概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答

1、x .(3 )求X的概率密度.6、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)求：(1)常數(shù)a ； (2)P(0.5 X 1.5) ; (3)ax, 0 x0, 其它X的分布函數(shù)F(x).1,7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為xy),x其它.求：(1)系數(shù)A ; ( 2)A(1 f (x, y)0,X的邊緣概率密度 fX (x) ； (3)概率P(Y1, y 1;X2).&設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為1 ,0 x 1,0 yf(x, y)0,其它.2x;求：(1) (X,Y)的邊緣概率密度fx(x) , fY(y) ； (2)概率P(X1,Y 1) ； (3)判斷X , Y是否相互2獨(dú)立

2、.9、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X U0, 0.2 , Y的概率密度函數(shù)為0,0.5e 5y fY(y)0e(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f (x, y) ； (2)求概率P(Y X).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答【第一章】 隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有 2個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率.2、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電 話的概率.3、 已知將0,1兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(

3、01).假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的現(xiàn)以等概率從“ 101”，“ 010 ”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)輸入信道求輸出結(jié)果恰為“ 000 ”的概率.4、 試卷中的一道選擇題有 4個(gè)答案可供選擇，其中只有1個(gè)答案是正確的某考生如果會(huì)做這道題， 則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率為0.85 (1 )求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道題的概率.【第二章】 隨機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F (x) A Barctanx,(1)求系數(shù)A及B ;(2)求X落在區(qū)間(1, 1)內(nèi)的概率;【

4、第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)(a b)x a(2 x) 0 ,b,0x1,1x2,其它，1已知 E(X) ，求：(1) a, b的值；(2)2E(2X3) 11、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)Ae2x0,求: (1)常數(shù) A ； ( 2) E(X)和 D(X) (1 )求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X), E(Y)，方差D(X), D(Y) (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相 關(guān)系數(shù)R(X,Y) 【第四章】正態(tài)分布13、 假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已 知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總

5、數(shù)的 %. (1)試估計(jì)本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計(jì)本次考試成績在65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例.已知(1)0.8413,(1.5)0.9332 ,(2)0.977214、 兩臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機(jī)變量X (單位：mm )表示軸的直徑，隨機(jī)變量 Y (單 位：mm )表示軸襯的內(nèi)徑，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42)，顯然X與Y是獨(dú)立的.如果軸 襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在 1 3 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2)0.9772【第五章】數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體X N

6、(0,1) , X1,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，求常數(shù)k 0使k(X1 2X2)T1 t(3).vxI x： X5216、設(shè)總體X N(40, 52)，從該總體中抽取容量為 64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體X的概率密度為C (X 2)f(x； )0,x 2,其它，其中參數(shù)（1）（2）0 設(shè)X1,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本，xi,X2,Xn為樣本觀測值求參數(shù)求參數(shù)的矩估計(jì)量. 的最大似然估計(jì)量.18、設(shè)總體X的概率密度為f(x; )xe ，x 0；0,x 0,其中參數(shù)0設(shè)X1,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)

7、樣本，x1,X2,Xn為樣本觀測值（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.(2)你得到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無偏估計(jì)，請(qǐng)說明理由19、矩形的寬與長之比為 0.618 （黃金分割）時(shí)將給人們視覺上的和諧美感畫專用框架.根據(jù)該廠制定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，一批合格產(chǎn)品的寬與長之比必須服從均值為【第七章】假設(shè)檢驗(yàn).某工藝品廠生產(chǎn)矩形裱00.618的正態(tài)分布現(xiàn)從該廠某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取標(biāo)準(zhǔn)差為s 0.093.試問在顯著性水平25個(gè)樣品，測得其寬與長之比的平均值為x 0.646,樣本0.05水平上能否認(rèn)為這批產(chǎn)品是合格品？20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓（高壓）增高的副作用.臨床統(tǒng)計(jì)表明，在服用此藥的人群中 收縮

