剪力圖和彎矩圖講義

1、彎彎 曲曲第第 9 章章9-4 求慣性矩的平行移軸公式求慣性矩的平行移軸公式9-2 剪力圖和彎矩圖的進一步研究剪力圖和彎矩圖的進一步研究9-3 彎曲正應力彎曲正應力9-6 梁的強度條件梁的強度條件9-5 彎曲切應力彎曲切應力9-8 彎曲應變能彎曲應變能9-10 超靜定梁超靜定梁9-7 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角9-1 剪力和彎矩剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖9-9 斜彎曲斜彎曲材料力學發(fā)展大事記材料力學發(fā)展大事記 梁的彎曲問題梁的彎曲問題 在在關于力學和局部運動的兩門新科學的對話和數(shù)學證關于力學和局部運動的兩門新科學的對話和數(shù)學證明明一書中，伽利略討論的第二個問題是一書中，伽利略討論的第二

2、個問題是梁的彎曲強度問梁的彎曲強度問題題。按今天的科學結(jié)論，當時作者所得的彎曲正應力公式。按今天的科學結(jié)論，當時作者所得的彎曲正應力公式并不完全正確，但該公式已反映了矩形截面梁的承載能力并不完全正確，但該公式已反映了矩形截面梁的承載能力和和bhbh2 2（b b、h h分別為截面的寬度和高度）成正比，圓截面梁分別為截面的寬度和高度）成正比，圓截面梁承載能力和承載能力和d d3 3（d d為橫截面直徑）成正比的正確結(jié)論。對于為橫截面直徑）成正比的正確結(jié)論。對于空心梁承載能力的敘述則更為精彩，他說，空心梁空心梁承載能力的敘述則更為精彩，他說，空心梁“能大能大大提高強度而無需增加重量，所以在技術上得

3、到廣泛的應大提高強度而無需增加重量，所以在技術上得到廣泛的應用。在自然界就更為普遍了。這樣的例子在鳥類的骨骼和用。在自然界就更為普遍了。這樣的例子在鳥類的骨骼和各種蘆葦中可以看到，它們既輕巧，而又對彎曲和斷裂具各種蘆葦中可以看到，它們既輕巧，而又對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力有相當高的抵抗能力”。 梁在彎曲變形時，沿長度方向的纖維中有一層既不伸長梁在彎曲變形時，沿長度方向的纖維中有一層既不伸長也不縮短者，稱為也不縮短者，稱為中性層中性層。早在。早在16201620年荷蘭物理學家和力學年荷蘭物理學家和力學家比克門（家比克門（beeckman ibeeckman i）發(fā)現(xiàn)，梁彎曲時一側(cè)纖維伸長、

4、另）發(fā)現(xiàn)，梁彎曲時一側(cè)纖維伸長、另一側(cè)纖維縮短，必然存在既不伸長也不縮短的中性層。英國一側(cè)纖維縮短，必然存在既不伸長也不縮短的中性層。英國科學家胡克（科學家胡克（hooke rhooke r）于）于16781678年也闡述了同樣的現(xiàn)象，但他年也闡述了同樣的現(xiàn)象，但他們都沒有述及中性層位置問題。首先論及中性層位置的是法們都沒有述及中性層位置問題。首先論及中性層位置的是法國科學家馬略特（國科學家馬略特（mariotte e, 1680mariotte e, 1680年）。其后萊布尼茲年）。其后萊布尼茲（leibniz g wleibniz g w）、雅科布）、雅科布伯努利（伯努利（jakob be

5、rnoullijakob bernoulli，16941694）、伐里農(nóng)（）、伐里農(nóng)（varignon d, 1702varignon d, 1702年）等人及其他學者的年）等人及其他學者的研究工作盡管都涉及了這一問題，但都沒有得出正確的結(jié)論。研究工作盡管都涉及了這一問題，但都沒有得出正確的結(jié)論。1818世紀初，法國學者帕倫（世紀初，法國學者帕倫（parent aparent a）對這一問題的研究取）對這一問題的研究取得了突破性的進展。直到得了突破性的進展。直到18261826年納維（年納維（naviernavier，c. c. l. l. m. m. h h）才在他的材料力學講義中給出正確的

6、結(jié)論：中性層過橫）才在他的材料力學講義中給出正確的結(jié)論：中性層過橫截面的形心。截面的形心。 平截面假設平截面假設是材料力學計算理論的重要基礎之一。雅科是材料力學計算理論的重要基礎之一。雅科布布伯努利于伯努利于16951695年提出了梁彎曲的平截面假設，由此可以證明年提出了梁彎曲的平截面假設，由此可以證明梁（中性層）的曲率和彎矩成正比。此外他還得到了梁（中性層）的曲率和彎矩成正比。此外他還得到了梁的撓曲梁的撓曲線微分方程線微分方程。但由于沒有采用曲率的簡化式，且當時尚無彈性。但由于沒有采用曲率的簡化式，且當時尚無彈性模量的定量結(jié)果，致使該理論并沒有得到廣泛的應用。模量的定量結(jié)果，致使該理論并沒有

