堂講解課堂講解 u余角和補(bǔ)角的定義余角和補(bǔ)角的定義 u余角和補(bǔ)角的性質(zhì)余角和補(bǔ)角的性質(zhì) 2 課時(shí)流程課時(shí)流程 逐點(diǎn)逐點(diǎn) 導(dǎo)講練導(dǎo)講練 課堂課堂 小結(jié)小結(jié) 課后課后 作業(yè)作業(yè) 1 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)余角和補(bǔ)角的定義余角和補(bǔ)角的定義 知知1導(dǎo)導(dǎo) 定義：如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)平角，就說(shuō)這兩個(gè)定義：如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)平角，就說(shuō)這兩個(gè) 角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的 補(bǔ)角如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)直角，就說(shuō)這兩個(gè)補(bǔ)角如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)直角，就說(shuō)這兩個(gè) 角互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的角互為余角，簡(jiǎn)稱互

2、余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的 余角余角 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 知知1講講下列說(shuō)法正確的有下列說(shuō)法正確的有() 銳角的余角是銳角，銳角的補(bǔ)角是銳角銳角的余角是銳角，銳角的補(bǔ)角是銳角 ； 直角沒(méi)有補(bǔ)角；直角沒(méi)有補(bǔ)角； 鈍角沒(méi)有余角，鈍角的補(bǔ)角是銳角；鈍角沒(méi)有余角，鈍角的補(bǔ)角是銳角； 直角的補(bǔ)角還是直角；直角的補(bǔ)角還是直角； 一個(gè)銳角的補(bǔ)角與它的余角的差為一個(gè)銳角的補(bǔ)角與它的余角的差為90 ； 兩個(gè)角相等，則它們的補(bǔ)角也相等兩個(gè)角相等，則它們的補(bǔ)角也相等 A3個(gè)個(gè)B4個(gè)個(gè)C5個(gè)個(gè)D6個(gè)個(gè) 例例1 B 知知1講講 導(dǎo)引：導(dǎo)引：主要緊扣銳角、直角、鈍角、余角、補(bǔ)角主要緊扣銳角、直角、鈍角、余角、補(bǔ)角 的特

3、征進(jìn)行判斷，除不正確外，其他說(shuō)法都的特征進(jìn)行判斷，除不正確外，其他說(shuō)法都 正確正確 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 總結(jié)總結(jié) 知知1講講 由于互余的兩個(gè)角之和為由于互余的兩個(gè)角之和為90，所以這兩個(gè)角都為，所以這兩個(gè)角都為 銳角；互補(bǔ)的兩個(gè)角之和為銳角；互補(bǔ)的兩個(gè)角之和為180，所以這兩個(gè)角，所以這兩個(gè)角 為一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角或兩個(gè)角都為直角為一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角或兩個(gè)角都為直角 2 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)余角和補(bǔ)角的性質(zhì) 知知2導(dǎo)導(dǎo) (來(lái)自教材來(lái)自教材) 余角有無(wú)與補(bǔ)角類似的性質(zhì)？如果有，你能余角有無(wú)與補(bǔ)角類似的性質(zhì)？如果有，你能 說(shuō)明道理嗎？說(shuō)明道理嗎？ 思考思考 歸歸 納納 知知2講講 同角（

4、或等角）的補(bǔ)角相等同角（或等角）的補(bǔ)角相等； 同角（或等角）的余角相等同角（或等角）的余角相等. 知知2講講 (來(lái)自教材來(lái)自教材) 如圖如圖4-31， 1 = 3, 1與與 2互補(bǔ)，互補(bǔ)， 3 與與 4互補(bǔ)，那么互補(bǔ)，那么 2與與 4有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 例例2 圖圖4-31 知知2講講 (來(lái)自教材來(lái)自教材) 解解：因?yàn)橐驗(yàn)?1與與 2互補(bǔ)，所以互補(bǔ)，所以 2 = 180- _. 因?yàn)橐驗(yàn)?3與與 4互補(bǔ)，所以互補(bǔ)，所以 4 = 180 - _ . 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?1= 3,所以所以_=_. 1 3 4 2 總總 結(jié)結(jié) 知知2講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 1.補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等，即：若

