數(shù)學(xué)模型與建模

1、第一、二章 數(shù)學(xué)模型與建模數(shù)學(xué)模型是架于數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題之間的橋梁在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中無(wú)時(shí)無(wú)刻不留下數(shù)學(xué)模型的印記。 一. 模 型為了一定的目的，人們對(duì)原型的一個(gè)抽象例如:航空模型對(duì)飛機(jī)的一個(gè)抽象， 城市交通圖對(duì)交通系統(tǒng)的一個(gè)抽象 二. 數(shù) 學(xué) 模 型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)近似描述，以便于人們用數(shù)學(xué)方法研究實(shí)際問(wèn)題。例1：牛頓定律假設(shè)：1. 物體為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，忽略物體的大小和形狀。2. 沒(méi)有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物體運(yùn)動(dòng)方向的作用力f。引入變量 x(t)表示在t時(shí)刻物體的位置，則受力物體滿(mǎn)足如下運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這就是牛頓定律的數(shù)學(xué)模型。例2：哥尼斯堡七橋問(wèn)題問(wèn)題：能否從某地出發(fā)，通過(guò)每

2、座橋恰好一次，回到原地？由4個(gè)結(jié)點(diǎn)7條邊組成的圖構(gòu)成解決這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。三. 數(shù)學(xué)模型的特征1. 實(shí)踐性：有實(shí)際背景，有針對(duì)性。接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。2. 應(yīng)用性：注意實(shí)際問(wèn)題的要求。強(qiáng)調(diào)模型的實(shí)用價(jià)值。3. 綜合性：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)的綜合。四. 建模舉例數(shù)學(xué)建模（mathematical modelling) 是一種數(shù)學(xué)的思考方法，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。下面給出幾個(gè)數(shù)學(xué)建模的例子，重點(diǎn)說(shuō)明：如何做出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)；如何選擇參數(shù)、變量，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言確切的表述實(shí)際問(wèn)題；如何分析模型的結(jié)果，解決或解釋實(shí)際問(wèn)題，或根據(jù)實(shí)際情況改進(jìn)模型

3、。 例 1. 管道包扎問(wèn)題：用帶子包扎管道，使帶子全部包住管道，且用料最省。假設(shè)： 1. 直圓管，粗細(xì)一致。 2. 帶子等寬，無(wú)彈性。 3. 帶寬小于圓管截面周長(zhǎng)。 4. 為省工, 用纏繞的方法包扎管道.參量、變量： w ：帶寬，c：圓管截面周長(zhǎng)，q：傾斜角（傾斜角）包扎模型 （截口）包扎模型 進(jìn)一步問(wèn), 如果知道直圓管道的長(zhǎng)度，用纏繞的方法包扎管道，需用多長(zhǎng)的帶子？設(shè)管道長(zhǎng) l, 圓管截面周長(zhǎng) c, 帶子寬 w, 帶子長(zhǎng) m.帶長(zhǎng)模型 問(wèn)題:1. 若 l = 30m, c = 50cm, w = 30cm , 則最少要用多長(zhǎng)的帶子才能將管道纏繞包扎上?2. 現(xiàn)有帶長(zhǎng)m1=51m，計(jì)劃將這條帶

4、子全部用來(lái)纏繞包扎上面的管道。纏繞時(shí)允許帶子互相重疊一部分。應(yīng)該如何包扎這個(gè)管道？(計(jì)算結(jié)果精確到0.001) 例2. 桌子擺放問(wèn)題：在起伏不平的地面上能不能讓桌子的四個(gè)腳同時(shí)著地？建模證實(shí)，在一定條件下能在起伏不平的地面上放穩(wěn)桌子，即能讓桌子的四個(gè)腳同時(shí)著地。假設(shè)：1.桌子的四條腿等長(zhǎng)，四腳連線(xiàn)呈平面正方形abcd。2.地面的起伏是連續(xù)變化的。3 地面相對(duì)平坦，使得桌子在任何位置至少有三個(gè)腳同時(shí)著地。參數(shù)，變量。1. 如何描述“桌子的四個(gè)腳同時(shí)著地”？記 xa ， xb、 xc、 xd分別為腳 a，b, c, d與地面的距離。則 當(dāng)xa =xb= xc=xd =0時(shí)，桌子的四個(gè)腳同時(shí)著地。2

