三角形“四心”定義與性質(zhì)

1、三角形“四心”定義與性質(zhì)所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心。當(dāng)三角形是正三角形時(shí),四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心。一、三角形的外心定義：三角形三條中垂線的交點(diǎn)叫外心，即外接圓圓心。hbc的重心一般用字母o表示。性質(zhì)：1 .外心到三頂點(diǎn)等距，即。4 = 03 = 0。02 .外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線垂直于三角形的這一邊，即 0。_1_8。,0石_1_4。,0/_1718.3 . za = -zb0cb = -za0c,zc = -za0bo 222二、三角形的內(nèi)心定義：三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，般用字母/表示，它具有如下性質(zhì)：性質(zhì)：1 .內(nèi)心到三角形三邊

2、等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角,2 .三角形的面積=1x三角形的周長(zhǎng)x內(nèi)切圓的半徑.即內(nèi)切圓圓心口 aa 8 c的內(nèi)心一23. ae=af,bf = bdcd = ce；ae+8尸+8 =三角形的周長(zhǎng)的一半,4. zbic = w+-za, zcm = 90。+ -2：三、三角形的垂心定義：三角形三條高的交點(diǎn)叫重心。性質(zhì)：1.頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對(duì)邊，即 a” _l 8c, 8 _l a c,_l a反af-zb, zaib = w +-zc.22aa3c的重心一般用字母h表示。權(quán)2.4人3”的垂心為。，abhc的垂心為a , ach的垂心為b ，abf四、三角形的“重心”：定義：三角形三條

3、中線的交點(diǎn)叫重心。aa8c的重心一般用字母g表示。性質(zhì)：1 .頂點(diǎn)與重心g的連線必平分對(duì)邊。2 .重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。即 ga = 2gd,gb = 2ge,gc = igf3 .重心的坐標(biāo)是三頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值.即天=/+/+先=+力+運(yùn).4 .向量性質(zhì)：(1) ga+gb+gc =0,(2) pg = (pa+pb+pc)5 - ssgc = scga = 4gs = su8c 0 五、三角形“四心”的向量形式： 結(jié)論1：若點(diǎn)。為a46c所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足萬(wàn)i06=0兒反=沅百， 則點(diǎn)。為a48c的垂心。結(jié)論2：若點(diǎn)。為4abc所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足次2 +bc=ob+ca=oc+ab, 則點(diǎn)。為a48c的垂心。結(jié)論3：若點(diǎn)g滿足由+屈+左=6,則點(diǎn)g為a43c的重心。結(jié)論4：若點(diǎn)g為aa3c所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足5d =(方+方+。心)， 3則點(diǎn)g為a43c的重心。結(jié)論5：若點(diǎn)/為aa8c所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足a+岳南+ c無(wú)=6 (其中4,4c為三角形的三邊)，則點(diǎn)/為aabc的內(nèi)心。結(jié)論6：若點(diǎn)。為a48c所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足(oa+ob)-4 = (ob+oc) c5 = (oc+aa) xc,