3.3圓周角與圓心角的關(guān)系

1、3.3 3.3 圓周角和圓心角的圓周角和圓心角的關(guān)系關(guān)系(1)(1)陳愛紅陳愛紅一、舊知回放一、舊知回放:1.圓心角的定義圓心角的定義?.obc答：答：相等相等.答答:頂點在圓心的角叫圓心角頂點在圓心的角叫圓心角.2.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)的關(guān)系度數(shù)的關(guān)系? b3、(05年茂名年茂名)下列命題是真命題下列命題是真命題的是的是( )1)垂直弦的直徑平分這條弦垂直弦的直徑平分這條弦2)相等的圓心角所對的弧相等相等的圓心角所對的弧相等3)圓既是軸對稱圖形圓既是軸對稱圖形,還是中心對還是中心對稱圖形稱圖形a 1) 2) b 1) 3) c 2) 3) d 1) 2)

2、3)課前熱身課前熱身11、如圖，、如圖， o中，中，aob=100 ，則，則ab弧的度數(shù)為弧的度數(shù)為_，anb弧的度數(shù)為弧的度數(shù)為_。aob n100 260 2、判斷題：、判斷題： (1)相等的圓心角所對的弧相等相等的圓心角所對的弧相等 。 (2)等弦對等弧等弦對等弧 。 (3)等弧對等弦等弧對等弦 。 (4)長度相等的兩條弧是等弧長度相等的兩條弧是等弧 。 (5)平分弦的直徑垂直于弦平分弦的直徑垂直于弦 。圓心角頂點發(fā)生變化時圓心角頂點發(fā)生變化時,我們得到幾種情況我們得到幾種情況?探索探索1:二、探索新知：二、探索新知：a.obc.思考：三個圖中的思考：三個圖中的bac的頂點的頂點a各在圓

3、的什么位置？各在圓的什么位置？ 角的兩邊和圓是什么關(guān)系？角的兩邊和圓是什么關(guān)系？.aobc.obca.圓周角圓周角v在射門游戲中在射門游戲中( (如圖如圖),),球球員射中球門的難易程度員射中球門的難易程度與他所處的位置與他所處的位置b b對球門對球門acac的張角的張角(abc)(abc)有關(guān)有關(guān). .obacbac思考：圖中的思考：圖中的abc的頂點的頂點b在圓的什么位置？在圓的什么位置？abc的兩的兩邊和圓是什么關(guān)系？邊和圓是什么關(guān)系？圓周角圓周角探索探索:你能仿照圓心角的定義給你能仿照圓心角的定義給圓周角圓周角下個定義嗎下個定義嗎?.obca特征：特征： 角的頂點在圓上角的頂點在圓上.

4、 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.圓周角定義圓周角定義: 頂點在圓頂點在圓上上,并且兩邊都和圓相并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角交的角叫圓周角.練習：練習：1 、判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖2、指出圖、指出圖中的圓周中的圓周角。角。aobcaco aco acb acb bco oab oab bac oac oac abo abo cbo abcn圓周角圓周角: : abc, abc, adc, adc, aec.aec.n這三個角的大小有什這三個角的大小有什么關(guān)系么關(guān)

5、系?. 圓周角圓周角v當球員在當球員在b,d,eb,d,e處射門時處射門時, ,他所處的位置對球門他所處的位置對球門acac分別形成三個張角分別形成三個張角abc, abc, adc,aec.adc,aec.這三個角這三個角的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系?.?.obacbacbacbacbacbacbacdeden 為了解決這個問題為了解決這個問題, ,我們先探究一條弧所對的圓我們先探究一條弧所對的圓 周角和圓心角之間有的關(guān)系周角和圓心角之間有的關(guān)系. .類比圓心角類比圓心角探知探知圓周角圓周角v在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的弧弧所對的所對的圓心角圓心角相等相等. .v在在同

6、圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的相等的弧弧所對的所對的圓周角圓周角有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？oooabcabcabcn提示提示:注意注意圓心圓心與與圓周角圓周角的位置關(guān)系的位置關(guān)系.v如圖如圖, ,觀察觀察弧弧acac所對的所對的圓圓周周角角abcabc與與圓圓心心角角aocaoc, ,它們的大小有什么關(guān)系它們的大小有什么關(guān)系? ?v說說你的想法說說你的想法,并與同伴交流并與同伴交流.n提示提示:注意注意圓心圓心與與圓周角圓周角的位置關(guān)系的位置關(guān)系.abcoabcooabc圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系v1 1. .首先考慮一種特殊情況：首先考

7、慮一種特殊情況：v當當圓心圓心(o)(o)在在圓周角圓周角(abc)(abc)的一邊的一邊(bc)(bc)上時上時, ,圓周角圓周角abcabc與圓心角與圓心角aocaoc的大小關(guān)系的大小關(guān)系. .解解:aoc:aoc是是aboabo的外角，的外角，aoc=b+a.aoc=b+a.oa=oboa=ob，oabca=b.a=b.aoc=2b.aoc=2b.即即 abc = aoc.abc = aoc.21你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所等于它所對的對的圓心角圓心角的一半的一半. .理解并掌理解并掌握這個握這個模模型型.v如果圓心不在圓周角的一

