考研數(shù)學(xué)三公式

1、導(dǎo)數(shù)公式:高等數(shù)學(xué)公式整理doc(arcsin x)(arccos x)(arctgx )(arcctgx )1,1 x211 x21_1 x211 x2基本積分表：tgxdx in cosx cctgxdx in sin x csecxdx in secx tgx cdx2- cos xdxsin2 x2sec xdx tgx c2csc xdx ctgx ccscxdx in cscx ctgx csecx tgxdx secx cdx1 x - 一arctg c a acscx ctgxdx cscx cdx1 x ain2a x axx . aa dx cin ashxdx chx c

2、(tgx)sec2 x2(ctgx)csc x(secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx(ax)axlnazl 、1(log a x)xln adxchxdx shx c1a xin2aa xdx.a2 x2一x arcsin adx22x aln(xx2 a2) c22in sinn xdx cosn xdx0022 x 22,x a dx : x a2mx2 a2dx vx2a222 . x 22、a x dx a x 2ina- ln(xx2 a2) ca .r22in x x xa22 a . xarcsin 一 c2 a三角函數(shù)的有理式積分:_2一.一 2u 1 u

3、sin x 2, cosx 2,1 u1 u,x u tg-, 2dx2du1 u2sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tv-tg1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差角公式:和差化積公式:sinsin2sin 一cos22sinsin2 cos-sin22coscos2cos-cos22coscos2 sin -一 sin22倍角公式:sin 2 2sin coscos2ctg2tg2_2_22cos 1 1 2sinctg212ctg2tg1 tg2_ 2. 2cossinsin3cos3tg33sin4sin334cos3 cos3

4、tg tg31 3tg21 cos sin 一2.2半角公式:1 coscos-22tn 1cos1 cossintg2,1sin1coscos正弦定理：abc2rsin asin bsinc反三角函數(shù)性質(zhì):,1 cos 1 cosctg 一21 cos sinsin1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcoscarcsinx - arccosx2arctgxarcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲( leibniz )公式:n(n)八 k (n k) (k)(uv) cnu vk 0(n)(n 1) n(n 1) (n 2)u v nu v u v2!n(n 1) (n k 1)k!(n k

5、) (k)v(n) uv中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) f (a) f ( )(b a)柯西中值定理：fb一g f_sf(b) f(a) f ()當(dāng)f(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理多元函數(shù)微分法及應(yīng)用x fx(x,y) xy z fy(x,y) y全微分：dz dx dy x y全微分的近似計算：z dz多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：, u . u . u .du dx dy dzzfu(t)mt)dz z u z v dt u t v tz fu(x,y),v(x,y)當(dāng) u u(x,y), v v(x,y)時,du dx dyx y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)f(x,

6、y) 0, v , v , dv dx dy x y2dy fx 山一(邑)+(三)曲 dx fy dx2 x fy y fy dx隱函數(shù) f(x,y,z) 0, -fx,xfzz fyy百多元函數(shù)的極值及其求法:設(shè) fx(xo,yo)fy(xo,yo) 0,令:fxx(xo,yo) a, fxy(xo, yo) b,fyy(xo,yo) c2ac b2則：ac b22ac b20時 a 0,(x。，y。)為極大值a 0,(x0, y0)為極小值0時，無極值0日t,不確定常數(shù)項級數(shù)：(n 1)n2等比數(shù)列：1 q q2等差數(shù)列：1 2 3調(diào)和級數(shù):1 - 12 3級數(shù)審斂法：1、正項級數(shù)的審斂

7、法 根植審斂法(柯西判 別法)：1時，級數(shù)收斂設(shè)：1rimn-u；則1時，級數(shù)發(fā)散01時，不確定2、比值審斂法：1時，級數(shù)收斂設(shè)： liml則 1時，級數(shù)發(fā)散 n 5un1時，不確定3、定義法：sn u1 u2un;limsn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù)u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的審斂法萊布尼茲定理:, 一、一一 u n un 1一/ 一 一， 一r如果交錯級數(shù)滿足那么級數(shù)收斂且其和s u1,其余項rn的絕又t值rn un1lim un 0 n絕對收斂與條件收斂:(1)u1 u2un ,其中un為任意實數(shù);u2u3如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù);

