跟蹤誤差的風(fēng)險(xiǎn)分析

1、文章編號(hào) :1001 - 148x(2004) 03 - 0006 - 03跟蹤誤差的風(fēng)險(xiǎn)分析馬驥(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 金融學(xué)院 , 黑龍江 哈爾濱 150028)摘要 : 為了明確指數(shù)基金所面臨風(fēng)險(xiǎn)的大小以及風(fēng)險(xiǎn)的來源 ,采用回歸模型 、相關(guān)系數(shù)和多因素模型對(duì)跟蹤誤差的方差進(jìn)行分析 ,給出并且證明跟蹤誤差方差分解的一般表達(dá)式 ,并且確定了進(jìn)一步研究的方向 。關(guān)鍵詞 : 跟蹤誤差 ;風(fēng)險(xiǎn) ;績(jī)效評(píng)價(jià)中圖分類號(hào) : f224. 112文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 :arish analysis of tracking errorsma ji(department of finance , harbin univers

2、ity of commerce , 150028 , china)absrtact :as to index fund , it is very inportant to the risk of investment combination. firstly , the departure , say the risk , between fund achevevement and index fund achevevment should be confirmed. secondly , we should know what causes the risk and accird2 ingl

3、y analyse the tracking error of the index - fund.key words :tracking errors ; risk ; performame measurement33其中 ep ( ) = , ep ( rb ) = b 。這個(gè)模型將跟蹤誤差分解為兩個(gè)成份 :1 . (- 1) rb 是跟蹤投資組合與基準(zhǔn)投資組合相關(guān) 的業(yè)績(jī) ,用 來度量 。如果 1 ,基準(zhǔn)的收益是正的 時(shí) ,跟蹤投資組合會(huì)獲得超過基準(zhǔn)的收益 。2 .3 是跟蹤投資組合與基準(zhǔn)投資組合不相關(guān)的業(yè)績(jī) , 是預(yù)期到的與基準(zhǔn)投資組合不相關(guān)的業(yè)績(jī) ,是 沒有預(yù)期到的與基準(zhǔn)投資組合不相關(guān)

4、的業(yè)績(jī)。這種分解表明跟蹤誤差在多大程度上是與基準(zhǔn)相 關(guān)的 。例如 ,如果基金的策略是采用杠桿 ,而不是改變 投資組合的結(jié)構(gòu) ,以期取超額業(yè)績(jī) ,通過回歸就會(huì)得到 下面的參數(shù) : = 0 ,1 ,= 0 。同樣 ,如果投資組合的 結(jié)構(gòu)與基準(zhǔn)的成分出現(xiàn)了偏離 ,回歸分析會(huì)表明 0 , 1 。公理 1 :跟蹤誤差的風(fēng)險(xiǎn)用跟蹤誤差的方差表示 ,具體包括三個(gè)成份 :對(duì)于 指 數(shù) 基 金 , 了 解 投 資 組 合 的 風(fēng) 險(xiǎn) 非 常 重 要 。首先 ,應(yīng)該確定基金業(yè)績(jī)與基準(zhǔn)指數(shù)業(yè)績(jī)總的偏離程 度 ,即風(fēng)險(xiǎn)的大小 。其次 , 還應(yīng)該明確風(fēng)險(xiǎn)的來源 , 即 了解跟蹤誤差在多大程度上是由于與基準(zhǔn)系統(tǒng)的偏離 所

5、引起的 ,多大程度上是由于與基準(zhǔn)隨機(jī)的偏差所引 起的 。按照這種思路 , 我們對(duì)指數(shù)基金的跟蹤誤差進(jìn) 行分析 。一 、回歸模型首先 ,我們通過對(duì)投資組合收益與基準(zhǔn)收益進(jìn)行 回歸 ,獲得跟蹤誤差 :rp = + rb + (1)假定 ep () = ep ( rb) = 0 ,根據(jù)回歸 ,得到跟蹤誤差的表達(dá)式 :te = rp - rb = + (- 1) rb += (- 1) rb +3 (2)收稿日期 :2003 - 03 - 24運(yùn)輸 、分類和包裝等活動(dòng)中的物質(zhì)消耗 ;c3 是中間過程中的商業(yè)活動(dòng) (簿記 、通訊等) 的物質(zhì)耗費(fèi) 。c = c1 + c2+ c3 ;v = v1 + v2