5、.如何用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述讓桌子的四腳著地？ 定位：方桌的對(duì)稱(chēng)中心o位于平面坐標(biāo)原點(diǎn) 移動(dòng)：桌子圍繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)。 記q為 ac與x軸的夾角, 則可用q表示桌子移動(dòng)的位置。q0. 于是桌子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，4個(gè)桌腳與地面的距離是的函數(shù)。由中心對(duì)稱(chēng)性知，只需兩個(gè)距離函數(shù)表示桌子的狀態(tài)。令 f(q)= xa(q ) + xc(q ), g(q)= xb(q )+ xd(q )如果在位置 q*桌子四腳落地, 則有 f(q*) = g(q*) = 0.根據(jù)假設(shè) 2 知 f(q) 和 g(q)是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)假設(shè) 3 有 f(q) g(q)0， q.根據(jù)假設(shè)1有 f(q1)=g(q0) 和 g(q1)=f(q0), 其中

6、 q1=q0+ 900模型：已知f(q) 和 g(q)是連續(xù)函數(shù)，f(q) g(q)0， q. 若 f(q0) = 0, g(q0) 0, 則存在q*使得f(q*) = g(q*)=0。證明：因?yàn)?f(q1)=g(q0)0, g(q1)=f(q0)=0, 令 h(q) = f(q) - g(q), 則 h(q) 連續(xù)且 h(q0) 0. 所以，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在q*, q0q * q1, 使得 f(q*) = g(q*)=0。問(wèn)題：1. 將例4的假設(shè)1改為“桌子的四條腿等長(zhǎng)，四腳連線(xiàn)呈平面長(zhǎng)方形abcd”，試構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證實(shí)結(jié)論同樣成立。2. 小王早上8：00從a城出發(fā)于下午5：0

7、0到達(dá)b城。次日早上8：00他又從b城出發(fā)沿原路返回并于下午5：00準(zhǔn)時(shí)到達(dá)a城。試用數(shù)學(xué)模型說(shuō)明a、b城之間定有一個(gè)位置，小王在往返a、b二城的途中于相同的時(shí)間到達(dá)該位置。例 3：交通路口紅綠燈十字路口綠燈亮30秒，最多可以通過(guò)多少輛汽車(chē)？ 假設(shè)1. 車(chē)輛相同，從靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)。2. 車(chē)距相同，啟動(dòng)延遲時(shí)間相等。3. 直行，不拐彎，單側(cè)，單車(chē)道。4. 秩序良好，不堵車(chē)。參數(shù)，變量： 車(chē)長(zhǎng)l，車(chē)距d，加速度a，啟動(dòng)延遲t， 在時(shí)刻 t 第 n 輛車(chē)的位置 sn（t）用數(shù)軸表示車(chē)輛行駛道路,數(shù)軸的正向?yàn)槠?chē)行駛方向, 數(shù)軸原點(diǎn)為紅綠燈的位置。于是, 當(dāng)sn(30)0時(shí), 表明在第30秒第n

8、輛車(chē)已通過(guò)紅綠燈，否則，結(jié)論相反。模 型1.停車(chē)位模型： sn（0）=(n-1)(l+d)2. 啟動(dòng)時(shí)間模型: tn =(n-1)t3. 行駛模型: sn(t)=sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, ttn參 數(shù) 估 計(jì) l=5m，d=2m，t=1s，a=2m/s解: sn(30)=-7(n-1)+(30-(n-1)20 得 n19 且 t19=18tn* =sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*ttn = sn(0) tnt解：sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1)0 得 n17 且 t17 * =5.5+16=21.530=t 成立。結(jié)

