直線一級倒立擺控制器設計(哈工大)

1、哈爾濱工業(yè)大學課程設計說明書（論文）1. 概述自動控制理論（包括古典部分和現(xiàn)代部分）是電氣工程系學生的一門必修專業(yè)基礎課，課程中的一些概念相對比較抽象，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、收斂速度和抗干擾能力等。倒立擺系統(tǒng)是一個典型的非線性、強耦合、多變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為控制系統(tǒng)的被控對象，它是一個理想的教學實驗設備，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現(xiàn)出來。本課程設計的目的是讓學生以一階倒立擺為被控對象，了解用古典控制理論設計控制器（如pid控制器）的設計方法和用現(xiàn)代控制理論設計控制器（極點配置）的設計方法，掌握matlab仿真軟件的使用方法及控制系統(tǒng)的調試方法，加深學生對所學課程的理解，培養(yǎng)

2、學生理論聯(lián)系實際的能力。本課程設計的被控對象采用固高公司生產的gip-100-l型一階倒立擺系統(tǒng)，課程設計包括三方面的內容：（1）建立直線一級倒立擺的線性化數學模型；（2）倒立擺系統(tǒng)的pid控制器設計、matlab仿真及實物調試；（3）倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點配置控制器設計、matlab仿真及實物調試。1.1 實驗設備簡介一級倒立擺系統(tǒng)的結構示意圖如圖1-1所示。圖1-1 一階倒立擺結構示意圖系統(tǒng)組成框圖如圖1-2所示。圖1-2 一級倒立擺系統(tǒng)組成框圖系統(tǒng)是由計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，

3、擺桿的角度、角速度信號由光電碼盤2反饋給運動控制卡。計算機從運動控制卡中讀取實時數據，確定控制決策（小車運動方向、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，通過皮帶，帶動小車運動，保持擺桿平衡。1.2設計內容1.2.1建立一級倒立擺數學模型在自動控制理論課程中，有一章專門講述控制系統(tǒng)的數學模型的建立方法，并將非線性數學模型在一定條件下化簡成線性數學模型，在此以一級倒立擺為例，建立其數學模型，并在擺角附近將其非線性數學模型線性化，學生通過實際數學模型的推導，熟悉機理建模的一般方式，加深對控制對象的理解。1.2.2控制系統(tǒng)的matlab仿真自動控制理論（古

4、典部分）中所講的控制器的設計方法很多，如根軌跡設計法、頻率特性設計法和pid設計法，在實際系統(tǒng)中pid控制器應用最多，在本課程設計中選擇pid控制器，pid控制器的特點是只能對單變量（此處為擺桿角度）進行控制。在現(xiàn)代控制理論中，采用狀態(tài)空間極點配置方法設計控制器，該方法可對多變量進行控制（如同時控制擺桿角度和小車位置），在這里通過對倒立擺的控制，讓學生理解基于傳遞函數的單變量控制和基于狀態(tài)空間的多變量控制的差別。本部分課程設計的目的是學習pid控制器和狀態(tài)空間極點配置控制器的設計方法，熟悉控制器設計的一般方法，了解控制器參數對系統(tǒng)性能指標的影響，學會根據控制指標要求和實際響應調整控制器的參數，

5、加深學生對所學內容的理解。學生自行編制倒立擺的matlab控制仿真軟件，自行進行控制器的設計和仿真，仿真的目的一方面是讓學生得到滿足系統(tǒng)性能指標的控制器參數，另一方面是讓學生將理論分析與仿真結果進行對比，更直觀地理解各參數對控制性能的影響。1.2.3. 倒立擺控制系統(tǒng)實物調試具體實驗步驟如下：（1）將小車推到導軌正中間位置，并且使擺桿處于自由下垂的靜止狀態(tài)；（2）給計算機和電控箱通電；（3）設置控制器參數； （4）控制倒立擺；由于pid控制只能控制擺桿的擺角，不能控制小車的位置，所以在pid控制中小車可能向一個方向運動，此時需用手輕輕扶一下擺桿，以避免小車“撞墻”。極點配置控制方式可同時對擺桿

