二次型函數(shù)問題求解的本源探究

1、 二次型函數(shù)問題求解的本源探究 【摘要】數(shù)學(xué)高考中常常構(gòu)造出有關(guān)二次型的問題，其求解本源基于二次函數(shù)圖像和性質(zhì)【主題詞】二次型問題，本源探究二次函數(shù)是學(xué)生直觀想象及數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容和生成平臺，理解和掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解答二次型問題的本源所在，所謂的二次型就是形如 的函數(shù)或不等式 的求解證明問題舉例說明如下:題型一：二次型的函數(shù)求值問題【典例1】已知，且，則的值為 ( ) a 81 b81 c9 d【分析】由 和所要求 的值可知，對 兩邊同除x，得 令t= 轉(zhuǎn)化為 有兩個解 因此 有三個不同零點 的問題轉(zhuǎn)換為 與 有三個交點的問題，【解析】因 ， 有三個不同的解 ，兩邊

2、同除x得 令t= 必有兩個解 即 與 有三個交點，且 = , 因 = ，所以 ( ，e)時， 增， ( ，+) 時， 減，故 ，注意到 時 恒大于0，故 = ，故 = =81，因此選a .【評價】偏難試題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)要求較高.題型二：分段函數(shù)中二次型問題【典例2】已知是r上的偶函數(shù)，當(dāng) 時，若關(guān)于x的方程有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 【分析】對于 ，令 ，得 有兩個實根 ，問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)圖像有6個交點的問題，【解析】設(shè) ，又 是r上偶函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為 的兩個實根 且 函數(shù)圖像有3個交點，可作 大致圖像如圖，得 或 ，故 貽 或 貽 ，綜上: 或.【評價】偏難

3、試題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)要求較高.題型三：二次型與線性規(guī)劃問題【典例3】已知，若且方程有5個不同根，則的取值范圍為_【分析】設(shè) ，轉(zhuǎn)化為 有兩個實根 ，且 函數(shù)圖像有5個交點的問題，得出 ，結(jié)合 ，作出關(guān)于 不等式組的可行域，將 視為可行域中的點 到直線2 的距離，【詳解】設(shè) ，轉(zhuǎn)化為 有兩個實根 ，且 ， 函數(shù)圖像有5個交點，得出 ，即 ，結(jié)合 ，得出 表示的區(qū)域為下圖中的陰影部分（不包括 軸）， 視為可行域中的點 到 的距離，當(dāng)點 與點 重合時 ，結(jié)合圖形可知 的取值范圍是 ，故答案為： .【評價】偏難試題，對學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象有較高要求【案例說明】本文試圖通過有關(guān)二次型數(shù)學(xué)典型應(yīng)用問題求解的本源探究來促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.作者唐