第九章____多元函數(shù)積分學總結(jié)

1、第九章 多元函數(shù)積分學（三重積分、第一類曲線積分與第一類曲面積分、點函數(shù)的性質(zhì)及其應用）1、 三重積分的引入：三重積分的概念是從求三維立體的質(zhì)量而引入的，問題的關(guān)鍵點是同一個立體的不同質(zhì)點處的密度并不均勻，密度函數(shù)是一個三元函數(shù)。（了解三重積分的來源有助于真正的掌握它的應用哦）問題的解決方法是經(jīng)典的四部曲，分割，取近似，求和，取極限。2、 三重積分的計算：（1） 作圖,由于三重積分是體積的質(zhì)量，自然我們要先將積質(zhì)量的基準區(qū)域找出來，作圖的功力要大家慢慢練習好好體會了，蘇老師的復習小幫手上寫得很清楚了。（2） 計算三重積分主要有四種計算方法（平面坐標系下的投影法及平面截割法、柱面坐標系轉(zhuǎn)換、球面

2、坐標系轉(zhuǎn)換），接下來我們一一歸納之投影法方法概要該法的本質(zhì)是將所求的立體看作是一個主體，通過將每一個小主體上的質(zhì)量積分最終得到總的質(zhì)量，立體區(qū)域V是曲面（稱為下曲面），（稱為上曲面）與以xy邊界為準線，母線平行于Oz軸的柱面為側(cè)面。圖形示例適用范圍投影區(qū)域較簡單，上、下曲面可表示為垂直坐標平面坐標軸對應的變量為坐標平面上對應的兩個變量的函數(shù)，且化成累次積分后容易計算出積分的值。注意點若是x一型區(qū)域：，則有若xy是y一型區(qū)域：，則有若xy是圓域或圓域的一部分時，也可化為xy上的二重積分以后，再用極坐標變換化為累次積分。平面截割法方法概要該方法是將所求立體看作是一根平行于某一坐標軸的細棒，通過將細

3、棒上任意一小截面上的質(zhì)量積分，最終得到總質(zhì)量。設立體V介于兩平面之間（，知對立體V中任意一點，有）。過，作垂直于Oz軸的平面與立體相截，截面區(qū)域為，如圖6-26所示，（知對立體V中的任意一點，有），從而立體區(qū)域V可表示為：于是 圖形示例適用范圍僅是z的表達式或是常數(shù)，而的面積有公式可計算，可使這種方法，從而直接化成了關(guān)于z的一元函數(shù)定積分。注意點根據(jù)具體情況，也可作垂直于Oy軸或Ox軸的平面去截割立體。僅是x（y）的表達式或是常數(shù)，而D的面積有公式可計算煮面坐標變換（多好聽的名字，大家把柱體當成鍋，就可以煮面了，最好是圓底鍋）方法概要由直角坐標與柱面坐標可知，是點在Oxy平面上投影點的極坐標，

4、z是原直角坐標系中的豎坐標，如圖6-27.此時設平行于Oz軸的直線與區(qū)域V的邊界至多只有兩個交點，設V在Oxy平面上的投影區(qū)域為。區(qū)域用不等式表示與平面中的極坐標變換把平面區(qū)域用不等式表示完全相同，把上面投影法中的上曲面與下曲面表示成于是立體區(qū)域V可表示為從而 圖形示例適用范圍若立體在Oxy平面上的投影區(qū)域是圓域或圓域的一部分（或被積函數(shù)中含有），可用柱面坐標系下的計算。（另外兩個坐標平面同樣適用）注意點在柱面坐標系下，一般總是先積z，后積r，最后積。煮面坐標系變換實質(zhì)上是投影法與極坐標變換的結(jié)合，在積分計算的過程中不要忘記添加r因子球面坐標變換方法概要由直角坐標和球面坐標可知。就是點在Oxy

5、平面上投影點的極坐標中的，此時 1、找出立體V在Oxy平面上投影區(qū)域的極角的范圍。即立體V在兩半平面ZOA與ZOB之間，即立體V中的任意一點滿足。2、在之間過極點作射線，該射線與Oz軸組成的半平面與立體起截得一截面區(qū)域。若對2，B之任一Q值。對應的射線與OZ軸組成的半平面與立體V截面的圓形相同。我們一般選取特殊的Q值如Q=，此時得到的截面，我們觀察更清楚。找出該區(qū)域的范圍，即（一般情況下，且）為常數(shù)）。過極點O在該截面上作射線與截面的邊界交于兩點。極徑小的交點落在下曲面，極徑大的交點落在上曲面，即截面上任意一點滿足，,如圖6-28.從而在球面坐標立體區(qū)域V可表示為 于是 圖形示例適用范圍若立體