8、壓的增高值服從均值為0 22 （單位：mmHg ,毫米汞柱）的正態(tài)分布.現(xiàn)在研制了一種新的替代藥品，并對(duì)一批志愿者進(jìn)行了臨床試驗(yàn) .現(xiàn)從該批志愿者中隨機(jī)抽取 16人測量收縮壓增高值， 計(jì)算得到樣本 均值x 19.5（mmHg），樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 5.2（mmHg）.試問這組臨床試驗(yàn)的樣本數(shù)據(jù)能否支持“新的替代藥品比原藥品副作用小”這一結(jié)論（取顯著性水平0.05）.解答部分【第一章】 隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有 2個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率，C表示“經(jīng)此換【解】設(shè)A表示“從甲袋移往乙袋的是白

9、球”，B表示“從乙袋返還甲袋的是黑球”球過程后甲袋中黑球數(shù)增加”，則C AB，又 P(A) 4, P(B A)-76丄，于是由概率乘法定理得所求概率為2P(C) P(AB)p（a）p（ba）=7 12、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話的概率.【解】 設(shè)Ai表示“此人第i次撥號(hào)能撥通所需電話”(i 1,2), A表示“此人撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話”，則A A1AA2，由概率加法定理與乘法定理得所求概率為P(A) P(Ai AA2) P(A) P(AA2)191P(Ai) P(A)P(AA) - - - 0.2.1010 93、已知將0,1

10、兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(01).假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的.現(xiàn)以等概率從“ 101”，“ 010 ”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)輸入信道.求輸出結(jié)果恰為“ 000 ”的概率.【解】設(shè)A1 :輸入的是“ 101 ”，A2：輸入的是“ 010 ”，B:輸出的是“ 000 ”，貝yP(AJ 1/2 , P(A2)1/2 , P(B卜J (1)2 , P(B A2)2(1),從而由全概率公式得P(B) P(AJP(B A1) P(A2)P(B A2)1 2121(1)22(1 ) (1 ).2 2 24、試卷中的一道選擇題有 4個(gè)答案可供選擇，其中只有

11、 1個(gè)答案是正確的某考生如果會(huì)做這道題,則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率為0.85 (1 )求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道題的概率.【解】設(shè)A表示“該考生會(huì)解這道題” ，B表示“該考生選出正確答案”，則P(A) 0.85 , P(A) 0.2 , P(B A) 1 , P(B| A) 0.25.(1 )由全概率公式得P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|A)0.85 1 0.2 0.250.9.(2)由貝葉斯公式得P(AB)込列迄口 0.944.P(B)0.918【第二章】 隨

12、機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)AB arcta nx,x.(1)求系數(shù)A及B ; (2)求X落在區(qū)間(1,1)內(nèi)的概率；(3 )求X的概率密度.【解】(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)可知F()lim F(x) AxB ()0,2F()lim F(x) AxB -1 ,2由此解得A11A, B -2(2) X的分布函數(shù)為1 1F (x)arctan x ( x ),2于是所求概率為P( 1 X 1)(3) X的概率密度為1111F(1) F( 1)(arcta n1) (arcta n( 1)f(x) F (x)1_(1x2)6、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x) ax, 0 x

13、人 f(x) 0,其它，求：(1)常數(shù) a ； (2) P(0.5 X 1.5); (3) X 的分布函數(shù) F(x).【解】(1 )由概率密度的性質(zhì)可知f(x)dx0axdx由此得(2) P(0.5(3) 當(dāng)x 0時(shí)，有當(dāng)0 x 1時(shí)，有當(dāng)x 1時(shí)，有所以，X的分布函數(shù)為X 1.5)a 2.13/22xdx 0dx1/ 2 1xF(x) 0dx 0 ；2 1x20 0.75.1 /2F(x) 0dx QX2xdx x2 ;01xF(x) Odx 02xdx 1 0dx 1.0,x 0,F(x)x2, 0 x 1,1,x 1.7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為A(1f (x, y)xy

