一元二次方程復(fù)習(xí)資料[共17頁]

1、一元二次方程溫習(xí)資料一、知識結(jié)構(gòu)：解與解法一元二次方程根的判 別韋達(dá)定理二、考點(diǎn)精析考點(diǎn)一、概念(1) 定義：只 含 有 一 個 未 知 數(shù) ,并且未 知 數(shù) 的 最 高 次 數(shù) 是 2,這樣的整式方程 就是一元二次方程。2 bx c a(2) 一般表達(dá)式： ax 0( 0)難點(diǎn) ：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù),或系數(shù)也有待定,則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例 1、下列方程中是關(guān)于 x 的一元二次方程的是（ ）1 12 xA 3 x 1 2 1 B 2 02 x x2 bx c 2 x x 2C ax 0

2、D x 2 12 x x 2 變式：當(dāng) k 時,關(guān)于 x 的方程 2 3kx 是一元二次方程。m例 2、方程 m 2 x 3mx 1 0是關(guān)于 x 的一元二次方程, 則 m 的值為 。針對練習(xí)：21、方程 8 7x 的一次項(xiàng)系數(shù)是 ,常數(shù)項(xiàng)是 。m 12、若方程 m 2 x 0是關(guān)于 x 的一元一次方程,求 m 的值；寫出關(guān)于 x 的一元一次方程。2 m x3、若方程 m 1 x 1是關(guān)于 x 的一元二次方程, 則 m 的取值范圍是 。m n 2 4、若方程 nx+x -2x =0 是一元二次方程,則下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考點(diǎn)

3、二、方程的解概念： 使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解。應(yīng)用 ：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：2 y 2 y例 1、已知 2y 3的值為 2,則 4y 2 1的值為 。2 x a2例 2、關(guān)于 x 的一元二次方程 a 2 x 4 0的一個根為 0,則 a 的值為 。2 bx c a例 3、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ax 0 0 的系數(shù)滿足 a c b ,則此方程必有一根為 。2 x m 2 y m 例 4、已知 a,b是方程 4 0x 的兩個根, b,c 是方程 y 8 5 0的兩個根,則 m 的值為 。針對練習(xí)：2 kx1、已知方程 10 0x 的一根是 2,則 k 為 ,另

4、一根是 。x 12、已知關(guān)于 x 的方程 x2 kx 2 0的一個解與方程 3的解相同。x 1求 k 的值； 方程的另一個解。2 x23、已知 m 是方程 1 0x 的一個根,則代數(shù)式 m m。2 x 24、已知 a是 3 1 0x 的根,則 2a 6a。2 b c x c a5、方程 a b x 0的一個根為（ ）A 1 B 1 C b c D a 6、若x y2x 5y 3 0,則4 32 ?？键c(diǎn)三、解法方法： 直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)： 降次2類型一、直接開方法： x m m 0 , x m2對于 x a m,2 bx n2ax m 等形式均適用直接開方法典型例題：2

5、例 1、解方程： 1 2x 8 0;2 22 25 16x =0; 3 1 x 9 0;例 2、若2 16 2 29 x 1 x ,則 x 的值為 。針對練習(xí)： 下列方程無解的是（ ）2 2 x2 2A. x 3 2 1 B. x 2 0 C. 2x 3 1 x D. x 9 0類型二、因式分解法 : x x1 x x2 0 x x1,或x x2方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個一次因式的積,右邊為“ 0”,方程形式：如2 bx n 2ax m , x a x b x a x c ,2 ax ax 220典型例題：例 1、 2x x 3 5 x 3 的根為（ ）A5 5x B x 3 C x1 ,

6、x 3 D22 2x252 x y例 2、若 4x y 3 4 4 0,則 4x+y 的值為 。變式 1：22 b a b 6 0,則a b2 2 2 2 2a 。變式 2：若 x y 2 x y 3 0,則 x+y 的值為 。2 xy y 2 xy x變式 3：若 x 14 , y 28,則 x+y 的值為 。2 x例 3、方程 x 6 0 的解為（ ）A. x1 3,x2 2 B. x1 3,x2 2 C. x1 3,x2 3 D. x1 2,x2 22 x例 4、解方程： x 2 3 1 2 3 4 02 xy y2例 5、已知 2x 3 2 0,則xxyy的值為 。2 xy y 2變式

