《固體物理-徐智謀》第六章 自由電子氣ppt課件

1、第第 一一 節(jié)節(jié) 自在電子氣的能量形狀自在電子氣的能量形狀 1 1 金屬中自在電子的運(yùn)動(dòng)方程和解金屬中自在電子的運(yùn)動(dòng)方程和解 2 2 波矢空間和能態(tài)密度波矢空間和能態(tài)密度 3 3 自在電子氣的費(fèi)米能量自在電子氣的費(fèi)米能量 本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容： 1 金屬中自在電子的運(yùn)動(dòng)方程和解 (1) (1)金屬中的價(jià)電子彼此之間無相互作用；金屬中的價(jià)電子彼此之間無相互作用； 1 自在電子氣的能量形狀 1.模型(索末菲) 自在電子氣自在電子氣( (自在電子費(fèi)米氣體自在電子費(fèi)米氣體) )：自在的、無相互作用：自在的、無相互作用 的的 、服從泡利原理的電子氣。、服從泡利原理的電子氣。 (2) (2)金屬內(nèi)部

2、勢場為恒定勢場金屬內(nèi)部勢場為恒定勢場( (價(jià)電子各自在勢能等于平價(jià)電子各自在勢能等于平 均勢能的勢場中運(yùn)動(dòng)均勢能的勢場中運(yùn)動(dòng)) )； (3)(3)價(jià)電子速度服從費(fèi)米價(jià)電子速度服從費(fèi)米狄拉克分布。狄拉克分布。 為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長為為計(jì)算方便設(shè)金屬是邊長為L L的立方體，又設(shè)勢阱的深度的立方體，又設(shè)勢阱的深度 是無限的。粒子勢能為是無限的。粒子勢能為 2.薛定諤方程及其解 LzyxzyxV ,0; 0),( LzyxzyxzyxV , 0,),(以及以及 每個(gè)電子都可以建立一個(gè)獨(dú)立的薛定諤方程：每個(gè)電子都可以建立一個(gè)獨(dú)立的薛定諤方程： )()( 2 2 2 rEr m E-電子的能量電子的能量

3、 -電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)(是電子位矢是電子位矢 的函數(shù)的函數(shù))r 常用邊境條件常用邊境條件 駐波邊境條件駐波邊境條件 周期性邊境條件 Lzyxzyx zLyxzyx zyLxzyx , , , m k E 2 22 rki k Aer )( )( 2 222 2 zyx kkk m 波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到外表時(shí)并不被反射波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到外表時(shí)并不被反射 回來，而是分開金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對外表的對回來，而是分開金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對外表的對 應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來。應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來。 k 波矢，波矢， k 2 為電子的德布羅意波長。為電子的德布羅

4、意波長。 電子的動(dòng)量：電子的動(dòng)量： kp 電子的速度：電子的速度：k mm p v 由正交歸一化條件：由正交歸一化條件： C V A 1 由周期性邊境條件：由周期性邊境條件： zyxLzyx zyxzLyx zyxzyLx , , , ; L n k ; L n k ; L n k z z y y x x 2 2 2 1)( 2 drr V k 1 1 1 Lik Lik Lik Z Y x e e e ( (其中其中 為整數(shù)為整數(shù)) )zyx nnn, 2 波矢空間和能態(tài)密度 1.波矢空間 以波矢以波矢 的三個(gè)分量的三個(gè)分量 為坐標(biāo)軸的空間稱為波矢為坐標(biāo)軸的空間稱為波矢 空間或空間或 空間。

5、空間。 k zyx kkk、 k L n k, L n k, L n k z z y y x x 222 金屬中自在電子波矢：金屬中自在電子波矢： (1)(1)在波矢空間每個(gè)在波矢空間每個(gè)( (波矢波矢) )形狀代表點(diǎn)占有的體積為：形狀代表點(diǎn)占有的體積為： 3 2 L (2)(2)波矢空間形狀密度波矢空間形狀密度( (單位體積中的形狀代表點(diǎn)數(shù)單位體積中的形狀代表點(diǎn)數(shù)):): 3 2 L (3)(3)kkkd 體積元體積元 中的中的( (波矢波矢) )形狀數(shù)為形狀數(shù)為: :kd k L Zd 2 d 3 0 (4)(4) kkkd 體積元體積元 中的電子形狀數(shù)為中的電子形狀數(shù)為: :kdk L

