【精品】導數(shù)問題中虛設零點的三大策略

1、導數(shù)問題中虛設零點的三大策略導數(shù)在高中數(shù)學中可謂 “神通廣闊 ，是解決函數(shù)單調性、極值、最值、不等式證明等問題 的“利器 因.而近幾年來與導數(shù)有關的數(shù)學問題往往成為高考函數(shù)壓軸題.在面對這些壓軸題時，我們經常會碰到導函數(shù)具有零點但求解相比照擬繁雜甚至無法求解的問題.此時，我們不必正面強求， 可以采用將這個零點只設出來而不必求出來， 然后謀求一種整體的轉 換和過渡，再結合其他條件，從而最終獲得問題的解決 .我們稱這種解題方法為 “虛設零點 法.下面筆者就一些高考題，來說明導數(shù)問題中 “虛設零點 法的具體解題方法和策略 .策略 1 整體代換將超越式化簡為普通式如果f (x)是超越形式(對字母進行了

2、有限次初等超越運算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角等運算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式)，并且f( X)的零點是存在的，但我們無法求出其零點，這時采用虛設零點法，逐步分析出 “零點所在的范 圍和滿足的關系式， 然后分析出相應函數(shù)的單調性， 最后通過恰當運用函數(shù)的極值與零點 所滿足的 “關系推演出所要求的結果 .通過這種形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉換和過渡，從而將超越式化簡為普通式，有效破解求解或推理證明中的難點 .例1 (2021年全國高考新課標I卷文 21)設函數(shù)f (x) =e2x-alnx.(1)討論f (x)的導函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)；(2 )證明：當 a

3、0 時，f (x) 2a+aln2a.解(1) f (x)的定義域為(0, +x) , f (x) =2e2x-ax (x0).由 f (x) =0，得 2xe2x=a. 令 g (x) =2xe2x , g( (x) = (4x+2) e2x0 (x0)，從而 g (乂)在(0, +x)單調遞增， 所以 g( x)g(0)=0.當a0時，方程g (x) =a有一個根，即f(x)存在唯一零點;當aw0寸，方程g (x) =a沒有根，即f(x)沒有零點.(2)由(1)，可設f(x)在(0, +x)的唯一零點為x0，當x( 0, x0)時，f(x) 0；(1 于2宀-耳嚴.由利.得應“峯樸2#口2

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16、的合理代換使用,快速將超越 式 e2x0-alnx0 化簡為普通的代數(shù)式 a2x0+2ax0+aln2a ，然后使用均值不等式求出最小值， 同時消掉了 x0.在求解的過程中，不要急于消掉x0，而應該著眼于將超越式化簡為普通的 代數(shù)式 .借助 f(x0) =0 作整體代換，竟能使天塹變通途！其實，這種做法早已出現(xiàn)在以下兩 道試題中 .我們一起來體會一下如出一轍的解法帶給我們的便捷 .例2 (2021年全國高考新課標U卷理 21)函數(shù) f(x) =ex-ln (x+m ) .(1 )設x=0是f (x)的極值點，求m并討論f (x)的單調性；(2)當 mC2 時，證明 f (x) 0.解(1) m

17、=1，f (x)增區(qū)間為(0，+x)，減區(qū)間為(-1，0).(2)當 時，x+mcx+2，In (x+m) exIn (x+2 )，令 g (x) =ex-ln (x+2)，貝U g(x) =ex-1x+2，g (x) =ex+1 (x+2) 20，所以g (x)在(-2，+p 上單調遞增.又 g( -1 ) =e-1-10 ，所以存在唯一的x0( -1，0)，使g (x0) =0.所以當-2X0，g (x)單調遞增.評析在此題中，在確定出函數(shù) g (x) =ex-1x+2在(-2, +x)上存在唯一的零點x0 后，無法直接求解x0，在形式上虛設后，通過對x0滿足的等式條件ex0=1x0+2

18、, x0=-ln (x0+2 )的合理代換使用，快速將超越式 g( x0)=ex0-ln (x0+2)化簡為普通的代數(shù)式 g( x0) =1x0+2+x0 ，為證貌似不可能證的不等式 g(x0) 0 掃除了障礙 .例3(2021年全國新課標卷文21第2問)設函數(shù)f (x)=ex-ax-2.假設a=1 , k為整數(shù)， 且當x0時，(x-k)f(x)+x+10，求k的最大值.解由于 a=1 ，所以( x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1 )+x+10k0 恒成立.令 g(x) =x+1ex-1+x，原命題k評析此題中，在確定出 h (x) =ex-x-2在(0，+呵 上存在唯一零 點的情

