線性二次型最優(yōu)控制PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 線性二次型最優(yōu)控制線性二次型最優(yōu)控制 n而且?guī)?lái)閉環(huán)控制系統(tǒng)工程實(shí)現(xiàn)時(shí) 困難性,難以得到統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔的最優(yōu) 控制規(guī)律的表達(dá)式。 第1頁(yè)/共54頁(yè) 人員都具有很大吸引力。 n近40年來(lái),人們對(duì)各種最優(yōu)狀態(tài)反饋 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)以及設(shè)計(jì)方 法進(jìn)行了多方面的研究,并且有許多 成功的應(yīng)用。 第2頁(yè)/共54頁(yè) 第3頁(yè)/共54頁(yè) n假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足0m r n,且u(t) 不受約束。 n用z(t)表示預(yù)期的輸出,它為m維向量, 則定義輸出誤差向量如下 e(t)=z(t)-y(t) 00 ( )( ) ( )( ) ( ),( ) ( )( ) ( ) tA ttB ttt tC tt xxu

2、xx yx 第4頁(yè)/共54頁(yè) ; 0 nR(t)為rr維時(shí)變的分段連續(xù)的正定矩 陣,且其逆矩陣存在并有界; 0 n末態(tài)時(shí)刻tf是固定的。 固定 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第5頁(yè)/共54頁(yè) n若矩陣F的第i行第i列元素值較大,代表 二次項(xiàng)的重要性較大,對(duì)其精度要求較 高。 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第6頁(yè)/共54頁(yè) 0 11 ()()()( ) ( ) ( )

3、( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第7頁(yè)/共54頁(yè) 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第8頁(yè)/共54頁(yè) 與在t0,tf區(qū)間內(nèi)u(t)所做的功或所消耗的能 量成正比。 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第9頁(yè)/共54頁(yè) 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff

4、t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第10頁(yè)/共54頁(yè) 該問(wèn)題轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使 輸出值y(t)保持在零值附近,稱為輸 出調(diào)節(jié)器問(wèn)題。 f t t ff tttRtttQttFtJ 0 d)()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxxu f t t ff tttRtttQttFtJ 0 d)()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuyyyyu 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第11頁(yè)/共54頁(yè) n 0 11 (

5、)()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第12頁(yè)/共54頁(yè) 第13頁(yè)/共54頁(yè) nR(t)為正定矩陣; n末態(tài)時(shí)刻tf是固定的。 000 ( )( ) ( )( ) ( ),( ), , f tA ttB ttttt txxuxx dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx C(t)=I,z(t)=0,則則y(t)=x(t)=-e(t) 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t

6、 ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第14頁(yè)/共54頁(yè) nt n最優(yōu)控制的存在性與唯一性最優(yōu)控制的存在性與唯一性 dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx 第15頁(yè)/共54頁(yè) ,P(t) 正定或半正定解。 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux ,)(),()()()()( 000 * f ttttttBttAtxxux x * 000 1 ( )(0),0 2 JJtP uxxx dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0

7、 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , ( ), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第16頁(yè)/共54頁(yè) *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 0 11 ()() d 22 f t ff t JtFtQRABt xxxxuuxu x 第17頁(yè)/共54頁(yè) 1 ( , , ) 2 HQRAB x u xxuuxu 0 11 ()() d(7167) 22 f t

8、ff t JtFtQRABt xxxxuuxu x 0 0 0 1 ()()( , , )d 2 1 ()()( ) ( )|( , , )d 2 f f f t ff t t t fft t JtFtHt tFtttHt xxx u x xxxx u x 0 0 ( )( ) 1 ( )( )( ) 2( ) ( )( )( ) f f t ff fff t f t fff t tFt HH Jx tttdt t HH tFttxdt xx xxu xxu xxu xu 第18頁(yè)/共54頁(yè) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 ( )( )