8、如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù):3攵斂;n4收斂;n一(3)為a1x數(shù)軸上都收斂，則必存求收斂半徑的方法：設(shè)函數(shù)展開成哥級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):余項：rnxo1時發(fā)散1時收斂2a2xf(n1)( )(x(n 1)!,，一11時，收斂于1 x1時,發(fā)散nanx/|x在r,使：|x|xlimna n 1an,如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全r時收斂r時發(fā)散，其中r稱為收斂半徑。r時不定其中an, an 1是（3）的系數(shù)，則f(x)f(xo)(x xo)f (x0)2-2(x x0)川,r時，r 0f(x x)n n!x0）n 1, f（x）可以展開成泰勒級數(shù)

9、的充要條件是：lim rn 00時即為麥克勞林公式:f(x) f(0) f(0)x g)x2產(chǎn)(0) n xn!些函數(shù)展開成騫級數(shù):(1 x)mm(m 1) 21 mx - x2!m(m 1) (m n 1) n:xn!(1x1)sinx x5 x5!2n 1(1)nx(2n 1)!歐拉公式:ix ixe e_ ix _ _ _ 一 一 e cosx isinxcosx或sin xix e2ix e微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：y f(x, y) 或 p(x,y)dx q(x,y)dy 0(x,y),即寫成y的函數(shù)，解法：x上分離變量，積分后將 )代替u,(u) ux可分離變量的微分方程：

10、一階微分方程可以化 為g(y)dy f(x)dx的形式，解法: g(y)dy f (x)dx 得：g(y) f (x) c稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成電 f(x,y) dx、幾 ydydudu,、 dx設(shè)u z，則u x ，u 一(u), 一xdxdxdxx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dy p(x)y q(x) dxp(x)dxc)e/當(dāng)q(x) 001,為齊次方程，y ce xdx，當(dāng)q(x)訓(xùn)，為非齊次方程，y ( q(x)edx2 貝努力方程：dy p(x) y q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程：如果p(x, y)dx q(x,

11、 y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即:u_u一du(x, y)p(x, y)dxq(x,y)dy0,其中:一p(x,y),一q(x,y)xyu(x,y)c應(yīng)該是該全微分方程的通解。二階微分方程：d 2ydyf (x) 0寸為齊次dxy p(x)dy q(x)y f(“f(x) 0時為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：()r2 pr q 0,其中r 2, r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y , y , y的系數(shù);2、求出()式的兩個根r1,r23、根據(jù)r1，r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解：口

12、，r2的形式(*)式的通解兩個不相等實根(p2 4q 0)1x2xy cec2e兩個相等實根(p2 4q 0)y (c1 c2x)e,1x一對共軻復(fù)根(p2 4q 0)ri ,2iprq p222y e x (c1 cos x c2 sin x)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y py qy f(x), p,q為常數(shù)f(x) expm(x)型，為常數(shù)；f (x) exp(x)cos x pn(x) sin x型線性代數(shù)公式大全一一最新修訂1、行列式1 . n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式；2 .代數(shù)余子式的性質(zhì)：、aj和aj的大小無關(guān)；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元

13、素的代數(shù)余子式為0;、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為a| ;3 .代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：mij ( 1)i jajaj ( 1)i jmj4 . 設(shè)n行列式d :n( n 1)將d上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為d1，則d1 ( 1)=口 ；n(n 1)將d順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90：,所得行列式為 d2，則d2 ( 1)二口 ；將d主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為 d3 ,則d3 d ;將d主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為d4 ,則d4 d ;5.行列式的重要公式:、主對角行列式：主對角元素的乘積；n (n 1)、副對角行列式：副對角元素的乘積(1尸；、上、下三角行列式

