數(shù)學(xué)文化第五講幻方

1、2021/3/271 數(shù)學(xué)文化的起源 幻方 2021/3/272 一、幻方基本知識(shí) 1、從河洛文化說(shuō)起 相傳,在上古伏羲時(shí)代,洛陽(yáng)東 北孟津縣境內(nèi)的黃河里躍出一匹 龍馬,背上馱了一幅圖,上面有黑白 點(diǎn)55個(gè),用直線連成10數(shù)獻(xiàn)給伏羲。 后人稱之為河圖,伏羲依此而演繹 成八卦,后為周易來(lái)源。 2021/3/273 又傳,大禹治水時(shí),有靈龜自洛水出,背上排列成“帶九 履一,左三右七,四二為肩,八六為足,五居中央”的圖形,獻(xiàn)給 大禹,后人稱之為洛書(shū)。大禹依此治水成功,遂劃天下為九 州。又依此定“九章大法”治理社會(huì),流傳下來(lái)收入尚書(shū) 中,名為洪范。在中國(guó)歷史中, 大禹的功勞極其巨大,因?yàn)樗嗡?以后,

2、中國(guó)九州才開(kāi)始以農(nóng)業(yè)立國(guó)。 而他成功治水的智慧就來(lái)自“洛 書(shū)”的啟示。 2021/3/274 （1）兩圖的結(jié)構(gòu)對(duì)稱。 （2）數(shù)的概念直接而又形象地包含在圖書(shū)之中, 其中由黑點(diǎn)構(gòu)成的數(shù)為偶數(shù),白點(diǎn)構(gòu)成的數(shù)為奇數(shù)。 2021/3/275 2、幻方 在一個(gè)方陣中,如果每行、每列以及對(duì)角線上自 然數(shù)之和分別都等于某一個(gè)定值,則稱此方陣為幻方。 這個(gè)特定值稱為幻和,每格內(nèi)的自然數(shù)稱為元素?；?方每邊格數(shù)n稱為幻方的階。 如果每一對(duì)角線上的元素之和也都等于幻和,則 稱該方陣為完美幻方?；梅絻?nèi)元素全體的和稱為幻 方和。在幻方中所有與其中心對(duì)稱的兩元素的和如 果都相等,則該幻方稱為對(duì)稱幻方。 2021/3/2

3、76 二、妙趣橫生的幻方 1、洛書(shū)圖 2021/3/277 2、九九圖 我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在續(xù)與摘奇算法中給出了一個(gè)9階幻方。 2021/3/278 該幻方中蘊(yùn)含著許多奇特的性質(zhì) 1、距離幻方中心41的任何中心對(duì)稱位置上兩數(shù) 之和都為82。注意12+92=82。 2、將幻方按圖中粗線分為九塊,即為九個(gè)三階幻 方。 2021/3/279 2021/3/2710 該幻方中蘊(yùn)含著許多奇特的性質(zhì) 1、距離幻方中心41的任何中心對(duì)稱位置上兩數(shù) 之和都為82。注意12+92=82。 2、將幻方按圖中粗線分為九塊,即為九個(gè)三階幻 方。 3、若把上述九個(gè)三階幻方的每個(gè)“幻和”值寫(xiě) 在九宮中,又構(gòu)成一個(gè)新的三階

4、幻方。并且幻方中的 九個(gè)數(shù)分別是首項(xiàng)為111,末項(xiàng)為135,公差為3的等差 數(shù)列。將這些數(shù)按大小順序的序號(hào)寫(xiě)在九宮格中,它 又恰好是“洛書(shū)”幻方。 2021/3/2711 2021/3/2712 （4）將幻方對(duì)角線上的數(shù)全部圈起來(lái),再?gòu)耐庀蚶镉梅娇?框上,則每個(gè)“回”形上圈里的八個(gè)數(shù)字與中心數(shù)41又分 別構(gòu)成三階幻方。 2021/3/2713 2021/3/2714 3、素?cái)?shù)幻方 尾數(shù)全是9,幻和為 1077。 尾數(shù)全是7,幻和為 798。 2021/3/2715 4、黑洞數(shù)幻方 （1）該幻方中,4行4列4斜對(duì)角線及4副對(duì)角線上的4個(gè)四位 數(shù)的和統(tǒng)統(tǒng)是6174。每一個(gè)田字格中的四數(shù)之和都是61

5、74。若 再有規(guī)律地截得的長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形等幾何圖形的4 角中的四數(shù)之和也是6174。 （2）任何一個(gè)元素,通過(guò)一定的四則運(yùn)算它們個(gè)個(gè)可以變 成6174。 2021/3/2716 2021/3/2717 5、回文數(shù)幻方 該四階完美幻方的幻和是13992。 2021/3/2718 6、馬步幻方 2021/3/2719 2021/3/2720 2021/3/2721 7、方中含方 2021/3/2722 7、方中含方 2021/3/2723 7、方中含方 2021/3/2724 2021/3/2725 2021/3/2726 2021/3/2727 8、和、積幻方（也叫加乘幻方） 該幻方每