8、邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結(jié)果會怎樣結(jié)果會怎樣? ?v2.2.當當圓心圓心(o)(o)在在圓周角圓周角(abc)(abc)的內(nèi)部時的內(nèi)部時, ,圓周角圓周角abcabc與圓心角與圓心角aocaoc的大小關(guān)系會怎樣的大小關(guān)系會怎樣? ?n提示提示: :能否轉(zhuǎn)化為能否轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過點過點b b作直徑作直徑bd.bd.由由1 1可得可得: :你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所等于它所對的對的圓心角圓心角的一半的一半. .oabcd圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 abc = aoc. abc = aoc.212

9、1nabd = aod,cbd = cod,abd = aod,cbd = cod,21v如果圓心不在圓周角的一邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結(jié)果會怎樣結(jié)果會怎樣? ?v3.3.當當圓心圓心(o)(o)在在圓周角圓周角(abc)(abc)的外部時的外部時, ,圓周角圓周角abcabc與圓心角與圓心角aocaoc的大小關(guān)系會怎樣的大小關(guān)系會怎樣? ?n提示提示: :能否也轉(zhuǎn)化為能否也轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過點過點b b作直徑作直徑bd.bd.由由1 1可得可得: : abc = aoc. abc = aoc.21你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?一條弧所對的圓周角等于它所

10、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半對的圓心角的一半. .doabc圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系nabd = aod,cbd = cod,abd = aod,cbd = cod,2121圓周角圓周角定理定理v綜上所述綜上所述, ,圓周角圓周角abcabc與與圓心角圓心角aocaoc的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是: :v圓周角定理圓周角定理: :一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所對等于它所對 的的圓心角圓心角的一半的一半. .n提示提示:圓周角定理是承上啟下的知識點圓周角定理是承上啟下的知識點,要予以重視要予以重視.oabcoabcoabc即即 abc = aoc.abc

11、= aoc.21dd例例1.如圖：如圖：oa、ob、oc都是都是 o的半徑的半徑 aob=2boc. 求證：求證：acb=2bac.aob=2bocaobcacb=2bac證明：證明： 規(guī)律規(guī)律:解決圓周角和圓心角的計算和證明問題解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理然后再靈活運用圓周角定理 分析分析:ab所對圓周角是所對圓周角是acb, 圓心角是圓心角是aob.則則acb= aob. bc所對圓周角是所對圓周角是 bac , 圓心角是圓心角是boc, 則則 bac= boc 2121acb= aob2

12、1bac= boc21練習：練習：2.如圖，圓心角如圖，圓心角aob=100，則，則acb=_。oabcbao.70 x1.求圓中角求圓中角x的度數(shù)的度數(shù)130ao.x120 c c d b3、 如圖，在直徑為如圖，在直徑為ab的半圓中，的半圓中，o為為圓心，圓心，c、d為半圓上的兩點，為半圓上的兩點，cod=500，則，則cad=_25做做看，收獲知多少？做做看，收獲知多少？一、判斷一、判斷1 1、頂點在圓上的角叫圓周角。、頂點在圓上的角叫圓周角。2 2、圓周角的度數(shù)等于所對弧的度數(shù)的一半。、圓周角的度數(shù)等于所對弧的度數(shù)的一半。 .o3636或或144144 2 2 、如圖，已知圓心角如圖，

13、已知圓心角aob=100aob=100 ，求圓周角，求圓周角acb=_acb=_、adb=_adb=_。daocb1、半徑為、半徑為r r的圓中，有一弦分圓的圓中，有一弦分圓周成周成1 1：4 4兩部分，則弦所對的圓兩部分，則弦所對的圓周角的度數(shù)是周角的度數(shù)是 。 二、計算二、計算1301305050一一 、這節(jié)課主要學習了兩個知識點：、這節(jié)課主要學習了兩個知識點：1、圓周角定義。、圓周角定義。2、圓周角定理及其定理應用。、圓周角定理及其定理應用。二、方法上主要學習了圓周角定理的證明滲二、方法上主要學習了圓周角定理的證明滲透了透了“特殊到一般特殊到一般”的思想方法和分類討論的思想方法和分類討論

14、的思想方法。的思想方法。三、圓周角及圓周角定理的應用極其廣泛，三、圓周角及圓周角定理的應用極其廣泛，也是中考的一個重要考點，望同學們靈活運也是中考的一個重要考點，望同學們靈活運用。用。2.2.如圖如圖(2),(2),在在oo中中,b,d,e,b,d,e的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系? ? 為什么為什么? ?3.3.如圖如圖(3),ab(3),ab是直徑是直徑, ,你能確定你能確定cc的度數(shù)嗎的度數(shù)嗎? ?拓展拓展 化化心心動為動為行行動動v1.1.如圖如圖(1),(1),在在oo中中,bad =50=50, ,求求cc的大小的大小. .ocabd(1)obacde(2)oabc(3)b=d=ec=130c=90 5、如圖，在、如圖，在 o中，中，bc=2de， boc=84，求，求 a的度數(shù)的度數(shù)。 4 4、abab、acac為為oo的兩條弦，延長的兩條弦，延長caca到到d d，使，使ad=abad=ab，如果，如果adb=35adb=35，求，求bocboc的度數(shù)。的度數(shù)。解解ab=acabd=adb=35bac=abd+adb=70