6、Zd 2 2d 3 E Z E Z EN E d d )( lim 0 2.能態(tài)密度 (1)(1)定義定義: : (2)(2)計(jì)算計(jì)算: : 波矢密波矢密 度度 兩個(gè)等能面間兩個(gè)等能面間 的波矢形狀數(shù)的波矢形狀數(shù) 兩等能面間的兩等能面間的 電子形狀數(shù)電子形狀數(shù) 能態(tài)能態(tài) 密度密度 )d( 2 3 兩兩等等能能面面間間的的體體積積空空間間EEEk VC 兩等能面間的波矢形狀數(shù)：兩等能面間的波矢形狀數(shù)： EEEd 思索到每個(gè)波矢形狀代表點(diǎn)可包容自旋相反的兩個(gè)電子，思索到每個(gè)波矢形狀代表點(diǎn)可包容自旋相反的兩個(gè)電子， )d( 2 2d 3 兩兩等等能能面面間間的的體體積積空空間間EEEk V Z C

7、ks VC dd 2 2 3 E E sV Ek C d d 2 2 3 ky kx sd kd EEd E kEE K )d(d 能態(tài)密度能態(tài)密度: : E Z EN d d )( Ek C E sVd 2 2 3 k m k Edd 2 例例1 1：求金屬自在電子氣的能態(tài)密度：求金屬自在電子氣的能態(tài)密度 m k E 2 22 )( 2 222 2 zyx kkk m 金屬中自在電子的能量金屬中自在電子的能量 m k E k 2 法1. 23 4 )2( 2 kmVC m k kV EN C 2 2 3 4 )2( 2)( mEmVC24 )2( 2 23 21 3 23 )2( 4E h

8、m VC 21 CE E Z d d E m k E 2 22 2 2 2 mE k 法2.金屬中自在電子的能量金屬中自在電子的能量 mEmVC24 )2( 2 23 kk V Z C d4 2 2d 2 3 ky kx EEd E kk V Z C d4 2 2d 2 3 E mE mmEV Z C d 2 2 4 2 2d 2 23 E EmVC d )(2 2 4 3 2123 3 EE h m VCd 2 4 2 1 2 3 2 其中其中 23 2 2 4 h m VC c 21 cE E Z EN d d )( 在半徑為在半徑為k k的球體積內(nèi)電子的形狀數(shù)為：的球體積內(nèi)電子的形狀數(shù)為

9、： 3 3 3 4 )2( 2 k V Z c 23 22 2 3 mEV c 自在電子氣的能態(tài)密度：自在電子氣的能態(tài)密度： 法3. E Z EN d d )( 21 CE 21 23 2 2 4E h m VC 其中其中 23 2 2 4 h m VC c 在在k k空間自在電子的等能面是半徑空間自在電子的等能面是半徑mEk2 的球面，的球面， 3 自在電子氣的費(fèi)米能量 1e 1 )( BF ( Tk)EE Ef 在熱平衡時(shí)，能量為在熱平衡時(shí)，能量為E E的形狀被電子占據(jù)的概率是的形狀被電子占據(jù)的概率是 1.費(fèi)米能量 EF- EF-費(fèi)米能級費(fèi)米能級( (等于這個(gè)系統(tǒng)中電子的化學(xué)勢等于這個(gè)系統(tǒng)

10、中電子的化學(xué)勢) )，它的意，它的意 義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)添加一個(gè)電子所需的自在能。義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)添加一個(gè)電子所需的自在能。 它是溫度它是溫度T T和晶體自在電子總數(shù)和晶體自在電子總數(shù)N N的函數(shù)。的函數(shù)。 2. 2. 圖象圖象)()( F EEEf 0a B Tk. F F F 0 1 )( EE EE EE Ef陡變 1b B Tk. F F F 0 2 1 1 )( EE EE EE Ef 52c B .Tk. F F F 0 2 1 1 )( EE EE EE Ef 隨著隨著T T的添加，的添加，f(E)f(E)發(fā)生變化的能量范圍變寬，但在任何情況發(fā)生變化的能量范