6、V是由以原點為心的球面圍成的立體或是由以原點為球心的球面與以原點為頂點的維面圍成的主體，（或被積函數(shù)中含有）。此時用球面坐標系下的計算。注意點球面坐標系下，總是先積，再積，最后積，而且在大多數(shù)情況下，為常數(shù)。不要忘記因子哦。3、 第一類曲線積分概念的引入：第一類曲線積分是一直曲線的線密度函數(shù)，來求解曲線的質(zhì)量，當線密度函數(shù)恒為常數(shù)1時，積分的結(jié)果就是我們在微積分一當中遇到過的解曲線弧長的問題。關(guān)建是把曲線表示成參數(shù)方程，并且找出參數(shù)的區(qū)間即可化成t的一元函數(shù)定積分?？偨Y(jié)看來共有五種類型：設平面第一類曲線積分為（1）若則（2）若則（3）若則（4）若即則(5)另外也可以表示為r的函數(shù)，但是這種方法

7、不常用以上各種轉(zhuǎn)化的目標是將積分最終轉(zhuǎn)化為 一元函數(shù)的定積分，小心公示運用過程中的平方和開放4、第一類曲面積分的引入：第一類曲面積分是已知曲面的面密度函數(shù)，來求曲面的的質(zhì)量若曲面，則 若曲面則這里的各種轉(zhuǎn)化實質(zhì)上是將將積分轉(zhuǎn)化為二重積分，所以在選擇變量的時候要注意好究竟在哪一個坐標平面上的積分更好積一些兩個第一類積分都是的被積函數(shù)往往都是可以化簡的5.點函數(shù)積分的基本性質(zhì)設在有界閉區(qū)域上都可積，有性質(zhì)1 性質(zhì)2 （k為常數(shù)）。上面兩條性質(zhì)稱為線性運算法則。性質(zhì)3 ，其中，且與無公共內(nèi)點。性質(zhì)4 若，則若，且連續(xù)，則性質(zhì)5 若，則若，且連續(xù)，則性質(zhì)6 性質(zhì)7 若在積分區(qū)域上的最大值為M，最小值為

8、m，則性質(zhì)8（中值定理） 若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則至少有一點，使得稱為函數(shù)在上的平均值。（對于中值定理的理解就是求平均值的過程，在連續(xù)函數(shù)范圍內(nèi)必有一個函數(shù)的函數(shù)值可取到平均值）6.對稱區(qū)域上點函數(shù)的積分（1）設，或曲線或曲面或立體。（i）若，且關(guān)于Oxy平面對稱，則（ii）若，且關(guān)于Oyz平面對稱，則（iii）若，且關(guān)于Ozx平面對稱，則簡單地說，若關(guān)于坐標平面對稱，當關(guān)于垂直該平面坐標軸的坐標是奇函數(shù)時為0；是偶函數(shù)時，為平面一側(cè)區(qū)域積分的2倍。若關(guān)于坐標軸對稱，當關(guān)于垂直該軸的坐標是奇函數(shù)則為0；是偶函數(shù)時，則為該軸一側(cè)區(qū)域積分的2倍。同理可得，若關(guān)于z軸對稱，當時，積分為0；當時，積分為z軸一側(cè)區(qū)域上積分的2倍。若關(guān)于原點對稱，當時，積分為0；當時，積分為原點一側(cè)區(qū)域上積分的2倍6.應用（求重心（質(zhì)心、形心），求轉(zhuǎn)動慣量，求引力） 重心公式設密度函數(shù)為連續(xù)，求空間形體的重心坐標（是曲線、曲面或空間立體），設的重心坐標為同理 是的重心。特別常數(shù)時，其中M是的質(zhì)量，是的大小。當常數(shù)時，關(guān)于Oxy平面對稱知，z關(guān)于z是奇函數(shù)，有，則同理，當常數(shù)時，關(guān)于Ozx平面對稱，則當常數(shù)時，關(guān)于Ozy平面對稱，則同理，當（是曲線或平面區(qū)域），設密度函數(shù)連續(xù)，設重心坐標為有 當常數(shù)時， 常數(shù)，關(guān)于x軸對稱，有關(guān)于