6、 + v3 ;m = m1 + m2 + m3 。這里說的商業(yè) 工人包括商業(yè)的各級(jí)管理人員和店員等 。四 、結(jié)論通過一級(jí)交換產(chǎn)業(yè)企業(yè)實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)業(yè)工人創(chuàng)造的全 部商品價(jià)值和剩余價(jià)值 。在商業(yè)過程中 , 商業(yè)工人通 過運(yùn)輸 、分類 、包裝和再加工等生產(chǎn)性勞動(dòng)繼續(xù)增加了 商品的價(jià)值和剩余價(jià)值 ;同時(shí) ,還通過服務(wù)性勞動(dòng)創(chuàng)造 了服務(wù)商品 。服務(wù)商品具有價(jià)值和剩余價(jià)值 。商業(yè)利潤(rùn)不是從產(chǎn)業(yè)工人創(chuàng)造的剩余價(jià)值中瓜分來的 , 而是商業(yè)工人創(chuàng)造的 ,商業(yè)勞動(dòng)力創(chuàng)造價(jià)值和剩余價(jià)值 。參考文獻(xiàn) :1 周守正 , 許興亞. 資本論教學(xué)與研究綱要【第 二 卷】m. 北京 :中國(guó)經(jīng)濟(jì)出版社 ,1999 ,1.2 蔣學(xué)模.

7、 政治經(jīng)濟(jì)學(xué)教材m. 上海 : 上海人民出 版社 ,2001 ,5 ,第 11 版.3 程恩富. 現(xiàn)代政治經(jīng)濟(jì)學(xué)m. 上海 : 上海財(cái)經(jīng)大 學(xué)出版社 2000 ,10 ,第 1 版.4 馬克思. 剩余價(jià)值理論m. 馬克思恩格斯全集 ,第 26 卷第一分冊(cè) ,161.(責(zé)任編輯 :李 智)總第 287 期馬驥 :跟蹤誤差的風(fēng)險(xiǎn)分析7 v ar ( te) = ( + ( - 1) b ) 2 + ( - 1) 222 (3)法 ,因此分析跟蹤誤差的方差和相關(guān)系數(shù)關(guān)系是非常重要的 。公理 2 :基準(zhǔn)和跟蹤投資組合收益之間跟蹤誤差的 方差和相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系是 :b 第一項(xiàng)是預(yù)期跟蹤誤差的方差 ,

8、第二項(xiàng)可以理解為相對(duì)基準(zhǔn)偏離的風(fēng)險(xiǎn)暴露 , 第三項(xiàng)表示殘余的跟蹤 誤差 ,第二項(xiàng)和第三項(xiàng)合在一起可以理解為隨機(jī)的跟 蹤誤差 。證明 :根據(jù)投資組合和基準(zhǔn)收益之間的回歸模型 ,跟蹤誤差的方差可以表達(dá)為 :var ( te) = ep ( rp - rb ) 2 = ep (- 1) rb + (3 ) 2 222 = p (1 - )求解 得到 :22=1 - 21 - 22(4)2b + p證明 :從標(biāo)準(zhǔn)的回歸代數(shù) ,我們知道 := ( - 1) 2 ep ( r2 )+ e (3 ) 2 + 2 ( -2 = e ( r - - ( r - ) ) 2bp p p p b b展開得到 :1)

9、 2 ep ( r3)在每一項(xiàng)中運(yùn)用 x y = e ( xy) -2 = e ( r2 ) - e2 ( r ) + 2 e ( r2 ) -e2 ( r ) -e ( x) e ( y) ,得到 : p p p pp bp bvar ( te) = (- 1) 2 (2 + 2 ) + 2 + 2 + 2 (-2e ( r r ) + 2e ( r ) e ( r )b bp b bp p p b1) b應(yīng)用方差 、協(xié)方差和 的定義 ,有 :2 = ep ( x2 ) -p ( x) , x z r , r e2通過將投資組合收益的一階矩和二階矩表達(dá)為基準(zhǔn)收益和殘差收益的函數(shù) ,得到 :p

10、 = + bxp bpb = ep ( rp rb ) -ep ( rp ) ep ( rb )pb=22 2 22p = bbp b = 2得到 :b跟蹤誤差的方差可以表達(dá)為 :var ( te) = ep ( rp - rb ) 2 222 (1 - 2 ) 或 =1 - =2 = p1 -222 2b +p= ep ( r2 ) + e ( r2 ) - 2 e ( r r )證畢p p bp p b= 2 + 2 + 2 + 22相關(guān)系數(shù)取決于殘余跟蹤誤差的方差 2 ,投資組- 2 ( b +p p b bppb )合相對(duì)基準(zhǔn)的風(fēng)險(xiǎn)暴露 , 以及基準(zhǔn)收益的方差 2 。b= 22 + (