11、圍變寬，但在任何情況 下，此能量范圍約在下，此能量范圍約在EFEF附近附近kBTkBT范圍內(nèi)。范圍內(nèi)。 1e 1 )( BF) ( TkEE Ef 3.費(fèi)米面 E=EF的等能面稱為費(fèi)米面。 (a) T=0k(a) T=0k 在絕對零度時(shí)，費(fèi)米面以內(nèi)在絕對零度時(shí)，費(fèi)米面以內(nèi) 的形狀都被電子占據(jù)，球外沒有的形狀都被電子占據(jù)，球外沒有 電子。電子。 費(fèi)米能級費(fèi)米能級 0 F E (b) (b) K0 T T0時(shí)，費(fèi)米球面的半徑時(shí)，費(fèi)米球面的半徑kF 比絕對零度時(shí)費(fèi)米面半徑小，比絕對零度時(shí)費(fèi)米面半徑小， 此時(shí)費(fèi)米面以內(nèi)能量離此時(shí)費(fèi)米面以內(nèi)能量離EF約約kBT 范圍的能級上的電子被激發(fā)到范圍的能級上的電

12、子被激發(fā)到 EF之上約之上約kBT范圍的能級。范圍的能級。 EF 4.求EF的表達(dá)式 EENEfN)d()( 分兩種情況討論：分兩種情況討論： EE+dE間的電子形狀數(shù)：間的電子形狀數(shù)： EENEf)d()( EEN)d( EE+dE間的電子數(shù)：間的電子數(shù)： 系統(tǒng)總的電子數(shù)：系統(tǒng)總的電子數(shù)： (1)(1)在在T=0KT=0K時(shí)，上式變成：時(shí)，上式變成： 0 )d( F E EENN 將自在電子密度將自在電子密度N(E)=CE1/2N(E)=CE1/2代入得：代入得： 23 021 0 3 2 d F E F ECECEN 其中其中 23 2 2 4 h m VC c 32 2 2 32 2 0

13、 3 28 3 2 n m n m h EF 令令n=N/Vn=N/V，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，那么有，代表系統(tǒng)的價(jià)電子濃度，那么有 自在電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量由下式計(jì)算自在電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量由下式計(jì)算 N NE E d 0 5 3 F E 0 0 23 d F E EE N C 金屬中普通金屬中普通 n1028m-3 n1028m-3，電子質(zhì)量，電子質(zhì)量m=9m=910-31kg10-31kg， E F 0 幾個(gè)電子伏。幾個(gè)電子伏。 由上式可以看出即使在絕對零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均由上式可以看出即使在絕對零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均 能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。能量，

14、這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。 ( (分步積分得來分步積分得來) )E E f ECE)E(Cfd 3 2 3 2 0 23 0 23 (2)(2) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)K0 T E E f ECd 3 2 0 23 =0 EEfCEN)d( 21 , 3 2 )( 23 CEEg 若令若令 那么上式化簡為那么上式化簡為 E) E f (EgNd 0 因此一方面，因此一方面， 另一方面，將另一方面，將g(E)g(E)在在EFEF附近展開為泰勒級數(shù)：附近展開為泰勒級數(shù)： E) E f (EgNd )( E f 函數(shù)的特點(diǎn)具有類似于函數(shù)的特點(diǎn)具有類似于函函 數(shù)的性質(zhì)，僅在數(shù)的性質(zhì)，僅在EFEF附近附近kBT

15、kBT的范圍內(nèi)才的范圍內(nèi)才 有顯著的值，且是有顯著的值，且是E EEFEF的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。 2 FFFFF )( 2 1 )()()(）（）（EEEgEEEgEgEg 只思索到二次方項(xiàng)，略去三次方以上的高次項(xiàng)，可得到只思索到二次方項(xiàng)，略去三次方以上的高次項(xiàng)，可得到 )()()( )d()()( 2 1 )d)()( )d()( F2F1F0 2 FF FF F EgIEgIEgI E E f EEEg E E f EEEg E E f EgN 的的特特點(diǎn)點(diǎn) E f 很顯然，很顯然，I0I0等于，由于等于，由于 為為(E-EF)(E-EF)的偶函數(shù)，因此的偶函數(shù)，因此I1=0I1=0。 )(