6、一行和、列和,對(duì)角線和均為840;且每行積、每列積、 對(duì)角積均為26000 2021/3/2728 該幻方每一行和、列和,對(duì)角線和均為2215;且每行積、每列積、 對(duì)角積均為4515840000 2021/3/2729 9、二次幻方 該幻方本身是一個(gè)幻方,同時(shí)幻方中各數(shù)的平方仍組成一個(gè) 幻方。圖中幻方幻和為20049. 2021/3/2730 10、雪花幻方（全對(duì)稱幻方） 該幻方中的數(shù)字對(duì)稱中心41等距離的兩數(shù)之和相等;將幻方左邊第一列 移動(dòng)到最右邊。上面第一行移動(dòng)到最下邊所組成的圖形仍是一個(gè)9階幻方。 2021/3/2731 三、幻方的構(gòu)造 1、楊輝與奇數(shù)階幻方的構(gòu)造方法 三階幻方的構(gòu)造方法

7、:“九子斜排,上下對(duì)易,左右相更,四維 挺出”。 2021/3/2732 類似可以構(gòu)造5階、7階、9階等奇數(shù)階幻方 2021/3/2733 類似可以構(gòu)造5階、7階、9階等奇數(shù)階幻方 2021/3/2734 類似可以構(gòu)造5階、7階、9階等奇數(shù)階幻方 2021/3/2735 2、奇數(shù)階幻方的羅伯構(gòu)造 原理:1居首列正中央,下數(shù)依次左上放;左出格時(shí)右邊寫(xiě),上出 格時(shí)下面填;遇到有數(shù)無(wú)處填,就在此數(shù)右鄰放。 2021/3/2736 3、偶數(shù)階幻方的海爾構(gòu)造 根數(shù):指在一個(gè)n階幻方的構(gòu)造過(guò)程中,數(shù)字k （k=1,2,3,n）的根數(shù)為n(k-1)。例如,在四階幻方中,1的 根數(shù)為0,3的根數(shù)為8;在10階

8、幻方中,3的根數(shù)為20。 2021/3/2737 以4階幻方為例來(lái)說(shuō)明: （1）將1到4這4個(gè)數(shù)字分 別從左到右（從小到大） 填入方陣的兩條對(duì)角線中, 得方陣A。 （2）把A中每一行的空格中 填入1到4在該行沒(méi)有的數(shù)字 （左大右小）,使每行每列數(shù) 字之和均為10,得方陣B 2021/3/2738 （3）把方陣B轉(zhuǎn)置,即交 換行列,得到方陣C,C中的 數(shù)叫做原始數(shù)。 （4）把C中各原始數(shù)分 別用其相應(yīng)的根數(shù)替換, 得方陣D。 2021/3/2739 （5）最后將B,D兩方陣中 對(duì)應(yīng)數(shù)分別相加,便得到一 個(gè)4階幻方。 2021/3/2740 4、雙偶階幻方的構(gòu)造 定義:在一個(gè)n階幻方的構(gòu)造過(guò)程中,

9、數(shù)字k（ k=1,2,3,n） 的補(bǔ)數(shù)為n2+1-k.例如,在四階幻方中,1的補(bǔ)數(shù)為16,3的補(bǔ) 數(shù)為14。 2021/3/2741 以8階幻方為例來(lái)說(shuō)明雙偶階幻方的構(gòu)造方法: （1）將從1到82這64個(gè)自然數(shù)依次連續(xù)填入方陣各方格 內(nèi)。 2021/3/2742 （2）然后將兩條對(duì)角線及方陣內(nèi)與對(duì)角線平等間隔為 兩格的斜線上的數(shù)字分別替換為各自的補(bǔ)數(shù),得到的方 陣即是一個(gè)8階幻方。 2021/3/2743 （2）然后將兩條對(duì)角線及方陣內(nèi)與對(duì)角線平等間隔為 兩格的斜線上的數(shù)字分別替換為各自的補(bǔ)數(shù),得到的方 陣即是一個(gè)8階幻方。 2021/3/2744 四、幻方的應(yīng)用 1、幻方在藝術(shù)等方面的應(yīng)用

10、建筑學(xué)家索力拉東發(fā)現(xiàn)幻方的對(duì)稱性相當(dāng)豐富,他采用 幻方組成許多美麗的圖案,把幻方中的那些陣內(nèi)的線條稱為 “魔線”,并應(yīng)用于輕工業(yè)。封面包裝設(shè)計(jì)中,加拿大滑鐵 盧大學(xué)的一位專家發(fā)現(xiàn)了幻方與“拉丁方”的內(nèi)在聯(lián)系,由 于“拉丁方”在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中有著無(wú)比的重要性,從而幻 方原理成了正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的新思路。 2021/3/2745 2、幻方與科學(xué)技術(shù) 幻方在計(jì)算機(jī)、圖論、實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)等方面都有出色的應(yīng)用。 幻方因具有一種自然的屬性,雖是數(shù)字關(guān)系,但往往抽象概括特 別方便。當(dāng)人們反復(fù)思考后,就可能對(duì)某個(gè)學(xué)科理論產(chǎn)生出靈感 來(lái),從而推動(dòng)其發(fā)展。 在中國(guó)的傳統(tǒng)文化中,我們能看到洛書(shū)運(yùn)用于軍事、中醫(yī)、 天文、氣象等領(lǐng)域,大量的資料說(shuō)明幻方與各種學(xué)科密切相關(guān)。 如今,幻方在圖論、人工智能、博弈論、組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 等方面有著廣泛運(yùn)用。幻方引出了電子方程式、自動(dòng)控制論, 從而促進(jìn)了電子計(jì)算機(jī)的誕生。 2021/3/2746 1977年,人類向太空送去尋求太空理性生物的使者宇宙 飛船旅行者一號(hào),為了使語(yǔ)言不通的太空理性生物知道人類已 高度了解宇宙的某些奧秘,特別是數(shù)的奧秘,飛船上載有一塊永 不生銹,極難變形的