6、角度和小車位置進行控制，因此不會出現(xiàn)“撞墻”現(xiàn)象。（）觀察控制效果：用金屬棒碰一下擺桿，觀察倒立擺在干擾信號作用下的輸出響應。若不能達到指標要求，分析原因，重新設計，直到對實際系統(tǒng)的控制達到滿意的結果。2. 直線一級倒立擺的數學模型設計目的：建立一級倒立擺系統(tǒng)的數學模型，并在擺角附近將其非線性數學模型線性化，學生通過實際數學模型的推導，加深對系統(tǒng)建模和模型線性化問題的理解。進行matlab仿真，驗證建模的準確性，了解存在不穩(wěn)定極點時系統(tǒng)的響應。設計要求：寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程，得出傳遞函數和狀態(tài)空間表達式。用matlab進行階躍輸入仿真，對控制對象的模型加以驗證。設計報告要求（1）推導一階倒立擺的

7、數學模型，并將其在工作點線性化，給出微分方程、傳遞函數和狀態(tài)空間表達式三種數學模型；（2）給出單位階躍響應曲線。（3）分析建模的準確性和系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定特性的響應形式。2.1 直線一級倒立擺數學模型的推導系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數學手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關系。這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數學算法的研究等等內容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數學手段建立起系統(tǒng)內部的輸入狀態(tài)關系。對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是

8、自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。下面我們采用牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數學模型。在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖 2-1 所示。圖 2-1 直線一級倒立擺模型本系統(tǒng)內部各相關參數定義如下： 小車質量 擺桿質量 小車摩擦系數 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 擺桿慣量 加在小車上的力 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖2-2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受

9、力分析圖。其中，和為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向為矢量正方向。圖 2-2 小車及擺桿受力分析應用newton方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (2-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： (2-2)即： (2-3)把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： （2-4）為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： (2-5)即： (2-6)力矩平衡方程如下： (2-7)注意：此方程

10、中力矩的方向，由于，故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去和，得到第二個運動方程： (2-8)1微分方程模型設，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小，即 時，則可以進行近似處理：，。為了與控制理論的表達習慣相統(tǒng)一，即一般表示控制量，用來代表被控對象的輸入力，線性化后得到該系統(tǒng)數學模型的微分方程表達式： (2-9)2傳遞函數模型對方程組（2-9）進行拉普拉斯變換，得到 (2-10)注意：推導傳遞函數時假設初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組（2-10）的第一個方程，可以得到 (2-11)或 (2-12)如果令，則有： (2-13)把上式代入方程組（2-10）的第二個方程，

11、得到 (2-14)整理后得到以輸入力為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數： (2-15)其中 3狀態(tài)空間數學模型由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式： (2-16)方程組（2-9）對解代數方程，得到如下解： (2-17)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： (2-18)由(2-9)的第一個方程為：對于質量均勻分布的擺桿有：于是可以得到：化簡得到： (2-19)設，則有： （2-20）實際系統(tǒng)參數如下； 小車質量 1.096 kg 擺桿質量 0.109 kg 小車摩擦系數 0 .1n/m/sec 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.25m 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m把上述

12、參數代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數： (2-21) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為： (2-22)擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數： (2-23)以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： (2-24)以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： (2-25)需要說明的是，在固高科技所有提供的控制器設計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。2.2 系統(tǒng)階躍響應分析上面已經得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，先對其進行階躍響應分析，在matlab中鍵入以下命令：clear;a=0 1 0 0;0 0 0 0

13、;0 0 0 1;0 0 29.4 0;b=0 1 0 3;c=1 0 0 0;0 1 0 0;d=0 0;step(a,b,c,d)得到如下計算結果：圖 2-3 直線一級倒立擺單位階躍響應仿真可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。3. 直線一級倒立擺pid控制器設計本章主要利用pid控制算法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進行控制器設計。在設計的過程中，要求熟悉控制參數、對系統(tǒng)性能的影響，然后按照所要求的控制指標并綜合實際響應結果恰當地調整參數。運用matlab仿真軟件可以快捷地進行系統(tǒng)仿真和參數調整，本章第2節(jié)的內容即是運用matlab軟件對pid控制系統(tǒng)的設計和仿真。第3節(jié)中

14、，將對控制系統(tǒng)進行實際的運行和參數調試，以獲得一組最佳的pid控制參數。設計目的：學習pid控制器的設計方法，了解控制器各個參數對系統(tǒng)性能的影響，學會根據控制指標要求和實際響應調整pid控制器的參數。設計要求：設計pid控制器，使得當在小車上施加0.1n的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）穩(wěn)定時間小于5秒；（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度。設計報告要求：（1）給出系統(tǒng)擺桿角度和小車位置的仿真圖形及控制器參數，并對各個參數對系統(tǒng)控制效果的影響進行說明；（2）給出實際控制曲線和控制器參數，對響應的動態(tài)和靜態(tài)指標進行分析。3.1 pid控制分析在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用