16、 E f E E f EEI)d()( 2 1 2 F2 令令(E-EF)/kBT=(E-EF)/kBT=，那么，那么 1e 1 f TkE f B 1 )1(e e 2 d )1(e e 2 )( 2 2 2 B 2 Tk I 為偶函數(shù)，因此由于 22 1(e e )1(e e ) d )1(e e )( 2 2 2 B2 TkI 因因此此計(jì)計(jì)算算得得， 2 B 2 )( 6 TkI )()()( F2F1F0 EgIEgIEgIN 得：得： 3 2 2 ( ) 3 g ECE將代入 )()()( F2F1F0 EgIEgIEgIN 得得: =1 2 B 2 )( 6 Tk =0 2 BF

17、2 F )( 6 )(TkEgEg 2 F B 2 23 F 8 1 3 2 E Tk CE 由于系統(tǒng)的電子數(shù)由于系統(tǒng)的電子數(shù) 因此有,ECN 230 F )( 3 2 2 F B 2 23 F 23 0 F 8 1 E Tk EE 32 2 F B 2 0 FF 8 1 E Tk EE 利用利用kBTEF，最后得，最后得 2 0 F B 2 0 FF 12 1 E Tk EE 當(dāng)溫度升高時(shí)，當(dāng)溫度升高時(shí)，EFEF比比 0 F E 小。小。 2 F B 2 23 F 23 0 F 8 1 E Tk EE 第二節(jié)第二節(jié) 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程 本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容： 1 1 玻爾茲曼方程

18、的微分積分方程玻爾茲曼方程的微分積分方程 2 2 弛豫時(shí)間近似弛豫時(shí)間近似 金屬中的電子，在外場作用下會(huì)產(chǎn)生附加運(yùn)動(dòng)。如在外加金屬中的電子，在外場作用下會(huì)產(chǎn)生附加運(yùn)動(dòng)。如在外加 電場中，產(chǎn)生電流；在外加溫度場中，產(chǎn)生熱流。這種由外場電場中，產(chǎn)生電流；在外加溫度場中，產(chǎn)生熱流。這種由外場 引起的電荷或能量從一個(gè)區(qū)域到另一個(gè)區(qū)域的遷移景象稱為輸引起的電荷或能量從一個(gè)區(qū)域到另一個(gè)區(qū)域的遷移景象稱為輸 運(yùn)景象。運(yùn)景象。 電流密度：電流密度： Ej 為金屬的電導(dǎo)率。為金屬的電導(dǎo)率。 kkkd 中的電子數(shù)：中的電子數(shù)： k V kf C d )2( 2 )( 3 取單位體積取單位體積VC=1VC=1 kd

19、中的電子對電流密度的奉獻(xiàn)為：中的電子對電流密度的奉獻(xiàn)為： kkfkevd )2( 2 )()( 3 kkfkevjd )2( 2 )()( 3 玻爾茲曼方程 )(kf 不同形狀電子的分布函數(shù)不同，不同形狀電子的分布函數(shù)不同， 是在外場下的非平衡分是在外場下的非平衡分 布函數(shù)。布函數(shù)。 如何確定非平衡形狀下電子的分布函數(shù)呢？如何確定非平衡形狀下電子的分布函數(shù)呢？ kkfkevjd )2( 2 )()( 3 玻爾茲曼方程是用來研討非平衡形狀下電子的分布函數(shù)的玻爾茲曼方程是用來研討非平衡形狀下電子的分布函數(shù)的 方程。方程。 由于玻爾茲曼方程比較復(fù)雜，我們只限于討論電子的等能由于玻爾茲曼方程比較復(fù)雜，

20、我們只限于討論電子的等能 面是球面，且在各向同性的彈性散射以及弱場的情況。面是球面，且在各向同性的彈性散射以及弱場的情況。 1 玻爾茲曼方程的微分積分方程 )( d d Bve t k F 電子分布函數(shù)電子分布函數(shù)f f是波矢是波矢 、空間坐標(biāo)、空間坐標(biāo) 和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)。的函數(shù)。kr 溫度梯度溫度梯度r變化變化 f變化變化 B ， k 變化變化f變化變化 在外電場在外電場 和磁場和磁場 中，電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是中，電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 B 以波矢以波矢 坐標(biāo)坐標(biāo) 為變量組成的空間稱為相空間。為變量組成的空間稱為相空間。 kr 在相空間中討論非平衡條件下電子的分布函數(shù)。在相空間中討論非平衡條件