14、(:主對角元素的乘積;n(n 1)、和，：副對角元素的乘積(1) ;、拉普拉斯展開式:aiib (1)+ ab、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積;、特征值;6.n對于n階行列式|a，恒有：| e a n ( 1)ksk n k ,其中 k 1sk為k階主子式;7. 證明a 0的方法:、|a |a ；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組 ax 0 ,證明其有非零解;、利用秩，證明r(a) n ;、證明0是其特征值；2、矩陣1. a是n階可逆矩陣：a| 0 (是非奇異矩陣)；r(a) n (是滿秩矩陣)a的行(列)向量組線性無關(guān)；齊次方程組ax 0有非零解；b rn , ax b總有唯一解；a與e等價；

15、a可表示成若干個初等矩陣的乘積；a的特征值全不為0；at a是正定矩陣；a的行(列)向量組是 rn的一組基；a是rn中某兩組基的過渡矩陣；2 .對于n階矩陣a ： aa* a* a a e無條件恒成立；1*11 tt 1*tt*3 . (a )(a)(a )(a )(a ) (a )t t t*111(ab)tbt at(ab)b a(ab)1 b 1a 14. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；整理 doc5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 a、b可逆:a若aa2 ，則：整理doci、|a ai|a|as；ai1tt1a21、a，；-1aoa 1o、ao;（主對角

16、分塊）obob 111、0aob;（副對角分塊）boa 1o111 _1a c a a cb、，；（拉普拉斯）o b o b 1、a 1b 1ca 1bo ；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個m n矩陣a，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的:er o等價類：所有與a等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣;對于同型矩陣a、b ,若r（a） r（b） ab;2.行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非。元素必須為1;、每行首個非。元素所在列的其他元素必須為0;3.初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）、若

17、（a,e） （e,x）,則 a可逆，且 x a 1 ;c、對矩陣（a,b）做初等行變化，當(dāng) a變?yōu)閑時，b就變成a 1b ,即：（a,b） （e,a1b）;、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程ax b,如果（a,b）n（e,x）,則a可逆，且x a 1b;4.初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；,左乘矩陣a , i乘a的各行元素；右乘,i乘a的各列元素;n、對調(diào)兩行或兩列，符號111e(i,j),且 e(i, j) 1 e(i, j),例如：1111、倍乘某行或某列，符號r，1 一e(i(k),且 e(i(k) e(i(

18、),例如: k11k1、倍加某行或某列，符號11 ke(ij(k,且 e(ij(k) 1 e(ij(k),如： 1111- (k 0)； k11 k1 (k 0)；15 .矩陣秩的基本性質(zhì)：、0 r(am n) min(m,n);、r (at ) r (a);、若 a m b ,則 r(a) r(b);、若p、q可逆，則r(a) r(pa) r(aq) r(paq);(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max(r(a),r(b) r(a,b) r(a) r(b);(派)、r(a b) r(a) r(b) ; (x)、r(ab) min(r(a),r(b) ; (x)、如果a是m n矩陣，b是n s矩陣

19、，且ab 0,則：()i、b的列向量全部是齊次方程組 ax 0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；n、 r(a) r(b) n、若a、b均為n階方陣，則r(ab) r(a) r(b) n；6 .三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量) 行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;1 a c、型如0 1b的矩陣：利用二項展開式;0 0 1n二項展開式:n 八 0 n 八 1 n 1 1m n m mn 11 n 1n nm m m. n(a b)cnacna b cn a bcn a bcnbcn a bm 0注：i、 (a b)n展開后有n 1項;n、ccnn(n 1)bi i (n m

20、1) n!1|2|3|in|mm!(n m)!出、組合的性質(zhì)：cnm cnmcm1cmcm 1c：2nr 0rcn nc； 1 ;、利用特征值和相似對角化:7 .伴隨矩陣:n、伴隨矩陣的秩：r(a*)10、伴隨矩陣的特征值：(axr( a) nr(a) n 1 ；r(a) n 1x,a* |a a 1a* x 1ax)；、a*1aa1、a* a8 .關(guān)于a矩陣秩的描述：、r(a) n, a中有n階子式不為0, n 1階子式全部為0;(兩句話)、r(a) n , a中有n階子式全部為0;、r(a) n , a中有n階子式不為0;9 . 線性方程組：ax b,其中a為m n矩陣，則：、m與方程的個