5、補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等，即：若A B180，AC180，則，則B C.等角的補(bǔ)角相等，即：若等角的補(bǔ)角相等，即：若AB 180，DC180，AD，則，則 BC. 知知2講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 2余角的性質(zhì)：同角的余角相等，即：若余角的性質(zhì)：同角的余角相等，即：若A B90，AC90，則，則B C.等角的余角相等，即：若等角的余角相等，即：若AB 90，DC90，AD，則，則B C. 知知2講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 如圖，直線如圖，直線AB與與COD的兩邊的兩邊OC，OD 分別相交于點(diǎn)分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，若1 2180.找出圖中與找出圖中與2 相等的角，并說(shuō)明理由相等的角，并說(shuō)明理

6、由 例例3 知知2講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 導(dǎo)引：導(dǎo)引：已知已知12180，說(shuō)明，說(shuō)明2是是1的的 補(bǔ)角根據(jù)同角補(bǔ)角根據(jù)同角(或等角或等角)的補(bǔ)角相等，找出圖中的補(bǔ)角相等，找出圖中 1的其他補(bǔ)角和的其他補(bǔ)角和2的其他補(bǔ)角的補(bǔ)角，便可的其他補(bǔ)角的補(bǔ)角，便可 確定與確定與2相等的角相等的角 總總 結(jié)結(jié) 知知2講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) “同角同角(或等角或等角)的余角相等的余角相等”“同角同角(或等角或等角)的補(bǔ)的補(bǔ) 角相等角相等”的實(shí)質(zhì)是等量代換，在特定的背景下的實(shí)質(zhì)是等量代換，在特定的背景下 使用起來(lái)更便捷使用起來(lái)更便捷 (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知2練練 C 若若90，90，則，則 與與

7、的關(guān)系是的關(guān)系是() A互余互余 B互補(bǔ)互補(bǔ) C相等相等 D90 4 (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知2練練 C 如圖，直線如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，因?yàn)?，因?yàn)?3 180，23180，所以，所以12的的 依據(jù)是依據(jù)是() A同角的余角相等同角的余角相等 B等角的余角相等等角的余角相等 C同角的補(bǔ)角相等同角的補(bǔ)角相等 D等角的補(bǔ)角相等等角的補(bǔ)角相等 5 知知2練練 B 如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)O在直線在直線AE上上,OB平分平分AOC,BOD 90,則則DOE和和COB的關(guān)系是的關(guān)系是() A互余互余 B互補(bǔ)互補(bǔ) C相等相等 D和是鈍角和是鈍角 6 2 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)角的平分線角的平分線 知知2導(dǎo)

8、導(dǎo) (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 定義：在角的內(nèi)部定義：在角的內(nèi)部,以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這 個(gè)角分成兩個(gè)相等的角個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線這條射線叫做這個(gè)角的平分線. 要點(diǎn)精析：要點(diǎn)精析：(1)角平分線是在角的內(nèi)部從角的頂點(diǎn)引出角平分線是在角的內(nèi)部從角的頂點(diǎn)引出 的一條射線的一條射線,不是直線或線段；不是直線或線段； (2)角平分線把角分成了兩個(gè)相等的角角平分線把角分成了兩個(gè)相等的角 知知2講講 例例3 如圖，如圖，12，34，則下列結(jié)論：，則下列結(jié)論： AD平分平分BAF；AF平分平分DAC；AE 平分平分DAF；AF平分平分BAC；AE平