21、下電子的分布函數(shù)。 1.相空間 ),(tkrf r 描畫描畫t t時(shí)辰電子在晶體內(nèi)時(shí)辰電子在晶體內(nèi) 處波矢為處波矢為 的概率的概率 。 k 電子分布函數(shù)的變化表示為電子分布函數(shù)的變化表示為 漂漂碰碰 t f t f t f 碰撞引起的分布函數(shù)的變化碰撞引起的分布函數(shù)的變化 2.分布函數(shù)的變化 漂移作用引起的分布漂移作用引起的分布 函數(shù)的變化函數(shù)的變化 漂漂碰碰 t f t f t f 漂移項(xiàng)漂移項(xiàng)= =外場作用力引起的電子波矢的漂移外場作用力引起的電子波矢的漂移 + +速度引起的電子位置的漂移速度引起的電子位置的漂移 fkfr k r 漂漂 t f 碰撞項(xiàng)：由于晶格原子的振動(dòng)或雜質(zhì)的存在等詳細(xì)

22、的緣由碰撞項(xiàng)：由于晶格原子的振動(dòng)或雜質(zhì)的存在等詳細(xì)的緣由 ，電子不斷發(fā)生從，電子不斷發(fā)生從 態(tài)的躍遷，電子態(tài)的這種變化常稱為態(tài)的躍遷，電子態(tài)的這種變化常稱為 散射。散射。 kk 只思索一樣自旋態(tài)之間的躍遷。只思索一樣自旋態(tài)之間的躍遷。 kkfnd 2 2 d 3 33 )2( d2 )2( d )()(1)( kk k,kt ,kft ,kf 處單位體積中處在處單位體積中處在 間的電子數(shù)間的電子數(shù)kkkd r (1)(1) k k 態(tài)的散射概率為態(tài)的散射概率為 )(k,k (2)(2) kf k 1 2 d2 3 k 態(tài)空形狀數(shù)為態(tài)空形狀數(shù)為(3)(3) 單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而進(jìn)入單位時(shí)間內(nèi)由于

23、碰撞而進(jìn)入 態(tài)的電子數(shù)為態(tài)的電子數(shù)為 k d(4)(4) ( (只思索自旋一樣的躍遷只思索自旋一樣的躍遷) ) 333 )2( d2 )2( d2 )2( d )()(1)( k a kk k,kt ,kft ,kf k 單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而分開單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而分開 態(tài)的電子數(shù)為態(tài)的電子數(shù)為 kd (4)(4) 333 )2( d2 )2( d2 )2( d )()(1)( k b kk k,kt ,kft ,kf k 單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而進(jìn)入單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而進(jìn)入 態(tài)的電子數(shù)為態(tài)的電子數(shù)為 kd (5)(5) k k k,kt ,kft ,kfa 3 )2( d )()(1)( k k

24、 k,kt ,kft ,kfb 3 )2( d )()(1)( 假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定形狀，那么假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定形狀，那么 ，即，即0 t f 0 漂漂碰碰 t f t f abfkfr k r fkfr k r 漂漂 t f ab t f 碰碰 它是一個(gè)微分它是一個(gè)微分-積分方程。由于難于求出此方程的解，因積分方程。由于難于求出此方程的解，因 此常采用近似方法。最常用的方法為弛豫時(shí)間近似方法。此常采用近似方法。最常用的方法為弛豫時(shí)間近似方法。 33 2 d2 2 d2k ab k t f t n CC ab t f C 2 弛豫時(shí)間近似 )( 0 k ff t f t f 碰碰 式中式中 是平衡時(shí)

25、的費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)，是平衡時(shí)的費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)，是一個(gè)參量是一個(gè)參量 ，稱為弛豫時(shí)間，是，稱為弛豫時(shí)間，是k k的函數(shù)。的函數(shù)。 0 f 00 )( fff 電子的分布函數(shù)偏離了平衡分布，系統(tǒng)依賴碰撞恢復(fù)平衡電子的分布函數(shù)偏離了平衡分布，系統(tǒng)依賴碰撞恢復(fù)平衡 分布分布 0 )( f 表示分布函數(shù)對平衡的偏離表示分布函數(shù)對平衡的偏離 1.1.無外場，無溫度梯度無外場，無溫度梯度 0 漂漂 t f 總之有了外場和溫度梯度，系統(tǒng)的分布才會(huì)偏離平衡，無總之有了外場和溫度梯度，系統(tǒng)的分布才會(huì)偏離平衡，無 休止的漂移；有了碰撞，就會(huì)使漂移遭到遏制，被限制在一定休止的漂移；有了碰撞，就會(huì)使漂移遭到遏制，

