天津南開中學(xué)高三第四次月考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、天津南開中學(xué)2013屆高三第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第卷本卷共8小題，每小題5分，共40分。一、選擇題：在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（ ）a. b. c. d. 2. 已知條件，條件，且是的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 3. 閱讀下邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入x的值為25時，輸出x的值為（ ）a. 1b. 1c. 3d. 94. 數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的前50項的和為（ ）a. 49b. 50c. 99d. 1005. 二

2、項式的展開式中的常數(shù)項是（ ）a. 28b. 7c. 7d. 286. 為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）a. 向左平移個長度單位b. 向右平移個長度單位c. 向左平移個長度單位d. 向右平移個長度單位7. 平面向量與的夾角為，則（ ）a. b. c. 7d. 38. 設(shè)是定義在r上的周期函數(shù)，周期為，對都有，且當(dāng)時，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程0恰有3個不同的實根，則a的取值范圍是（ ）a. （1，2）b. c. d. 第卷本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9. 某校高中生共有2000人，其中高一年級560人，高二年級640人，高三年級800人，

3、現(xiàn)采取分層抽樣抽取容量為100的樣本，那么高二年級應(yīng)抽取的人數(shù)為 人。10. 一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm2）為 。11. 已知變量x，y滿足約束條件，則的最大值為 。12. 已知雙曲線的左右焦點為，p為雙曲線右支上的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率的取值范圍是 。13. 如圖所示，圓o是abc的外接圓，過點c的切線交ab的延長線于點d，cd，abbc3，則ac的長為 。14. 若不等式對任意都成立，則實數(shù)a取值范圍是 。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15. （本小題13分）已知向量，函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期

4、t及單調(diào)減區(qū)間（2）已知分別是abc內(nèi)角a，b，c的對邊，其中a為銳角，且，求a，b和abc的面積s16. （本小題13分）張師傅駕車從公司開往火車站，途徑4個公交站，這四個公交站將公司到火車站分成5個路段，每個路段的駕車時間都是3分鐘，如果遇到紅燈要停留1分鐘，假設(shè)他在各交通崗是否遇到紅燈是相互獨立的，并且概率都是（1）求張師傅此行時間不少于16分鐘的概率（2）記張師傅此行所需時間為y分鐘，求y的分布列和均值17. （本小題13分）如圖，已知四棱錐eabcd的底面為菱形，且abc60，abec2，aebe（1）求證：平面eab平面abcd（2）求二面角aecd的余弦值18. （本小題13分）

5、已知數(shù)列滿足，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且對任意，有成立，求19. （本小題14分）設(shè)點p是曲線c：上的動點，點p到點（0，1）的距離和它到焦點f的距離之和的最小值為（1）求曲線c的方程（2）若點p的橫坐標(biāo)為1，過p作斜率為的直線交c與另一點q，交x軸于點m，過點q且與pq垂直的直線與c交于另一點n，問是否存在實數(shù)k，使得直線mn與曲線c相切？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由。20. （本小題14分）已知函數(shù)的最小值為0，其中。（1）求a的值（2）若對任意的，有成立，求實數(shù)k的最小值（3）證明【試題答案】一、選擇題1. b 2. c 3. c

6、4. a 5. c 6. a 7. a 8. d二、填空題9. 32 10. 11. 1112. 13. 14. 三、解答題15. 解：（1）所以，最小正周期為所以，單調(diào)減區(qū)間為（2），由得，解得故16. 解：（1） （2）記張師傅此行遇到紅燈的次數(shù)為x，則，依題意，則y的分布列為y1516171819py的均值為17. 解：（1）證明：取ab的中點o，連接eo，coaeb為等腰直角三角形eoab，eo1又abbc，abc60，abc是等邊三角形，又eo平面abcd，又eo平面eab，平面eab平面abcd（2）以ab的中點o為坐標(biāo)原點，ob所在直線為y軸，oe所在直線為z軸，如圖建系則，（0

7、，2，0）設(shè)平面dce的法向量為，則，即，解得：同理求得平面eac的一個法向量為，所以二面角aecd的余弦值為18. 解：（1）由可得，是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列（2）時，時，設(shè)則綜上，19. 解：（1）依題意知，解得，所以曲線c的方程為（2）由題意設(shè)直線pq的方程為：，則點由，得，所以直線qn的方程為由，得所以直線mn的斜率為過點n的切線的斜率為所以，解得故存在實數(shù)k使命題成立。20. 解：（1）的定義域為，由，得，當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：x0極小值因此，在處取得最小值，故由題意，所以。（）解：當(dāng)時，取，有，故不合題意。當(dāng)時，令，即。，令，得1。（1）當(dāng)時，在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，從而對于任意