9、分平分 BAC中，正確的有中，正確的有() A4個(gè)個(gè)B3個(gè)個(gè)C2個(gè)個(gè)D1個(gè)個(gè)C (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 知知2講講 導(dǎo)引：導(dǎo)引：由角的平分線的幾何表示可知：當(dāng)由角的平分線的幾何表示可知：當(dāng)1 2時(shí)，時(shí)，AE平分平分DAF；再由；再由34可得可得1 324，即，即BAECAE，因此，因此AE平平 分分BAC. (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 總總 結(jié)結(jié) 知知2講講 判斷一條射線是不是角的平分線，只要看這條判斷一條射線是不是角的平分線，只要看這條 射線是否將角分成相等的兩個(gè)角射線是否將角分成相等的兩個(gè)角 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 知知2講講 如圖，如圖，OC是是AOD的平分線，的平分線，OE是是BOD 的平分線的

10、平分線 (1)如果如果AOB130,那么那么COE是多少度是多少度 ？ (2)在在(1)的條件下的條件下,如果如果DOC20,那么那么 BOE是多少度？是多少度？ 例例4 知知2講講 導(dǎo)引：導(dǎo)引： (1)由已知可知由已知可知DOC AOD，DOE BOD.由于由于COEDOCDOE，因此，因此， COE AOD BOD AOB. (2)結(jié)合結(jié)合(1)的結(jié)論可求出的結(jié)論可求出DOE的度數(shù)，從而求出的度數(shù)，從而求出 BOE的度數(shù)的度數(shù) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 知知2講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 解解： (1)因?yàn)橐驗(yàn)镺C平分平分AOD，所以，所以DOC AOD. 因?yàn)橐驗(yàn)镺E平分平分

11、BOD，所以，所以DOE BOD. 所所 以以COEDOCDOE (AOD BOD) AOB 13065. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 知知2講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) (2)由由(1)可知可知COE65，因?yàn)?，因?yàn)镈OC20, 所以所以DOECOEDOC45.因?yàn)橐驗(yàn)镺E 平分平分BOD，所以，所以BOEDOE45. 總總 結(jié)結(jié) 知知2講講 1利用角平分線進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要靈活運(yùn)用角利用角平分線進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要靈活運(yùn)用角 平分平分線線 的幾種不同表達(dá)方式的幾種不同表達(dá)方式 2在計(jì)算角的大小時(shí)，常常要用到等量代換在計(jì)算角的大小時(shí)，常常要用到等量代換 ，用已知角代替與它相等的未知角，用已知

12、角代替與它相等的未知角 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知2練練 D 點(diǎn)點(diǎn)P在在MAN的內(nèi)部，現(xiàn)有的內(nèi)部，現(xiàn)有4個(gè)等式：個(gè)等式： PAMNAP；PAN MAN； MAP MAN；MAN2MAP ，其中能表示，其中能表示AP是是MAN的平分線的有的平分線的有( ) A1個(gè)個(gè)B2個(gè)個(gè)C3個(gè)個(gè)D4個(gè)個(gè) 3 1 2 1 2 (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知2練練 D 如圖，若有如圖，若有BADCAD，BCE ACE，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是() AAD是是BAC的平分線的平分線 BCE是是ACD的平分線的平分線 CBCE ACB DCE是是ABC的平分線的平分線 4

13、1 2 (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知2練練 C (中考中考大連大連)如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)O在直線在直線AB上上,射線射線OC平分平分 BOD,若若COB35,則則AOD等于等于() A35 B70 C110 D145 5 3 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)角的平分線角的平分線 知知3講講 角的和與差：在圖中，角的和與差：在圖中，AOC是是AOB與與BOC的的 和，記作和，記作AOCAOBBOC，AOB是是 AOC與與COB的差，記作的差，記作AOBAOC COB.類似地，類似地，AOCAOBCOB. (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 知知3講講 (來(lái)自教材來(lái)自教材) 例例5 如圖 如圖4-27,求解下列問(wèn)題：求解下列問(wèn)題： （