26、被限制在一定 程度而到達(dá)穩(wěn)定分布。程度而到達(dá)穩(wěn)定分布。 2.外場和溫度梯度存在 T T f f rr )(Bv e k 0 ff abfkfr k r )( )()( 1 0 k ff fBv e T f TE kk 玻爾茲曼方程為：玻爾茲曼方程為： Er k 1 第第 三三 節(jié)節(jié) 弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)實(shí)際弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)實(shí)際 本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容： 1 1 (k)(k)表達(dá)式表達(dá)式 2 2 (k)(k)的物理意義的物理意義 弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)實(shí)際 以晶格各向同性以及彈性的電子散射為例闡明：以晶格各向同性以及彈性的電子散射為例闡明： (1)(1)終究在什么情況下可以用終究在什么情況下可以用 (k)(

27、k)來描畫碰撞項(xiàng)？來描畫碰撞項(xiàng)？ (2)(2) (k)(k)由什么決議？由什么決議？ 對于各向同性的彈性散射，能量對于各向同性的彈性散射，能量 與與 的方向無關(guān)，只的方向無關(guān)，只 是是 k k的函數(shù)，的函數(shù)，k k空間的等能面是一些圍繞原點(diǎn)的同心球面?？臻g的等能面是一些圍繞原點(diǎn)的同心球面。 )(kE k 0)( )()( k ,k,kEkE 則則如果如果 即：即： 彈性散射，彈性散射，k k形狀的電子只能躍遷到一樣能量形狀的電子只能躍遷到一樣能量k k 態(tài)，態(tài)， 3 )2( d ),(),(1),( k kktkftkf k ab t f 碰碰 3 )2( d )()(1)( k k k,kt

28、 ,kft ,kf 1 (k)表達(dá)式 )(1)(),()(1)(),( 0000 kfkfkkkfkfkk 所以對于彈性散射的情況，即所以對于彈性散射的情況，即E=E ，有，有)()( k ,kk ,k 1. 1.當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)f=f0f=f0，電子由，電子由k k態(tài)向態(tài)向k k 態(tài)的躍遷與由態(tài)的躍遷與由 k態(tài)向態(tài)向k態(tài)的躍遷到達(dá)細(xì)致的平衡。態(tài)的躍遷到達(dá)細(xì)致的平衡。 2. 2.當(dāng)有外場存在和溫度梯度時(shí)，普通來說，當(dāng)有外場存在和溫度梯度時(shí)，普通來說，f f偏離平衡態(tài)偏離平衡態(tài) 不太大，這時(shí)不太大，這時(shí) , 0 ff kkfkfk,k t f d)()()( )2( 3 碰碰

29、 ab t f 碰碰 3 )2( d )()(1)( k k k,kt ,kft ,kf 3 )2( d )()(1)( k k k,kt ,kf,tkf )()()( 0 0 k E f Efkf )()()( 0 0 k E f Efkf 對于各向同性彈性散射，取對于各向同性彈性散射，取 k k k k,kk E f t f d )( )( 1)()( )2( 1 0 3 碰碰 又又 )( 0 0 k E f ff t f 碰碰 所以所以 k k k k,k d )( )( 1)( )2( 11 3 對于等能面是球面的彈性散射，對于等能面是球面的彈性散射， 只依賴于只依賴于 的模以及的模以

30、及 之間的夾角之間的夾角，即，即 )(k,k kk 或或 kk 與與 )()()()( E,E,E,k,kk,k 假設(shè)金屬處于恒定溫度下，只施加外電場假設(shè)金屬處于恒定溫度下，只施加外電場，玻爾茲曼方程，玻爾茲曼方程 )( )()( 1 0 k ff fBv e T f TE kk 化為：化為： k E f mE f vE E f ff k kk 0 * 2 00 0 f e ff k 0 E f m ke f 0 0 )()()( 0 0 k E f Efkf )()()( 0 0 k E f Efkf 又又 將上面式子比較得將上面式子比較得 k m e k )( k m e k )( k k