14、),求：(1)系數(shù)A ; (2) X的邊緣概率密度【解】(1)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)可知0, fx (x)(3)f (x, y)dxdy1dx11, y 1;其它.概率A(1P(Y X2) xy)dy 4A 1,由此得(2 )當(dāng)1 x 1時(shí)，有fx(x)f(x,y)dy1-xydy 1 ;142當(dāng)x 1或x 1時(shí)，顯然有2252&設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)1 ,0 x 1,0 y2x;0,其它.求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度 fX(x)， fY(y) ；(2)概率P(X1-,Y 1) ；(3)判斷X, Y是否相互2獨(dú)立【解】(1 )當(dāng)0 x 1時(shí)，有2xfx(x)f(

15、x, y)dy 0 dy 2x ；當(dāng)x 0或x 1時(shí)，顯然有fx(x)0.于是X的邊緣概率密度為fx(x)2x, 0 x0, 其它.1；當(dāng)0 y 2時(shí)，有fY(y)f(x,y)dx1y dx122當(dāng)y 0或y 2時(shí)，顯然有fY(y)0.于是Y的邊緣概率密度為fY(y)1上20 y 20,其它.1 1 1/2(2)P(X 2，Y1)- dy1 1/ 214 .f(x, y)dxdy dx0y/2所以X的邊緣概率密度fx(X)fx(X)0 1/2,0,1 x 1;其它.(3)P(Y X2)f (x, y)dxdy1dx1x21x1 1 1(x14 2x2 ? 1)dx Z23(3)容易驗(yàn)證f (x

16、, y) fx(x)fY(y),故X與Y不獨(dú)立.9、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X U0, 0.2，Y的概率密度函數(shù)為(2)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f (x, y) ；(2)【解】(1)由題意知，X的概率密度函數(shù)為因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，故X和Y5e 5y, y0,0,y0.求概率P(YX).5,0 x0.2;0,其它.25e 5y0 x0,其它.fy(y)fx(X)f (x, y) fx(x)fY(y)0.2, y 0;(2)P(Y X)yf(x,y)dxdy (x0.2dxx25e ydy0025x5 0 (1 e )dx e【第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為(ab)xb,

17、 0 x1,f(x)a (2x),1 x2,0J其它，1已知 E(X),求：(1) a,b的值；(2) E(2X 3).2【解】(1 )由概率密度的性質(zhì)可知1 2f(x)dx0(a b)x bdx 1 a(2 x) dx又E(X)聯(lián)立方程組xf (x)dx10(a b)x b xdx2i a(2 x)x dx a解得ba1,2b1a6213a -,b422!2，4f(x)dxAe2xA1 ,0dx2A2-2x2x11t 1 _、1x 2edxtedtr(2)02022E(X2)2x t a2e 2xdx一4t2eodtE(2X3)2E(X) 32-3211、設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為Ae 2x

18、 ,x0,f(x)0,x0.(2)由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有求: ( 1)常數(shù) A ；( 2)E(X)和 D(X).【解】(1 )由概率密度的性質(zhì)可知4 .由此得(2)由數(shù)學(xué)期望公式得E(X)由于故利用方差計(jì)算公式得2 2 1 12 1 D(X) E(X ) E(X)-.412、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下:(1 )求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X), E(Y)，方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相 關(guān)系數(shù)R(X,Y).P(X 0)1/4,P(X1)3/4P(Y 0)1/2,P(Y1) 1/2 ,1由01分布的期望與方差公式得E(X)3/4,D(X)3/4(11/4)3

19、/16 ,E(Y)1/2,D(Y)1/2(1 1/2)1/4 ,由(X,Y)的聯(lián)合概率分布知E(XY) 00 1/40 10 1 C)1/4 11 1/41/2從而cov(X,Y)E(XY)E(X)日丫)1/2 3/41/21/8,【解】 由(X ,Y)的聯(lián)合概率分布知X,Y服從0 1分布:R(X,Y)cov(X,Y)1/8、D(X) 、 D(Y) - 3/16. 1/4【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的 %. (1)試估計(jì)本次考試的不及格率(低 于60分為