11、 + ) 2 + 2 + 2 - 2 (22如果沒有基準(zhǔn)的風(fēng)險(xiǎn)暴露 (= 0) ,相關(guān)系數(shù)是 0 。如果殘余的跟蹤誤差是 0 ,相關(guān)系數(shù)是 1 。隨著殘余跟蹤誤 差方差的增加 ,相關(guān)系數(shù)下降 ,越小 ,相關(guān)系數(shù)下降的 幅度就越大 。另一方面 ,如果 從 0 增加到無窮大 ,相關(guān)系數(shù)開始從 0 按照漸近的方式達(dá)到 1 。原因在于 ,對(duì)bbb bb+ ( + b ) b )= (- 1) 22 + 2 + 2 - 2 (- 1) +bb(- 1) 2 2b= ( + (- 1) b ) 2 + (- 1) 22 + 2b 2證畢一部分隨機(jī)跟蹤誤差的方可差以歸因于基準(zhǔn)的風(fēng) 險(xiǎn)暴露 。這樣 ,通過使

12、1 ,可以獲得預(yù)期超額業(yè)績(jī) (- 1) b ;但是由于基準(zhǔn)收益具有一個(gè)隨機(jī)的成份 ,所以 也會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)跟蹤誤差的方差 , 這就是著名的杠桿效 應(yīng) ,即通過在一個(gè)投資組合中使用杠桿 ,投資者可以獲 得更高的預(yù)期收益 , 但是投資組合收益的方差也會(huì)隨 之增加 。所以 ,最具吸引的方式是運(yùn)用正的 ,而不是 1 ,來獲得預(yù)期超額業(yè)績(jī) 。例如 ,在一個(gè) 中性策略 中 (= 1) ,如果我能夠持續(xù)的產(chǎn)生一個(gè)正的 ,那么隨 機(jī)跟蹤誤差的方差就會(huì)很小 , 這就是積極管理的指數(shù) 化投資 (或增強(qiáng)指數(shù)化投資) 的理論基礎(chǔ) 。增強(qiáng)指數(shù)化 投資的目標(biāo)應(yīng)該是保持 中性的前提下 , 通過證券選 擇或使用衍生工具 , 以期

13、獲得超過基準(zhǔn)的業(yè)績(jī) 。為了 獲得正的 ,增強(qiáng)指數(shù)化投資在使用衍生工具的同時(shí) , 可以使用其他特定的投資策略 ,或者投資于其他基金 。如果一些投資者只考慮到了殘余的跟蹤誤差方差于給定的殘余的跟蹤誤差的方差 ,越大 ,就222b + 越小 ,相關(guān)系數(shù)逐漸接近 1 。所以 ,盡管相關(guān)系數(shù)為 0 表明了較高的風(fēng)險(xiǎn) ,但是 相關(guān)系數(shù)為 1 ,并不意味著沒有基準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)暴露 。相關(guān)系 數(shù)為 1 意味著殘余的跟蹤誤差的方差是 0 ,或者意味著 基準(zhǔn)的風(fēng)險(xiǎn)暴露無窮大 (= ) 。所以 ,除非限制不能 使用杠桿 ,例如 ,限制 的取值小于 1 ,否則相關(guān)系數(shù)不 能準(zhǔn)確的度量基準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn) 。三 、多因素模型資產(chǎn)定價(jià)理論主

14、要的觀點(diǎn)在于只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素 才能夠影響到資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià) 。所以 , 研究跟蹤誤差 的方差包含了多少系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn) ,包含了多少非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn) , 具有重要的意義 。為了對(duì)跟蹤誤差的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析 , 我們將研究的重點(diǎn)集中于特定資產(chǎn)定價(jià)模型 。相關(guān)的 文獻(xiàn)提出了大量的資產(chǎn)定價(jià)模型 , 其中最具有影響力 的是 sharp 提出的資本資產(chǎn)定價(jià)模型 ( capm) ,merton 提 出的跨期 capm ,以及 ross 提出的套利定價(jià)理論 。對(duì)于第 i 種資產(chǎn)的收益我們采用一般的多因素模 型 ,其形式是 :k2 ,忽視了總跟蹤誤差方差的另外兩個(gè)成份 ,就會(huì)承擔(dān)更大的 風(fēng)險(xiǎn) ,不能有效控制風(fēng)險(xiǎn) ,不能夠產(chǎn)生足夠