31、 k k,k d )( )( 1)( )2( 11 3 軸方向，則軸方向，則沿沿如果如果x x x k k k k,k d1)( )2( 11 3 此時(shí)沿電場方向，電子散射前后的動(dòng)量比是此時(shí)沿電場方向，電子散射前后的動(dòng)量比是 ： cos x x k k 一個(gè)波矢為一個(gè)波矢為k=kxk=kx的電子，經(jīng)過彈性散射到達(dá)的電子，經(jīng)過彈性散射到達(dá) 的形的形 狀，如下圖狀，如下圖 x kk x kk x kk x k kk,k dcos1)( )2( 11 3 只需外電場的情況下，弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式：只需外電場的情況下，弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式： 假設(shè)在上式中忽略掉假設(shè)在上式中忽略掉(1-cos(1-cos

32、) )因子，積分將表示在因子，積分將表示在 形形 狀的電子被散射的總的概率，因此，上式闡明弛豫時(shí)間就是電狀的電子被散射的總的概率，因此，上式闡明弛豫時(shí)間就是電 子的自在碰撞時(shí)間。子的自在碰撞時(shí)間。 k 式中式中(1-cos (1-cos ) )因子的作用可作如下分析：因子的作用可作如下分析： 2 (k)的物理意義 假設(shè)散射是小角度的，即假設(shè)散射是小角度的，即kk與與k k接近，接近，角很小，角很小，(1-(1- coscos) )值也很小，因此在積分中的奉獻(xiàn)很??；相反假設(shè)散射角很值也很小，因此在積分中的奉獻(xiàn)很??；相反假設(shè)散射角很 大，如大，如，即，即k k在散射中幾乎是反向的，這時(shí)的在散射中幾

33、乎是反向的，這時(shí)的(1-cos(1-cos) )值值 最大，因此這樣的散射在積分中的奉獻(xiàn)也很大。最大，因此這樣的散射在積分中的奉獻(xiàn)也很大。 kk,k dcos1)( )2( 11 3 太赫茲調(diào)制效應(yīng)太赫茲調(diào)制效應(yīng) 基于石墨烯基于石墨烯 太赫茲波的太赫茲波的 石墨烯透射率石墨烯透射率 石墨烯中石墨烯中 電導(dǎo)率電導(dǎo)率 石墨烯石墨烯 電子遷移率電子遷移率 散射機(jī)制散射機(jī)制 分布函數(shù)分布函數(shù) Boltzmann 方程描畫 實(shí)例：實(shí)際與計(jì)算根底實(shí)例：實(shí)際與計(jì)算根底 22 (/3W) jFj Evk (0)(0)TOT jjjjjj ffgfb , 1 ( ) ( )( )( ) N j jj jj j

34、dg t b tat gt dt 構(gòu)造模型構(gòu)造模型 分布函數(shù)分布函數(shù)散射機(jī)制散射機(jī)制 實(shí)際與計(jì)算根底實(shí)際與計(jì)算根底 (0)(0)TOT jjjjjj ffgfb (/) jj j Ie kf v 10 / eD I enF (0) 0 (/) jjjj bevfEF (/) jFFjj vvv kE 22 (/3W) jFj Evk (0)1 1 exp()/ jjcB fEk T j f j g 散射機(jī)制散射機(jī)制 分布函數(shù)分布函數(shù) 非彈性散射：聲子散射 彈 性 散 射 ：雜質(zhì)散射 線邊緣粗糙度散射 聲學(xué)聲子散射 光學(xué)聲子散射 雜質(zhì)散射 線邊緣粗糙度散射 載流子遷移率和電場之間的關(guān)系圖 010

35、00020000300004000050000 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 遷 移率ue(cm 2V/s) 電場(V/cm) 3K 10K W=4nm 0=20nm nlD=1*10 5cm-1 0=1*10 13s-1 246810121416 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 Vd(m/s) T(K) 10kV/cm 5kV/cm nlD=1*10 5cm-1 r0=1*10 13s-1 載流子遷移率和環(huán)境溫度之間的關(guān)系圖 -1.