14、1）比較比較 AOC與與BOC, BOD與與COD 的大小的大小; （2）將將 AOC寫(xiě)成兩個(gè)角的和與兩個(gè)角的差寫(xiě)成兩個(gè)角的和與兩個(gè)角的差 的形式的形式. 圖圖4-27 知知3講講 (來(lái)自教材來(lái)自教材) （1）由圖由圖4 - 27可以看出：可以看出： AOCBOC（ OB在在AOC 內(nèi)）內(nèi)） BOD COD.(OC 在在BOD內(nèi)）內(nèi)） （2） AOC = AOB + BOC, AOC = AOD DOC. 解解： 知知3講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 如圖所示，已知如圖所示，已知AB為一條直線，為一條直線，O是是AB上一上一 點(diǎn)，點(diǎn)，OC平分平分AOD，OE在在BOD內(nèi)，內(nèi)， DOE BOD，CO

15、E75，求，求EOB 的度數(shù)的度數(shù) 例例6 1 3 知知3講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 導(dǎo)引：導(dǎo)引：本題中用到角的平分線及角的和、差、倍、本題中用到角的平分線及角的和、差、倍、 分關(guān)系，涉及的角較多，應(yīng)注意利用這些數(shù)量關(guān)系分關(guān)系，涉及的角較多，應(yīng)注意利用這些數(shù)量關(guān)系 將未知角用已知角表示出來(lái)將未知角用已知角表示出來(lái) 知知3講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 設(shè)設(shè)AOD的度數(shù)為的度數(shù)為x，則，則BOD(180 x). 因?yàn)橐驗(yàn)镺C平分平分AOD，DOE BOD， 所以所以COD AOD ， DOE BOD (180 x). 解：解： 1 3 1 2 ( ) 2 x 1 3 1 3 知知3講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)

16、撥點(diǎn)撥) 由于由于COECODDOE75， 因此因此 =75，解得，解得x90. 所以所以BOD180AOD18090 90，EOB BOD60. 180 23 xx 總總 結(jié)結(jié) 知知3講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) (1)幾何題中包含多個(gè)已知量，條件包含多個(gè)數(shù)幾何題中包含多個(gè)已知量，條件包含多個(gè)數(shù) 量關(guān)系，我們可選一個(gè)恰當(dāng)?shù)牧繛榱筷P(guān)系，我們可選一個(gè)恰當(dāng)?shù)牧繛閤，再用這，再用這 個(gè)個(gè)x來(lái)表示其他未知量；來(lái)表示其他未知量；(2)利用方程思想進(jìn)行利用方程思想進(jìn)行 計(jì)算，往往能達(dá)到意想不到的效果計(jì)算，往往能達(dá)到意想不到的效果 知知3講講 例例7 如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后

17、，點(diǎn)折疊后，點(diǎn)D ，C分別落在點(diǎn)分別落在點(diǎn)D，C的位置，若的位置，若DEF 75，則，則AED等于等于() A. 75 B. 65 C. 30 D. 25 C 知知3講講 導(dǎo)引：導(dǎo)引：由于由于AED180DEFDEF， DEF為已知角，而為已知角，而DEFDEF，易求得，易求得 AED的度數(shù)的度數(shù) (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 總總 結(jié)結(jié) 知知3講講 (來(lái)自來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥) 折疊問(wèn)題中的折痕平分被折邊與原邊的夾角折疊問(wèn)題中的折痕平分被折邊與原邊的夾角 (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知3練練 C (中考中考佛山佛山)若一個(gè)若一個(gè)60的角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)15， 則重疊部分的角的大小是則重疊部分的角的大小是() A15 B30 C45 D75 6 (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知3練練 D 如圖，如圖，AODAOC() AAOC BBOC CBOD DCOD 7 (來(lái)自來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)) 知知3練練 B (中考中考濱州濱州)借助一副三角尺，你能畫(huà)出下面哪借助一副三角尺，你能畫(huà)出下面哪 個(gè)度數(shù)的角個(gè)度數(shù)的角() A65 B75 C85 D95 8 1.余角、補(bǔ)角理解要點(diǎn)：余角、補(bǔ)角理解要點(diǎn)： (1)互余和互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，而不是多互余和互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，而不是多 角之間的關(guān)系角之間的關(guān)系 (2)互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角，只與它們的數(shù)量互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角