7、：已知 2x 3 2 0,且 x 0, y 0 ,則xxyy的值為 。針對練習(xí)：1、下列說法中：2 px q 2 px q x x x x 方程 x 0的二根為 x1 , x2 ,則 x ( 1)( 2)2 x x x x 6 8 ( 2)( 4) .2 ab b2 a a a 5 6 ( 2) ( 3)2 y x y x y x y2 x ( )( )( )2方程 (3x 1) 7 0可變形為 (3x 1 7)(3x 1 7) 0正確的有（ ）A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個2、以1 7 與1 7 為根的一元二次方程是（）2 x 2 xA x 2 6 0 B x 2 6 02

8、y 2 yC y 2 6 0 D y 2 6 03、寫出一個一元二次方程,要求二次項(xiàng)系數(shù)不為 1,且兩根互為倒數(shù)：寫出一個一元二次方程,要求二次項(xiàng)系數(shù)不為 1,且兩根互為相反數(shù)：4、若實(shí)數(shù) x、y 滿足 x y 3 x y 2 0,則 x+y 的值為（ ）A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 21 25、方程： x 2 的解是 。2x2 xy y2 6、已知 6x 6 0,且 x 0, y 0,求2x3x6yy的值。2 x 7 、 方 程 1 9 x9 9 1 9 9280 0 01 0 的 較 大 根 為 r , 方 程20072 xx 2008 1 0 的較小根為

9、 s,則 s-r 的值為 。2 bx c a類型三、配方法 ax 0 0x22bb4ac22a 4a在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：2 x例1、 試用配方法說明 2 3x 的值恒大于 0。2 y2 x y例2、 已知 x、y 為實(shí)數(shù),求代數(shù)式 x 2 4 7的最小值。例3、 已知 x2 y2 4x 6y 13 0,x、y為實(shí)數(shù),求yx 的值。2 x例4、 分解因式： 4 12 3x針對練習(xí)：2 x 1、試用配方法說明 10 7 4x 的值恒小于 0。1 122、已知 4 0x x ,則2x xx1x.2 x 3、若 t 2 3x 12 9 ,

10、則 t 的最大值為 ,最小值為 。 4、如果 a b c 1 1 4 a 2 2 b 1 4 ,那么 a 2b 3c 的值為 。類型四、公式法2 ac 條件： a 0,且b 4 0公式：xb2b2a4ac2 ac, a 0,且b 4 0典型例題：例 1、選擇適當(dāng)方法解下列方程：22 x 31 x 6. x 3 x 6 8. 4 1 0x2 x 3x 4 1 0 3 x 1 3x 1 x 1 2x 5例 2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2 x 2 x（1） x 2 2 3； （2） 4 8 1x . 2 4 5 22x xy y2說明：對于二次三項(xiàng)式 ax bx c的因式分解,如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分

11、解,2 =0,求出兩根,再寫成 一般情況要用求根公式,這種方法首先令 ax bx cax2 = ( )( )bx c a x x1 x x .2分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號內(nèi),取決于能否把括號內(nèi)的分母化去 .類型五、 “降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值； 解二元二次方程組。典型例題：2 x例1、 已知 3 2 0x ,求代數(shù)式x 132xx 11的值。2 x 3 x 2 例 2、如果 1 0x ,那么代數(shù)式 x 2 7 的值。2 x例 3、已知 a是一元二次方程 3 1 0x 的一根,求3 2a 2a 5a 12a 1的值。例 4、用兩種不同的方法解方程組2x y 6, (1)2 xy y 2

12、x 5 60. (2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元,再降次；先降次,再消元。但都體現(xiàn)了一種配合的數(shù)學(xué)思想化歸思想,即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題 .2 考點(diǎn)四、根的判別式 b 4ac根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：2 kx例 1、若關(guān)于 x的方程 2 1 0x 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根, 則 k 的取值范圍是 。2 mx m例 2、關(guān)于 x 的方程 m 1 x 2 0有實(shí)數(shù)根,則 m 的取值范圍是 ( )A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 12 k x k例 3、已知關(guān)于 x 的方程 x 2 2 0(1)求證：無