36、00E+008-5.00E+0070.00E+0005.00E+0071.00E+008 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 gk(5kV/cm 3K) gk(10kV/cm 3K) fk(5kV/cm 3K) fk(10kV/cm 3K) k/kF gk 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 fk -1.00E+008-5.00E+0070.00E+0005.00E+0071.00E+008 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 gk(5kV/cm 3K) gk(5kV/cm 1

37、0K) fk(5kV/cm 3K) fk(5kV/cm 10K) k/kF gk 0.0 0.2 0.4 0.6 fk 不同外加電場下，K空間中分布函 數(shù)和非平衡分布函數(shù)圖 不同環(huán)境溫度下，K空間中分布函 數(shù)和非平衡分布函數(shù)圖 01000020000300004000050000 50 100 150 200 250 300 350 遷 移率(cm 2V/s) 電場(V/cm) nlD=1.0*10 5cm-1 nlD=0.8*10 5cm-1 s nm E=5kV/cm 246810121416 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 V

38、d(cm 2V/s) 溫度T(K) nlD=1.0*10 5cm-1 nlD=0.8*10 5cm-1 E=5kV/cm 0=1*10 13s-1 W=4nm 0=20nm -1.00E+008-5.00E+0070.00E+0005.00E+0071.00E+008 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 nlD=1*10 5cm-1 nlD=0.8*10 5cm-1 nlD=1*10 5cm-1 nlD=0.8*10 5cm-1 k/kF gk 0=1*10 13s-1 0=20nm W=4nm T=3K 0.0

39、0.2 0.4 0.6 fk 電子濃度對遷移率的影響電子濃度對遷移率的影響 01000020000300004000050000 100 200 300 400 遷 移率(cm 2V/s) 電場(V/cm) 0=1*10 13s-1 0=1*10 14s-1 T=3K W=4nm nlD=1e 5cm-1 0=20nm 246810121416 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0=1*10 13s-1 0=1*10 14s-1 vd(cm/s) T(K) nlD=1*10 5cm-1 F0=5kV/cm -1.00E+008-5.00E+00

40、70.00E+0005.00E+0071.00E+008 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0=1*10 13s-1 0=1*10 14s-1 0=1*10 13s-1 0=1*10 14s-1 k/kF gk 0.0 0.2 0.4 0.6 fk 雜質(zhì)散射對遷移率的影響雜質(zhì)散射對遷移率的影響 01000020000300004000050000 100 200 300 400 遷 移率(cm 2V/s) 電場(V/cm) 0=20nm 0=5nm W=4nm T=3K nlD=1*10 5cm-1 0=1*10

41、 13s-1 246810121416 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 vd(m/s) T(K) 0=20nm 0=5nm E=5kV/cm 0=20nm nlD=1*10 5cm-1 0=1*10 13s-1 -1.00E+008-5.00E+0070.00E+0005.00E+0071.00E+008 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 k/kF gk 0.0 0.2 0.4 0.6T=3K s nlD=1*10 5cm-1 E=5kV/cm =20nm =5

42、nm =20nm =5nm fk 線邊緣粗糙度散射對遷移率的影響線邊緣粗糙度散射對遷移率的影響 第二節(jié)第二節(jié) 電子氣熱容量電子氣熱容量 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: : 1 1 電子氣的摩爾熱容量電子氣的摩爾熱容量 2 2 電子氣摩爾熱容量的討論電子氣摩爾熱容量的討論 EE+dE間的電子數(shù)：間的電子數(shù)：EENEf)d()( EE+dE間電子的能量間電子的能量:EENEEf)d()( 電子的總能量：電子的總能量： 0 )d()(EENEEf 每個(gè)電子的平均能量：每個(gè)電子的平均能量： 1.每個(gè)電子的平均能量 0 23 0 d)( 1 )d()( EEECf NN EENEEf E 2 電子氣熱容量

43、1 電子氣的摩爾熱容量 E E f E N C EEf N C )d( 5 2 )( 5 2 0 25 0 25 =0=0 0 23 0 d)( 1 )d()( EEECf NN EENEEf E )( 6 )( )()d( )( F 2 B F Eg Tk EgE E f EgI 212325 2 3 )(,)(, 5 2 )(E N C EgE N C EgE N C Eg 21 F 2 B 25 F 2 3 6 )( 5 2 E N CTk E N C E 21 F 2 B 25 F 2 3 6 )( 5 2 E N CTk E N C E 2 0 F B 2 0 F B 2 250 F 8 5 1 24 5 1)( 5 2 E Tk E Tk E N C 2 0 F B 2 250 F 12 5 1)( 5 2 E Tk