21、數(shù)相同，即方程組ax b有m個方程;、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組 ax b為n元方程;10 .線性方程組 ax b的求解：、對增廣矩陣b進行初等行變換(只能使用初等行變換)；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程:d、a11 x1a12 x2a21x1 a22x2am1x1am 2x2hiana21a12a22a1na2nam1am 2amna?iiiana2x2|、有解的充要條件:a1n xna?nxnanm xnbb2bnx1x2b1b2ax b (向量方程，a為m n矩陣，m個方程，n個未知數(shù))xmbmx1

22、x2xnanxnr(a)(全部按列分塊，其中bb2 );bn(線性表出)r(a, ) n ( n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù))4、向量組的線性相關(guān)性1. m個n維列向量所組成的向量組 a：1, 2,|, m構(gòu)成n m矩陣a (1, 2,|, m)；m個n維行向量所組成的向量組b： 1t, ；,|卜：構(gòu)成m n矩陣bt 1t 2.t m含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng);2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)、向量的線性表出、向量組的相互線性表示ax0有、無非零解；（齊次線性方程組）axb是否有解；（線性方程組）axb是否有解；（矩陣方程）3.矩陣am n與bl n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組

23、ax 0和bx 0同解；（p101例14） 4. r(ata) r(a) ; ( p101 例 15)5.n維向量線性相關(guān)的幾何意義:、線性相關(guān)、,線性相關(guān)、,線性相關(guān)0 ；,坐標成比例或共線（平行）；,共面；6 .線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若1, 2,（1i，s線性相關(guān)，則1, 2,|, s, s1必線性相關(guān)；若1, 2,|, s線性無關(guān)，則1, 2,帆，s1必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組a的每個向量上添上n r個分量，構(gòu)成n維向量組b:若a線性無關(guān)，則b也線性無關(guān)；反之若 b線性相關(guān)，則a也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減） 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不

24、確定；7 .向量組a （個數(shù)為r ）能由向量組b （個數(shù)為s）線性表示，且a線性無關(guān)，則r s（二版p74定理7）;向量組a能由向量組b線性表示，則r（a） r（b）; （ p86定理3）向量組a能由向量組b線性表示 ax b有解；r（a） r（a,b） （ p85 定理 2）向量組a能由向量組b等價 r（a） r（b） r（a,b） （ %定理2推論）8 .方陣a可逆存在有限個初等矩陣 p,p2,|,pl ,使a pp2ii,；r、矩陣行等價：abpa b （左乘，p可逆）ax 0與bx 0同解c、矩陣列等價：abaq b （右乘，q可逆）；、矩陣等價：ab paq b （p、q可逆）；9

25、.對于矢i陣am n與bi n：、若a與b行等價，則a與b的行秩相等；、若a與b行等價，則ax 0與bx 0同解，且a與b的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣a的行秩等于列秩；10 .若 am sbsn cm n ,則：、c的列向量組能由a的列向量組線性表示，b為系數(shù)矩陣；、c的行向量組能由b的行向量組線性表示，at為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11 .齊次方程組bx 。的解一定是abx 。的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、abx 0只有零解bx 0只有零解；、bx 0 有非零解abx 0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組bn r : bi, b2,1

26、“,br可由向量組an s ： 3,| |外線性表示為：(p110題19結(jié)論)(bi,b2,|br) (a1,a2,|,as)k (b ak )其中k為s r ,且a線性無關(guān)，則b組線性無關(guān)r(k) r ； ( b與k的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：:r r(b) r(ak) r(k),r(k) r, r(k) r ;充分性：反證法)注：當(dāng)r s時，k為方陣，可當(dāng)作定理使用；13 .、對矩陣amn,存在qnm, aqem(a)m、q的列向量線性無關(guān)；(p87)、對矩陣am n,存在pn m，paenr(a)n、p的行向量線性無關(guān)；14 .1, 2,hi，s線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)k