9、 2( ) ff ff f H tA ttB tt H tQ ttA tt tFt tFt t xxu x x xx x x 0 ()()() f t fff t HH JtFttxdt xxu xu ( ) ( )( ) ( )0 H R ttB tt u u 第19頁(yè)/共54頁(yè) *1 ( )( )( ) ( )tRt B tt u ( ) ( )( ) ( )0(7173) H R ttB tt u u * ( )( )( )tP ttx 第20頁(yè)/共54頁(yè) 1 * * * ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (

10、 )( )( ) ( )( ) tP ttP tt P ttP t A ttP t B tt P tP t A tP t B t Rt B t P tt xx xxu x * ( )( ) ( )( ) ( )(7171) ( )( )( )(7175) tQ ttA tt tP tt x x * ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )tQ ttA t P ttQ tA t P tt xxx 第21頁(yè)/共54頁(yè) *1* ( )( )( ) ( )( )tRt B t P tt ux 0 0 000 111d ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 222d 1

11、 d 2 f f t fff t t t tP ttt P ttPt t PPPt xxxxxx xxxxxx 第22頁(yè)/共54頁(yè) 0 0 000 1 11 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 d 2 1 d 2 f f fff t t t t tP ttt P tt A PPPAB PPBt QPB R BPB PPBt xxxx xxuxxu xxuxxu 0 000 11 11 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 d 2 f fff t t tP ttt P tt QRR B PRR B Pt xxxx xxuuxxxx 0 1 000 ( )(

12、) ( )( ) ( )(7160) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )(7166) 111 () () ()( ) ( ) ( )d 222 f t fff t tA ttB tt P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ t tP ttt P ttPPPt xxu xxxxxxxxxx 第23頁(yè)/共54頁(yè) 0 0 11 000 11 ( )( )( ) 22 11 ( ) ( ) ( )d 22 f f t ff t t t JttFtQR dt t P ttR B PRR B Pt uxxxxuu xxuxux *

13、000 1 ( )( ) ( ) ( ) 2 J u tt P ttxx 第24頁(yè)/共54頁(yè) 圖圖7-6 線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器 n上述結(jié)論是線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)論, 當(dāng)系統(tǒng)是線性定常的時(shí)候,上述 結(jié)論仍然成立,而且計(jì)算還要簡(jiǎn) 單。 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 第25頁(yè)/共54頁(yè) , 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , ( ), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第26頁(yè)/共54頁(yè) 論,則對(duì)任意tt

14、0,tf,有P(t)=P(t),即P(t)是 對(duì)稱的。 1 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ff P tP tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ t P tP tF 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , (), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第27頁(yè)/共54頁(yè) 第28頁(yè)/共54頁(yè) 第29頁(yè)/共54頁(yè) , 是同一最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題的 最優(yōu)控制函數(shù)解。 * 1( ) t u和 *

15、2( ) t u 第30頁(yè)/共54頁(yè) )()( * 2 * 1 ttuu和 *1*1* 1122 ( )( )( ) ( )( ),( )( )( ) ( )( )tRt B t P tttRt B t P tt uxux )()( * 2 * 1 ttxx和)()( * 2 * 1 ttuu和 00 * 2 * 2 1* 2 00 * 1 * 1 1* 1 )()()()()()()()( )()()()()()()()( xxxx xxxx tttPtBtRtBtAt tttPtBtRtBtAt )()( * 2 * 1 ttxx和 第31頁(yè)/共54頁(yè) , 一地具有狀態(tài)線性反饋律的形式。

16、n下面通過(guò)分析一個(gè)一階系統(tǒng)的最 優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)該 調(diào)節(jié)器的基本特性。 * 120 ( )( ) , f tttt t xx * 120 ( )( ) , f tttt t uu 第32頁(yè)/共54頁(yè) 式中,p(t)是如下黎卡提微分方程及邊 界條件的解 0 00 222 ( )( )( ),( ) 11 ( )( )( )d 22 f t f t x tax tu tx tx Jfx tqx tru tt 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 2 1 ( )2( )( ),() f p tap tp tqp tf r u*=-R-1BPx 1 0 ( )( )( )( )