13、論 k 取何值時,方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰 ABC 的一邊長為 1,另兩邊長恰好是方程的兩個根,求 ABC 的周長。2 m x m例 4、已知二次三項(xiàng)式 9x ( 6) 2是一個完全平方式,試求 m 的值.例 5、 m為何值時,方程組2xmx22yy3.6,有兩個不同的實(shí)數(shù)解？有兩個相同的實(shí)數(shù)解？針對練習(xí)：2 kx1、當(dāng) k 時,關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 9x 是完全平方式。22、當(dāng) k 取何值時,多項(xiàng)式 3x 4x 2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？2 mx3、已知方程 2 0mx 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則 m 的值是 .4、k 為何值時,方程組ykx2,2 x yy 4 21

14、0.（1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解,并求此解；（2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；（3）沒有實(shí)數(shù)解 .2 mx x m2 m k 5、當(dāng)k 取何值時, 方程 4 4 3 2 4 0x 的根與 m 均為有理數(shù)？考點(diǎn)五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：2 mx例 1、關(guān)于 x 的方程 m 1 x 2 3 0有兩個實(shí)數(shù)根,則 m 為 ,只有一個根,則 m 為 。2 x k k2例2、 不解方程,判斷關(guān)于 x 的方程 x 2 3根的情況。2 kx 2 x k 例 3、如果關(guān)于 x 的方程 2 0x 及方程 x 2 0均有實(shí)數(shù)根,問這兩方程是否有相同的根？若有,請求出這相同的根及 k 的值；若沒有,請說明理由?？?/p>

15、點(diǎn)六、應(yīng)用解答題“碰面”問題；“復(fù)利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊(duì)的慶祝晚宴, 出席者兩兩碰杯一次, 共碰杯 990 次,問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片,全組共送了 90 張,那么這個小組共多少人？3、北京申奧成功,促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展,某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場, 根據(jù)計(jì)劃, 第一年投入資金 600 萬元, 第二年比第一年減少13,第三年比第二年減少12,該產(chǎn)品第一年收入資金約 400 萬元,公司計(jì)劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回,還要盈利13,要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),該產(chǎn)品收入的年平均增長率約為多少？（結(jié)果精

16、確到 0.1,13 3.61）4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克 40 元的水產(chǎn)品, 據(jù)市場分析, 若按每千克 50 元銷售,一個月能售出 500 千克,銷售單價每漲 1 元,月銷售量就減少 10 千克,針對此回答：（1）當(dāng)銷售價定為每千克 55 元時,計(jì)算月銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過 10000 元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到 8000 元,銷售單價應(yīng)定為多少？5、將一條長 20cm 的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形的面積之和等于 17cm2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于 12cm2

17、 嗎？若能,求出兩段鐵絲的長度；若不能,請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B 兩地間的路程為 36 千米.甲從 A 地,乙從 B 地同時出發(fā)相向而行,兩人相遇后,甲再走 2 小時 30 分到達(dá) B 地,乙再走 1 小時 36 分到達(dá) A 地,求兩人的速度 .考點(diǎn)七、根與系數(shù)的關(guān)系2 bx c前提：對于 ax 0 而言,當(dāng)滿足 a 0 、 0 時,才能用韋達(dá)定理。主要內(nèi)容：bx x , x xaca應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：2 x例 1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程 2 8 7 0x 的兩根,則這個直角三角形的斜邊是（ ）A. 3 B.3 C.6 D. 62x2 k x例 2、已知關(guān)于 x 的方程 k 2 1 1 0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 x1, x2 ,（1）求 k 的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù) k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在,求出 k 的值；若不存在,請說明理由。例 3、小明和小紅一起做作業(yè),在解一道一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為 1）時,小明因看錯常數(shù)項(xiàng),而得到解為 8 和 2,小紅因看錯了一次項(xiàng)系數(shù)