19、形下，通過虛設零點x0，并借助ex0=x0+2來簡化g (x0) =x0+1ex0-1+x0，為估 計g (x0)的范圍創(chuàng)造了條件.虛設零點，讓我們感受到 柳暗花明又一村的奇妙詩意.如果f(x)不是超越形式，而是可轉化為二次函數(shù)，這時很容易想當然，用求根公式 把零點求出來，代入極值中去 .但接下來要么計算偏繁，要么無法化簡，復雜的算式讓人 無處下手，導致后繼工作無法開展 .正所謂“思路簡單，過程煩人 這.時有兩個策略：策略 2 反代消參構造關于零點的單一函數(shù)如果問題要求解(或求證)的結論與參數(shù)無關， 這時我們一般不要用參數(shù)來表示零點， 而是反過來用零點表示參數(shù)， 然后把極值函數(shù)變成了關于零點的

20、單一函數(shù)， 再次求導就可 解決相應函數(shù)的單調性、極值、最值、不等式證明 .例4 (2021年全國高考新課標U卷文 21第2問)函數(shù)f (x) =x3-3x2+x+2，曲 線y=f (x)在點(0，2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.證明：當kQ 所以 g (x)在 R 上 為增函數(shù).因為g (-1) =k-10 ,所以存在唯一 x0 ( -1 , 0)使得g (x0) =0，所以g (x)的圖象與x軸只有一個交點.(2)當 =3612 (1-k) =24+12k0，即-2K0 , g (1) =-2-k0 ,所以 0X11 , 1X20 , g (乂)在(-x, x1)內為增函數(shù)；當 x (

21、x1 , x2)時，g(x) 0 , g (x)在(x2, +x)內為增 函數(shù).g (x)的極小值點是x2.所以g (x)的圖象與x軸只有一個交點，只需要g (x2) 0.由 g(x2) =3x22-6x2+1-k=0 得 1-k=-3x22+6x2 ，g(x2) =x32-3x22+ (1-k) x2+4=x32-3x22+(-3x22+6x2 ) x2+4=-2x32+3x22+4.令 x2=t，g(x2) =h(t) =-2t3+3t2+4 (10.所以當 -2K綜上(1 )、( 2)可知，當k1時，曲線y=f (x)與直線y=kx-2只有一個交點.評析此題當-20，讓人無處下手.于是，

22、我們虛設零點x2，采用反代的方 法,用零點 x2 來表示參數(shù),有 1-k=-3x22+6x2. 巧妙地回避了這些繁雜的計算,簡潔而利 索,可謂妙哉 .例5 (2021年全國高考U卷理22第2問)設函數(shù)f (x) =x2+aln (1+x)有兩個極值 點，證明：f (x)的極小值大于1-2ln24 ;證明 f(x) =2x+a1+x=2x2+2x+a1+x(x-1).令 g (x) =2x2+2x+a，函數(shù) f (x)有兩個極值點g (x) =2x2+2x+a在(-1, +x)上有兩個不等實根 =48a0g ( -1 ) =a00A設 x1、x2 是方程 g( x)=0 的兩個均大于 -1 的不

23、相等的實根，且 x10 ，其對稱軸為 x=-12，所以-1X1v-12 , -12X20, f (x)在(-1 , x1)內為增函數(shù)；當 x( x1 , x2) 時，f (x) 0 , f (x) 在(x2 , +x)內為增函數(shù).所以，f (x)的極大值點是x1 , f (x)的極小值點是x2.由 g( x2) =2x22+2x2+a=0 得 a=- (2x22+2x2 )，所以 f(x2) =x22+aln1+x2=x22- (2x22+2x2 ) In (1+x2 ).令 x2=t，設 f (x2) =h (t) =t2- (2t2+2t) In (1+t), 其中-12h (-12) =1-21 n24. 故 f(x2) =h(t) 1-2In24.評析 f(x) =x2+aIn1+x 的極小值點 x2 來自 f(x) =2x2+2x+a1+x 的零點,按常規(guī)思 路，要證明f (x2) 1-2In24，就要將x2=-1+1-2a2代入f (x)求解，其本質就是用參數(shù) a表示零點x2，再證明關于a的不等式，-1+1-2a22+aI