17、( )( )( )( )( )( )( ), (), f f P tP t A tAt P tP t B t Rt Bt P tQ tttt P tF 第33頁(yè)/共54頁(yè) () ( ) 2 d ( ) d 1 2( )( ) ff p tt p tt p s s ap spsq r 2() 2() / (- ) /- ( ) / 1 /- f f t t t t fra aae fra p tr fra e fra 2 1 ( )2( )( ),() f p tap tp tqp tf r 2 a r q 第34頁(yè)/共54頁(yè) ( ) ( )( ) p t x tax t r 0 0 ( ) (

18、 )expd t p s x txas r 第35頁(yè)/共54頁(yè) 0 0 ( ) ( )expd t p s x txas r p2(t)/r p(t) - x =ax+bu 1/r x(t) u(t) p(0) 2a 2ap(t) p (t) + - q - + 圖圖7-7 狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖 這是最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器在tf的一 個(gè)重要性質(zhì)。 圖7-7是例7-11的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器 的結(jié)構(gòu)圖。 圖中信號(hào)p(t)是對(duì)黎卡提微 分方程進(jìn)行電子電路模擬的 結(jié)果,其初始信號(hào)p(0)是對(duì)黎 卡提微分方程的解在t=0時(shí) 的值。 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 0 0 ( )

19、 ( )expd t p s x txas r 2() 2() / (- ) /- ( ) / 1 /- f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 2 a r q 第36頁(yè)/共54頁(yè) 要,狀態(tài)x(t)將迅速被控制 到零值; nr很大意即控制u的價(jià)值較 重要,狀態(tài)x(t)將由于控制 量投入得小,則衰減得很 慢。 圖圖7-8 不同不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 0 0 ( ) ( )expd t p s x txas r 2 () 2 () / (- ) /- ( ) / 1 /-

20、 f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 0 00 222 ( )( )( ),( ) 11 ( )( )( )d 22 f t f t x tax tu tx tx Jfx tqx tru tt 2 a r q 第37頁(yè)/共54頁(yè) 圖圖7-8 不同不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 第38頁(yè)/共54頁(yè) 圖圖7-8 不同不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 第39頁(yè)/共54頁(yè) , 且該穩(wěn)態(tài)值與末端 條件無(wú)關(guān)。 圖圖7-9 不同末端時(shí)刻不同末端時(shí)刻p(t)曲線曲線 這一事實(shí)可用如下數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)說(shuō)明。

21、22 )()(raqrarartpLim f t 2 () 2 () / (- ) /- ( ) / 1 /- f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 2 a r q 第40頁(yè)/共54頁(yè) 22 ( ) f t Lim p tarqra r 第41頁(yè)/共54頁(yè) 節(jié)器問(wèn)題的條件就是得到定常最優(yōu)狀 態(tài)反饋律的條件。 n以定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng), 既大大減少了控制系統(tǒng)實(shí)施的困難性, 簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),又便于維護(hù)使用,無(wú) 論在理論上和工程上都具有較大價(jià)值。 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , (), f f P

22、 tP t A tA t P tP t B t Rt Bt P tQ ttt t P tF dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 第42頁(yè)/共54頁(yè) , 和證明最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條 件以及定常的最優(yōu)狀態(tài)反饋解。 n線性定常系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)間時(shí)最優(yōu) 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題的描述如下。 22 ( ) f t Lim p tarqra r 第43頁(yè)/共54頁(yè) 式中,Q為非負(fù)定常數(shù)矩陣; R為正定常 數(shù)矩陣。 00 ( )( )( ),( )tAtBttxxuxx 0 d)()()()( 2 1 )(ttRttQtJuuxxu dtttRtttQttFttuJ