9、 論: 該路口最多通過(guò)17輛汽車(chē). 問(wèn)題1. 調(diào)查一個(gè)路口有關(guān)紅綠燈的數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型是否正確。 10. 調(diào)查的位置，走向，車(chē)道數(shù)，時(shí)間。 調(diào)查數(shù)據(jù)（至少三次）： 綠燈時(shí)間，通過(guò)的車(chē)數(shù)。分析數(shù)據(jù)不同的原因。 20. 分析模型的假設(shè)與實(shí)際是否一致；模型的參數(shù)與實(shí)際是否一致。 30. 分析模型的計(jì)算結(jié)果與觀測(cè)結(jié)果是否一致？為什么？不一致時(shí)，如何修改模型。2. 分析綠燈亮后，汽車(chē)開(kāi)始以最高限速穿過(guò)路口的時(shí)間。3. 給出穿過(guò)路口汽車(chē)的數(shù)量n隨時(shí)間t變化的數(shù)學(xué)模型。例 4：人員疏散建模分析意外事件發(fā)生時(shí)建筑物內(nèi)的人員疏散所用的時(shí)間。假 設(shè)1. 有一排k間教室，走道只有一個(gè)出口。 2 .人員撤離時(shí)，有序、單行

10、、（間隔）均勻、勻速。3. 室內(nèi)人員排成一隊(duì)列的時(shí)間不計(jì)，第一個(gè)人到達(dá)教室門(mén)口的時(shí)間不計(jì)(t0=0)。參 數(shù)：第 k 間教室人數(shù)為 nk+1, 教室距離為 lk, 門(mén)寬為d，行進(jìn)速度為 v，人體間隔為 d。如果只有第k間教室有人需要撤離，第 k間教室疏散時(shí)間為 tk模 型k=1 情形：t1=(n1d+l1)/vk=2 情形： 當(dāng)?shù)诙g教室人不需等待時(shí)， 即 (l2+d)(n1+1)d， t12= t2=(n2d+l1+l2+d )/v, 當(dāng)?shù)诙g教室人需要等待時(shí)， 即 ( l2 +d)(n1+1)d, 等待時(shí)間 t= (n1+1)d/v- ( l2 +d)/v, t12= t2 +t=(n1+

11、 n2+1 )d+l1 /v, 討 論 模型：t=(nd+l)/v, 分析：v, 則t; d, 則 t.令d=0, 則有t=l/v。 疏散時(shí)間與人數(shù)無(wú)關(guān)!? 假設(shè)中忽略了人體的厚度!補(bǔ)充 假 設(shè) 4. 人體厚度相同w模型 t=(n(d+w)+l)/v, 分析 若d=0, 則 t = (nw+l)/v 合理嗎？繼續(xù)補(bǔ)充假設(shè) 5. 速度與間隔有關(guān)v=v（d）模型 t=n(d+w)+l/v(d), 其中v=v(d)應(yīng)滿(mǎn)足v(d)是d的單調(diào)非減函數(shù)，v(0)=0 且 當(dāng)d充分大時(shí)， v=vmax.結(jié)論： 存在間隔 d* 和相應(yīng)的速度 v*, 使得疏散的時(shí)間最短。討論：1. 給出函數(shù)v(d)應(yīng)滿(mǎn)足的一個(gè)充分條件，保證存在唯一的間隔d* ，使得疏散的時(shí)間最短。2. 通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)給出函數(shù)v(d).觀測(cè)數(shù)據(jù)：間隔d（厘米）運(yùn)動(dòng)速度v（米/秒）擬合函數(shù) 問(wèn)題1. 如果n=400，l=30m，w=0.2m, 求最短的疏散時(shí)間。2. 給出 當(dāng) k=3 時(shí)的人員疏散模型.五. 建模要點(diǎn)1明確研究目標(biāo)，力圖從實(shí)際問(wèn)題中歸納出所采用的假設(shè)和解題線(xiàn)索;2用假設(shè)簡(jiǎn)化問(wèn)題，在實(shí)際與數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化之間選擇恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn), 這是建模成功與否的關(guān)鍵, 體現(xiàn)了建模工作的想象力和創(chuàng)造力;3進(jìn)行正確的推理，在無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)時(shí), 可以使用“