20、不及格)；(2)試估計(jì)本次考試成績在 65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例.已知(1)0.8413,(1.5)0.9332 ,(2)0.97722【解】由題意，可設(shè) X近似服從正態(tài)分布 N(75,).已知P(X 95) 2.3%，即95 7520P(X 95) 1 P(X 95)1()1()2.3%,由此得 (出)0.977，于是202 ,10，從而近似有 X N(75, 102).(1)P(X 60)(60 75)10(1.5)1(1.5)1 0.93320.0668,由此可知,本次考試的不及格率約為6.68% .(2)c、,857565 75、P(65 X85)()( )1010(

21、1)(1) 2 (1) 1 20.8413 10.6826 ,由此可知，成績在 65分至85分之間的考生人數(shù)約占考生總數(shù)的 68.26% .14、兩臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機(jī)變量X (單位：mm )表示軸的直徑，隨機(jī)變量 Y (單位：mm )表示軸襯的內(nèi)徑，已知X N(50, 0.32), Y N(52,0.42)，顯然X與Y是獨(dú)立的如果軸襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在1 3 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2)0.97722 250,0.30.4 ),Z即ZN(2,0.52) 于是所求概率為P(1 Z3)3 2(茁)2 (2) 11( )(2

22、) ( 2)0.52 0.977210.9544.【解】 設(shè)Z Y X，由X與Y的獨(dú)立性及獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合的性質(zhì)可知, X N(52【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體X N(0, 1) , X1,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，求常數(shù) k 0使k(X1 2X2)T 12) t(3).vx! x： X52【解】由X N(0, 1)知X12X2 N (0, 5)，于是 N (0,1),X1 2X2.5又由2分布的定義知2 (3),所以(X(X2X2)/ 5X12 2 23 X4 X5)/3X1 2X2 12一 t(3),1 222v X3 X4 X5比較可得k從而16、設(shè)總體

23、X 【解】由題設(shè)2N(40, 5 )，從該總體中抽取容量為40 ,64的樣本，求概率 P(|X 40 | 1).P(|X4011)64，于是X5840 N (0,1)40|P(|X5/88P(|u| -)58)(1.6)2 0.945210.8904.【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)(1)(2)【解】2)e (x0,x 2,其它，0 設(shè)X1,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本，x,X2, ,xn為樣本觀測值.求參數(shù) 的矩估計(jì)量.求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.f(x；)(1) E(X) xf(x, )dxx 2 t (x 2)xe dx210 (t 2)e Pt 2,令

24、 X E(X)，即 X2 ,解得參數(shù)的矩估計(jì)量為(2 )樣本似然函數(shù)為L()nf(X,i 1上式兩邊取對(duì)數(shù)得ln L()上式兩邊對(duì)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零得dln L(解得2n，從而參數(shù)x 218、設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)(1)(2)【解】nlnn(Xi1nXi2n)(1的最大似然估計(jì)量為f(x；)2n)，n(Xi 2n)i 10；0,0 設(shè)X1,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機(jī)樣本 求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.你得到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無偏估計(jì)，請(qǐng)說明理由.(1 )樣本似然函數(shù)為0,為，X2, Xn為樣本觀測值.上式兩邊取對(duì)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得令lnL( )0解得d(2)E(X)L(nf (Xi ,i 1lnL()nXi2n i 1x2eX/E(?)n 1空2 xie12nXi1nXi12nlnnIni 1XilndxE(f)X是的無偏估計(jì).2L()2n12i 1于是參數(shù)丄2n i 1(32ex/11E(X)的極大似然估計(jì)量為Xidxt2e tdx11E(x)【第七章】假設(shè)檢驗(yàn)19、矩形的寬與長之比為 0.618 (黃金分割)時(shí)將給人們視覺上的和諧美感.某工藝品廠生產(chǎn)矩