15、的控制規(guī)律是pid控制。常規(guī)pid控制系統(tǒng)原理框圖如圖3-1所示。系統(tǒng)由模擬pid控制器kd(s)和被控對象g(s)組成。圖3-1 常規(guī)pid控制系統(tǒng)圖pid控制器是一種線性控制器，它根據給定值與實際輸出值構成控制偏差將偏差的比例(p)、積分(i)和微分(d)通過線性組合構成控制量，對被控對象進行控制，故稱pid控制器。其控制規(guī)律為或寫成傳遞函數的形式式中：比例系數；積分時間常數；微分時間常數。在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也將傳遞函數寫成式中：比例系數；積分系數；微分系數。簡單說來，pid控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：（1）比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號，偏差一旦產生，控制器立即產生控制作

16、用，以減少偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數，越大，積分作用越弱，反之則越強。（3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調節(jié)時間。這個控制問題和我們以前遇到的標準控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應。系統(tǒng)框圖如圖3-2所示：圖3-2 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖圖中是控制器傳遞函數，是被控對象傳遞函數。考慮到輸入，結構圖可以很容易地變換成圖3-3 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)

17、簡化圖該系統(tǒng)的輸出為其中： 被控對象傳遞函數的分子項被控對象傳遞函數的分母項pid控制器傳遞函數的分子項pid控制器傳遞函數的分母項通過分析上式就可以得到系統(tǒng)的各項性能。由(2-13)可以得到擺桿角度和小車加速度的傳遞函數：pid控制器的傳遞函數為：只需調節(jié)pid控制器的參數，就可以得到滿意的控制效果。前面的討論只考慮了擺桿角度，那么，在控制的過程中，小車位置如何變化呢？小車位置輸出為：通過對控制量雙重積分即可以得到小車位置。3.2 pid控制參數設定及matlab仿真對于pid控制參數，我們采用以下的方法進行設定。由實際系統(tǒng)的物理模型：在simulink中建立如圖3-4所示的直線一級倒立擺模

18、型：（進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol education products”打開“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment pid experiments”中的“pid control simulink”）。圖 3-4 直線一級倒立擺pid控制matlab 仿真模型其中pid controller 為封裝（mask）后的pid 控制器，雙擊模塊打開參數設置窗口，如圖3-5所示。圖 3-5 pid參數設置窗口先設置pid控制器為p控制器，令，得到圖3-6仿真結果：圖

19、 3-6 p控制仿真結果圖（）從圖3-6中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量，令，得到如圖3-7仿真結果：圖 3-7 p控制仿真結果圖（）從圖3-7中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，周期約為0.7s。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數，令，得到圖3-8仿真結果：圖3-8 pd控制仿真結果圖（，）從圖3-8中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時間過長，大約為4 秒，且在兩個振蕩周期后才能穩(wěn)定，因此再增加微分控制參數，令：，。仿真得到圖3-9結果：圖3-9 pd控制（，）從圖3-9可以看出，系統(tǒng)在1.5秒后達到平衡，但是存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。為消除穩(wěn)態(tài)誤差，我們增加積分參數，令：，得到圖3-10仿真結果：圖3

20、-10 pid 控制（，）從上面仿真結果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時間明顯增大。雙擊“scope1”，得到小車的位置輸出曲線如圖3-11所示。圖 3-11 pd控制（小車位置曲線）可以看出，由于pid控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會往一個方向運動。也可以采用編寫m文件的方法進行仿真。直線一級倒立擺pid控制matlab 仿真程序如下。clear;num=0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;kd=10;k=40;ki=10;numpid=kd k ki;denpid=1 0;numc=c

21、onv(num,denpid)denc=polyadd(conv(denpid,den),conv(numpid,num)t=0:0.005:15;figure(1);impulse(numc,denc,t)（進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol education products”打開“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment pid experiments”中的“pid control m files”）運行后得到如下的仿真結果：圖 3-12 pid 控制matl

22、ab 仿真結果（脈沖干擾） 3.3 pid 控制實驗matlab版實驗軟件下的實驗步驟：(1) 打開直線一級倒立擺pid控制界面如圖3-13所示：（進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol education products”打開“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment pid experiments”中的“pid control demo”） 圖3-13 直線一級倒立擺matlab 實時控制界面2) 雙擊“pid”模塊進入pid 參數設置，如圖3-14所示，把仿真得到