27、1,k2,|,ks ,使得k1 1 k2 2 iii ks s 。成立；(定義) x(1, 2,|, s) x20有非零解,即ax 0有非零解;ixsr( 1, 2,|, s) s,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15 .設(shè)m n的矩陣a的秩為r ,則n元齊次線性方程組 ax 0的解集s的秩為：r(s) n r；16 .若*為ax b的一個解，1, 2,|, n r為ax 0的一個基礎(chǔ)解系，則*, 1, 2,|,nr線性無關(guān)；(p111題33結(jié)論)5、相似矩陣和二次型1 .正交矩陣at a e或a1 at (定義)，性質(zhì)：、a的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即ataj1 i j(i,j 1,2

28、,|n)；0 i j、若a為正交矩陣，則a 1 at也為正交陣，且|a|1 ；、若a、b正交陣，則ab也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2 . 施密特正交化：(現(xiàn)，32/1&)bi ai ；b2a2b1alb,bbrarb,ah,hb2,arqmbr 1，br 1br 1 ；3.對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān);對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；4.、a與b等價a經(jīng)過初等變換得到 b；paq b , p、q 可逆；r(a) r(b) , a、b 同型；ct ac b ,其中可逆；xt ax與xt bx有相同的正、負慣性指數(shù);、a與b相似p

29、1ap b ;5. 相似一定合同、合同未必相似；若c為正交矩陣，則 ct ac b ab,(合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格)；6. a為對稱陣，則 a為二次型矩陣；7. n元二次型xt ax為正定：a的正慣性指數(shù)為n ;a與e合同，即存在可逆矩陣 c ,使ctac e ;a的所有特征值均為正數(shù)；a的各階順序主子式均大于 0;ah 0, a 0 ;(必要條件)考研概率論公式匯總1.隨機事件及其概率a吸收律：a aa (ab) aa b ab a (ab)反演律：a b a bnn aiaii 1i 12.概率的定義及其計算p(a) 1 p(a)若a b p(b a)a aaa (a b)

30、 aab a bp(b) p(a)對任意兩個事件a, b,有p(b a)p(b) p(ab)加法公式：對任意兩個事件a b,有p(a b) p(a) p(b) p(ab)p(a b) p(a) p(b)np( a)i 1np(a)p(aaj)i 11 i j np(aaja)1 i j k n(1)n1p(aa2 an)3.條件概率p(ab)p(a)乘法公式p(ab) p(a)p b a (p(a) 0)p(ala2 an) p(ai)pa2 aip an a1a2an 1(p(aa2 ani) 0)全概率公式np(bi) p(a bi) i 1p(a)p(abi)i 1bayes公式p(bk

31、 a)p(abk)p(a)p(bk)p(ab。np(bi)p(a b) i 14 .隨機變量及其分布分布函數(shù)計算p(a x b) p(x b) p(x a) f(b) f(a)5 .離散型隨機變量(1) 0- 1分布p(x k) pk(1 p)1 k, k 0,1(2)二項分布 b(n, p)若 p ( a ) = p _ k kn kp(x k) cnp (1 p) , k 0,1, ,n* possion 定理lim npn0n k行 lim ck pk(1 pn)n k e 一有 nk!k 0,1,2,(3) poisson 分布 p()kp(x k) e , k 0,1,2, k!6.

32、連續(xù)型隨機變量(1) 均勻分布u(a,b)f(x)0,其他0,f(x)(2)指數(shù)分布e()f(x)e x, x 00, 其他f(x)0, x 01 e x, x 0(3)正態(tài)分布n (m , s 2 )1 t f (x) e 2 2x,2(t )21 xf (x)e 2 d t,2* n (0,1)(x)一標準正態(tài)分布2 x 21 x (x)e 2dt27 .多維隨機變量及其分布二維隨機變量(x ,y )的分布函數(shù)x yf(x, y)f(u,v)dvdu邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù) xfx(x)f(u,v)dvdufx(x)f(x,v)dvyfy(y)f (u,v)dudvfy(y)f(u,y)du8 .連續(xù)型二維隨機變量(1)區(qū)域g上的均勻分布，u ( g )1，、一f(x,y) a,