2020屆全國大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(解析版)(總16頁)

1、2020屆全國大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)集合交集的定義，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2在等差數(shù)列中，則數(shù)列的公差為（ ）ABC1D2【答案】A【解析】由題，得，解方程組即可得到本題答案.【詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，由，得，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求公差d，屬基礎(chǔ)題.3設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD【答案】B【解析】由函數(shù)的單調(diào)性及與中間值“1”的大小關(guān)系，即可得到本題答案.【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，得，又因?yàn)?，所?故選：

2、B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)比較大小的問題，利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值“1”是解決此題的關(guān)鍵.4若，則一定有（ ）ABCD【答案】D【解析】利用不等式的基本性質(zhì)及特殊值，即可得到本題答案.【詳解】由，得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，有，故B，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則有，故D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用不等式的基本性質(zhì)及特殊值判斷大小關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則等于（ ）ABCD【答案】A【解析】由，可得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后套用等比數(shù)列的求和公式，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由題知，解得，所以

3、數(shù)列是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以. 故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6若，則的最小值為（ ）A6BCD【答案】C【解析】由，得，且，又由，展開之后利用基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?，即，所以，等式兩邊同時(shí)除以得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及對數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，即，此數(shù)列在物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列

4、被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（ ）A1347B1348C1349D1346【答案】A【解析】由題，得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前三項(xiàng)和為，又，由此即可得到本題答案.【詳解】由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得數(shù)列為1，1，0，1，1，0，1，1，0，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前三項(xiàng)和為，又因?yàn)?，所以?shù)列的前2020項(xiàng)的和為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的周期性求和，考查學(xué)生的推理分析能力.8若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解

5、析】必要性顯然成立；由，得，同理可得，綜合，得，充分性得證，即可得到本題答案.【詳解】必要性顯然成立；下面來證明充分性，若，所以當(dāng)時(shí)，所以，化簡得，所以當(dāng)時(shí)，得，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，充分性得證，所以“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷與證明的問題，考查推理能力，屬于中等題.9在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交所在的直線于點(diǎn)，則向量在向量方向上的投影為（ ）A2BC1D3【答案】A【解析】由， ，得，然后套用公式向量在向量方向上的投影，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以向量在向量方向上的投影?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查

6、向量的綜合應(yīng)用問題，其中涉及平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化求解能力.10已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則取最大值時(shí)，的值為（ ）A14B12C15D13【答案】D【解析】對遞推關(guān)系式再遞推一步，得到一個(gè)新的遞推關(guān)系式，兩個(gè)遞推關(guān)系式再相減，得到，結(jié)合已知，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以，所以，且，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，所以取最大值時(shí)，的值為13.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的最值.考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11已知函數(shù)圖象與直線相交，若在軸右側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】化簡

7、得，由已知函數(shù)的圖象與直線相交，得，解得，由此即可得到本題答案.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與直線相交，所以，解得，由此可知.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析能力及運(yùn)算能力.12數(shù)列滿足，且對任意的，有，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式運(yùn)用累和的方法，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了累和法的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題13不等式的解集為_.【答案】或【解析】不等式的等價(jià)條件為，解不等式組的解，即可得到本題答案.【詳解】不等式的等價(jià)條件為，解得或，所以不等式的解集為或

8、.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的求法，轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式是解決此題的關(guān)鍵.14若滿足約束條件，則的最大值為_.【答案】3【解析】在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出約束條件表示的可行域，根據(jù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域，如圖所示，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率，由圖知，的最小值為直線的斜率，易求點(diǎn)，所以的最小值為，故的最大值為3.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查了直線斜率模型的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15已知數(shù)列滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】由，得，所以，通過解不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，整理得，

9、等式兩邊同時(shí)除以得，所以為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為-5，公差為1，所以，所以，所以，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與不等式恒成立問題的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.16已知定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則不等式的解集為_.【答案】【解析】根據(jù)所求不等式的形式，結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合判斷該函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用的單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，所以當(dāng)，時(shí)，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單遞減，因?yàn)椋獾?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用構(gòu)造新函數(shù)法，利用新函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

10、解不等式問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題17已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）當(dāng)時(shí)，求集合；（2）當(dāng)且時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）利用穿根法，即可得到的解集；（2）由，得，又由，得，解不等式組即可得到本題答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以或；（2）因?yàn)?，所以，得或，又因?yàn)椋圆怀闪?，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查高次不等式的求法，以及根據(jù)元素與集合的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍.18已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由，得，即，又由，即可得到

11、本題答案；（2）由（1）得，即可得到本題答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，由，得，-得，所以，因?yàn)?，所以，所以，故?shù)列為常數(shù)列；（2）由（1）知，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查的應(yīng)用及用裂項(xiàng)相消法求和，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19在中，角所對的邊分別為，且.（1）判斷的形狀；（2）若，的周長為16，求外接圓的面積.【答案】（1）等腰三角形；（2）【解析】（1）結(jié)合誘導(dǎo)公式及和差公式化簡，即可得到本題答案；（2）由，得，結(jié)合的周長為16，可求得，又由，求得，然后根據(jù)，即可得到本題答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，即，又因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形；（2）由（1）知，解得，

12、又因?yàn)椋獾?，因?yàn)椋?，設(shè)外接圓的半徑為，所以，解得，故外接圓的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式及和差公式恒等變形判斷三角形的形狀，以及利用余弦定理解三角形.20某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用三種原料，一件甲產(chǎn)品需要原料，原料，原料，一件乙產(chǎn)品需要原料，原料，原料，出售一件甲產(chǎn)品可獲利7萬元，出售一件乙產(chǎn)品可獲利6萬元，現(xiàn)有原料，原料，原料，請問該如何安排生產(chǎn)可使得利潤最大？【答案】生產(chǎn)3件甲產(chǎn)品，4件乙產(chǎn)品【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品件，可獲得的利潤為萬元，根據(jù)題意列出可行解域，然后運(yùn)用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品件，可獲得的利潤為萬元，由題

13、知，且滿足以下條件，即做出可行域如圖所示，作直線，平移直線至，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可使達(dá)到最大值，由，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，所以生產(chǎn)3件甲產(chǎn)品，4件乙產(chǎn)品，可獲得最大利潤，且最大利潤為45萬元.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出約束條件是解題的關(guān)鍵，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；存在，【解析】（1）由題，得，即可得到本題答案；（2）由，得，所以，恒等變形得，由此即可得到本題答案；由錯(cuò)位相減求和公式，得的前

14、n項(xiàng)和，然后通過求的解，即可得到本題答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是以2為公比和首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)橐矟M足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)椋詳?shù)列是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以，故；設(shè)，則，所以，兩式相減得，所以，即：，即.令，則，即，所以，數(shù)列單調(diào)遞減，因此，存在唯一正整數(shù)，使得成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查通過構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相減法求和，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中等題.22已知函數(shù)（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）求出的單調(diào)區(qū)間，得到，求出a的值即可.詳解：（1）若在上是減函數(shù)，則在恒成立，設(shè)，則，遞增，又，故.（2）由，要使，故的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，即，.點(diǎn)睛：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)