23、的參數輸入pid控制器，點擊“ok”保存參數。圖3-14 參數設計調整(3) 點擊編譯程序，完成后點擊使計算機和倒立擺建立連接。(4) 點擊運行程序，檢查電機是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開，當小車運動到正負限位的位置時，用工具擋一下擺桿，使小車反向運動。 (5) 實驗結果如下圖所示：圖 3-15 pid 控制實驗結果1 從圖3-15中可以看出，倒立擺可以實現(xiàn)較好的穩(wěn)定性，擺桿的角度在3.14（弧度）左右。同仿真結果，pid控制器并不能對小車的位置進行控制，小車會沿滑桿有稍微的移動。在給定干擾的情況下，小車位置和擺桿角度的變化曲線如圖3-16所示：圖3

24、-16 pid 控制實驗結果2（施加干擾）可以看出，系統(tǒng)可以較好的抵換外界干擾，在干擾停止作用后，系統(tǒng)能很快回到平衡位置。修改pid控制參數，如圖3-17所示： 圖 3-17 參數設置觀察控制結果的變化，可以看出，系統(tǒng)的調整時間減少，但是在平衡的時候會出現(xiàn)小幅的振蕩。圖3-18 pid 控制實驗結果3（改變pid 控制參數）實驗中，采用pd控制器，設計參數為kp=117; ki=0; kd=10。所得仿真結果如圖3-19所示。圖3-19 pd控制器實驗結果可以看出，倒立擺的擺角幅度在0.05弧度左右。倒立擺的位置隨著時間的推移而大致呈線性變化。說明所設計的pd控制器對倒立擺的擺角控制性能較佳，

25、但無法實現(xiàn)對倒立擺位置的控制。4. 直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制器設計經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設計時一般需要有關被控對象的較精確模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據現(xiàn)代數學工具，將經典控制理論的概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。設計目的：學習狀態(tài)空間極點配置控制器的設計方法，分析各個極點變化對系統(tǒng)性能的影響，學會根據控制指標要求和實際響應調整極點的位置和控制器的參數。設計要求：用極點配置方法設計控制器，使得當在小車上施加0.1n的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為

26、：（1）要求系統(tǒng)調整時間小于3秒；（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度。設計報告要求：（1）給出系統(tǒng)擺桿角度和小車位置的仿真控制圖形及控制器參數，并對極點的位置和各個參數對系統(tǒng)控制效果的影響進行分析；（2）給出實際控制曲線和控制器參數，并對響應的動態(tài)和靜態(tài)指標進行分析。4.1 狀態(tài)空間分析狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖如圖4-1所示。圖4-1 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制原理圖狀態(tài)方程為：式中：為狀態(tài)向量（維），為控制向量（純量），為維常數矩陣，為維常數矩陣。選擇控制信號：求解上式，得到方程解為：可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，選擇適當，對于任意的初始狀態(tài)，當趨于無窮時，都可以使趨于0。極點配

27、置的設計步驟：(1) 檢驗系統(tǒng)的可控性條件。(2) 從矩陣的特征多項式來確定的值。(3) 確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣：其中為可控性矩陣，(4) 利用所期望的特征值，寫出期望的多項式并確定的值。(5) 需要的狀態(tài)反饋增益矩陣由以下方程確定：4.2 極點配置及matlab仿真前面我們已經得到了直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：于是有：，直線一級倒立擺的極點配置轉化為：對于如上所述的系統(tǒng)，設計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調整時間（約3秒）和合適的阻尼（阻尼比）。下面采用四種不同的方法計算反饋矩陣。方法一： 倒立擺極點配置原理圖如圖4-2所示。圖4-2 倒立

28、擺極點配置原理圖極點配置步驟如下：(1) 檢驗系統(tǒng)可控性（略）(2) 計算特征值根據要求，并留有一定的裕量（設調整時間為2秒），我們選取期望的閉環(huán)極點，其中：其中，是一對具有的主導閉環(huán)極點，位于主導閉環(huán)極點的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：因此可以得到：由系統(tǒng)的特征方程：因此有系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：(3) 確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣：式中：于是可以得到：(4) 狀態(tài)反饋增益矩陣為：得到控制量為：；以上計算可以采用matlab編程計算。直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置matlab 程序1： a=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;b=0 1