15、的預(yù)期超額業(yè)績(jī) 。二 、相關(guān)系數(shù)分析相關(guān)系 數(shù) 是 度 量 相 對(duì) 基 準(zhǔn) 風(fēng) 險(xiǎn) 的 另 一 種 主 要 方ri = ai + b ik f k + vik(5)= 1其中 , ai 是一種資產(chǎn)具有的特殊常量 , f k 是動(dòng)態(tài)系2004038 商業(yè)研究統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素的隨機(jī)變量 , k = 1 , k , vi 是非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素 ,參數(shù) b ik 是第 i 種資產(chǎn)收益對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的敏感系 數(shù) 。假定 f k 和 vi 是相互獨(dú)立的 。公理 3 :運(yùn)用因素模型的表達(dá)式 ,跟蹤誤差的方差 可以分解為如下形式 :對(duì)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素的風(fēng)險(xiǎn)暴露 。一個(gè)好的基金管理跟蹤誤差的方差的方差對(duì)于非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素的風(fēng)險(xiǎn)暴

16、露 應(yīng)該是 0 ,因?yàn)槭袌?chǎng)這種風(fēng)險(xiǎn)暴露不能提供風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。 金融理論努力將風(fēng)險(xiǎn)劃分為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)成份和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)成 份 , 這 樣 就 可 以 判 斷 一 種 投 資 策 略 的 好 壞。 但是 ,根據(jù)資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)行分解存在明顯的缺陷 ,如 果資產(chǎn)定價(jià)模型是錯(cuò)誤的 , 那么運(yùn)用這種模型對(duì)基金 經(jīng)理進(jìn)行評(píng)價(jià)也會(huì)是錯(cuò)誤的 。近期的實(shí)證分析表明 , 存在隨時(shí)間變化的風(fēng)險(xiǎn)溢 價(jià) ,存在隨時(shí)間變化的資產(chǎn)收益的二階矩。為了獲得 跟蹤誤差方差的一般表達(dá)式 , 本文假設(shè)資產(chǎn)收益時(shí)間 序列的行為是 ( i , i , d) 過程 。運(yùn)用靜態(tài)的資產(chǎn)定價(jià)模 型就可以將跟蹤誤差的方差分解為系統(tǒng)的和非系統(tǒng)的 成份 。根據(jù)動(dòng)

17、態(tài)的資產(chǎn)定價(jià)模型 , 采用隨時(shí)間變化的 資產(chǎn)收益的一階矩和二階矩 , 還可以計(jì)算出條件跟蹤 誤差的方差 。但是條件跟蹤誤差的方差更加依賴于模 型的設(shè)計(jì) ,如何設(shè)計(jì)模型還有待于理論界進(jìn)一步的研 究 。參考文獻(xiàn) :1 馬永開 , 唐小我. 基于跟蹤誤差的證券組合投資 決策模 型 研 究j . 系 統(tǒng) 工 程 理 論 與 實(shí) 踐 , 2001 , (12) .2 馬 驥. 資本資產(chǎn)定價(jià)模型在積極的投資組合中 的應(yīng)用j . 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究 ,2002 , (10) .3 manuel ammann , heinz zimmermann , 2001. the re2 lation between

18、 tracking error and tactical asset alloca2 tion. wwzdepartment of finance , working paperno . 901.k kkkvar ( te ) = a2+ b kkj+ 2 a b kk+ k = 1k = 1 j = 1k = 1kb k bj kj 2(6)vj = 1其中 ,kj 表示第 k 個(gè)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素和第 j 個(gè)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素之間的協(xié)方差 ,k 表示第 k 個(gè)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素預(yù) 期的變化 。表達(dá)式中的前三項(xiàng)合在一起可以理解為預(yù)期系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素 的 成 份 , 或 者 理 解 為 預(yù) 期 跟 蹤 誤 差 的

19、方 差 。 第四項(xiàng)是隨機(jī)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的成份 。第五項(xiàng)是非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn) 的成份 。第四項(xiàng)和第五項(xiàng)合在一起可以被理解為隨機(jī) 跟蹤誤差的方差 。證明 :將投資者組合理解為兩個(gè)部分 ,一部分是對(duì) 復(fù)制投資組合做多 ;另一部分是對(duì)基準(zhǔn)投資組合做空 , 跟蹤誤差 rp - rb 可以分解為系統(tǒng)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的成 份 。對(duì)于這樣一個(gè)投資組合 , 采用多因素模型定價(jià)的 表達(dá)式為 :krp - rb = a + b k f k + vk = 1其中前兩項(xiàng)表示系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素 , 最后一項(xiàng)表示非 系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素 。根據(jù)跟蹤誤差模型 ,跟蹤誤差方差的表達(dá)式是 :var ( te) = ep ( rp - rb ) 2 k4vari

20、ance analysis of trackingroll , r , 1992. a mean= ep ( a + b k f k + v) 2 k = 1error. the journal of portfolio management 18 ( sum2mer) , 13 - 22.5 speranza , m. g , 1993. linear programming models for portfolio optimization. finance 14 , 107 - 123.6 pope , p . and p. k. yadav , 1994 , ”discovering err