29、 0 3;c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0 0;j=-10 0 0 0;0 -10 0 0;0 0 -2-2*sqrt(3)*i 0;0 0 0 -2+2*sqrt(3)*i;pa=poly(a);pj=poly(j);m=b a*b a2*b a3*b;w=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0;t=m*w;k=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(t);ac=a-b*k;bc=b;cc=c;dc=d; t=0:0.005:5;u=0.2*one

30、s(size(t);cn=1 0 0 0;nbar=rscale(a,b,cn,0,k);bcn=nbar*b;y,x=lsim(ac,bcn,cc,dc,u,t); plot(t,x(:,1),-); hold on;plot(t,x(:,2),-.); hold on;plot(t,x(:,3),.); hold on;plot(t,x(:,4),*); hold on; legend(cartpos,cartspd,pendang,pendspd)（進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol education products”打開“inverted pendul

31、umlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment poles experiments”中的“poles control m file1”）運行得到以下結果：圖4-3 極點配置仿真結果可以看出，在給定系統(tǒng)干擾后，倒立擺可以在2秒內很好的回到平衡位置，滿足設計要求。方法二： 矩陣（abk）的特征值是方程式的根：這是s的四次代數方程式，可表示為適當選擇反饋系數系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。把四個特征根設為四次代數方程式的根，則有比較兩式有下列聯(lián)立方程式如果給出的是實數或共軛復數，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實數。據此可求解出實數。當將特征根指

32、定為下列兩組共軛復數時又 利用方程式可列出關于的方程組：利用如下直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置matlab程序2。clear;syms a s b k1 k2 k3 k4;a=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 a 0;b=0 1 0 b;ss=s 0 0 0;0 s 0 0;0 0 s 0;0 0 0 s;k=k1 k2 k3 k4j=-10 0 0 0;0 -10 0 0;0 0 -2-2*sqrt(3)*i 0;0 0 0 -2+2*sqrt(3)*i;ans=a-b*k;p=poly(ans)pj=poly(j)（進入matlab simulink 實時控制工具箱“

33、googol education products”打開“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment poles experiments”中的“poles control m file2”）求解后得，。即施加在小車水平方向的控制力：可以看出，和方法一的計算結果一樣。方法三：利用愛克曼公式計算愛克曼方程所確定的反饋增益矩陣為：其中 利用matlab 可以方便的計算，程序如下：直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置matlab 程序3（愛克曼公式）clear;a=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;

34、0 0 29.4 0;b=0 1 0 3;m=b a*b a2*b a3*b;j=-10 0 0 0;0 -10 0 0;0 0 -2-2*sqrt(3)*i 0;0 0 0 -2+2*sqrt(3)*i;phi=polyvalm(poly(j),a);k=0 0 0 1*inv(m)*phi（進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol education products”打開“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment poles experiments”中的“poles

35、control m file3”）運行可以得到：可以看出，計算結果和前面兩種方法一致。方法四：可以直接利用matlab的極點配置函數k,prec,message = place(a,b,p)來計算。直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置matlab 程序4（愛克曼公式）如下所示。clear;a=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;b=0 1 0 3;p=-10-0.0001*j,-10+0.0001*j,-2-2*sqrt(3)*j,-2+2*sqrt(3)*j;k=place(a,b,p)（進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol educa

36、tion products”打開“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment poles experiments”中的“poles control m file4”）為匹配place()函數，把-10,-10兩個極點改成了-10-0.0001j，-10+0.0001j，因為增加的虛部很小，可以忽略不計，運行得到如下結果：可以看出，以上四種方法計算結果都保持一致。圖4-4狀態(tài)空間極點配置圖4-5 參數設定下面對以上的計算結果在matlab simulink 中進行仿真，打開直線一級倒立擺的仿真模型：（

37、進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol education products”打開“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experimentpoles experiments”中的“poles control simulink”）其中“gl1ip state-space”為直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型，雙擊打開設置窗口設置相應的參數： 雙擊“controller1”模塊，打開狀態(tài)反饋矩陣設置窗口：把計算得到的值輸入上面的窗口。運行仿真，得到以下結果：圖4-6反饋矩陣參數設定圖4-7狀態(tài)空間極點配置仿真結果可以看出，在存在干擾的情況下，系統(tǒng)在3 秒內基本上可以恢復到新的平衡位置。4.3 極點配置控制實驗實驗步驟如下：(1) 進入matlab simulink 中“ matlab6p5toolboxgoogoltechinvertedpendulum linear inverted pendulum, ”目錄，打開直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制程序如下：（進入matlab simulink 實時控制工具箱“googol education products”打開“inverted pendulumlinear inverted