7、得到廣泛的應用。 梁的變形計算問題梁的變形計算問題，早在，早在1313世紀納莫爾（世紀納莫爾（nemore j nemore j dede）已經(jīng)提出，此后雅科布）已經(jīng)提出，此后雅科布伯努利、丹尼爾伯努利、丹尼爾伯努利伯努利（daniel bernoullidaniel bernoulli）、歐拉（）、歐拉（euler leuler l）等人都曾經(jīng)研）等人都曾經(jīng)研究過這一問題。究過這一問題。18261826年納維在他材料力學講義中得出了正年納維在他材料力學講義中得出了正確的撓曲線微分方程式及梁的彎曲強度的正確公式，為梁確的撓曲線微分方程式及梁的彎曲強度的正確公式，為梁的變形與強度計算問題奠定了正

8、確的理論基礎。的變形與強度計算問題奠定了正確的理論基礎。 俄羅斯鐵路工程師儒拉夫斯基（俄羅斯鐵路工程師儒拉夫斯基（）于于18551855年得到年得到橫力彎曲時的切應力橫力彎曲時的切應力公式。公式。3030年后，他的同胞別年后，他的同胞別斯帕羅夫（斯帕羅夫（）開始使用彎矩圖，被認為是）開始使用彎矩圖，被認為是歷史上第一個使用歷史上第一個使用彎矩圖彎矩圖的人。的人。 內(nèi)內(nèi) 容容 提提 要要剪力和彎矩剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖9 1 剪力和彎矩剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖在外力作用下主要發(fā)生彎曲變形的桿件稱為梁。在外力作用下主要發(fā)生彎曲變形的桿件稱為梁。apab一、梁的剪力

9、（一、梁的剪力（ fs ）和彎矩）和彎矩 （ m ） 的定義與計算的定義與計算mmx1、用截面法求橫截面上的內(nèi)力、用截面法求橫截面上的內(nèi)力fs用截面法假想地在用截面法假想地在橫截面橫截面mm處把梁分處把梁分為兩段，先分析梁左段。為兩段，先分析梁左段。xxmamycapabmmx00ffysa由平衡方程得由平衡方程得可得可得 fs = fafs 稱為稱為 fa可得可得 m = fax由平衡方程由平衡方程 0mc0 xfmam內(nèi)力偶內(nèi)力偶 m 稱為稱為 apabmmxfsxxmamycfamapabmmxfsxxmamycfa梁在彎曲變形時，梁在彎曲變形時，橫截面上的內(nèi)力有橫截面上的內(nèi)力有兩個，即

10、，兩個，即，結(jié)論結(jié)論剪力剪力 fs彎矩彎矩 mfsm其上剪力的指向和彎矩其上剪力的指向和彎矩的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為研究對象所示相反。研究對象所示相反。mfsxxmamycfa取右段梁為研究對象。取右段梁為研究對象。bmmfbpdx+（1）剪力）剪力 fs 的符號的符號2、fs 和和 m 的正負號的規(guī)定的正負號的規(guī)定剪力剪力 fs 使使 梁的微段發(fā)生梁的微段發(fā)生 “ 左上右下左上右下 ” 的錯動的錯動為為 正正。fsfs或使或使 考慮的脫離體考慮的脫離體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正正。dx剪力剪力 fs 使使 梁的微段發(fā)生梁的微段發(fā)生 “ 左下右上左下右上

11、” 的錯動的錯動為為負負。fsfs或使或使 考慮的脫離體考慮的脫離體有逆時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為有逆時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為負負。+橫截面橫截面上的彎矩使考慮的脫離體下邊受拉，上邊受壓時為上的彎矩使考慮的脫離體下邊受拉，上邊受壓時為 正正 。（2）彎矩符號）彎矩符號（受拉）（受拉）mm（受壓）（受壓）橫截面橫截面上的彎矩使考慮的脫離體上邊受拉，下邊受壓時為上的彎矩使考慮的脫離體上邊受拉，下邊受壓時為 負負。-（受壓）（受壓）mm（受拉）（受拉）例題例題：求外伸梁：求外伸梁 1-1，2-2，3-3，4-4 橫截面上的剪力和彎矩。橫截面上的剪力和彎矩。12kn.mab2m2m2m2kn11223344fb

12、fa解：求支座反力，取整體為研究對象解：求支座反力，取整體為研究對象)(6),(4knfknfba12kn.mab2m2m2m2kn1123344fbfa)(.8),(411mknmknfsfa11m1fs1求求 1-1 橫截面上的內(nèi)力（假設橫截面上的內(nèi)力（假設剪力和彎矩為正剪力和彎矩為正）。）。02, 00, 011mfmfffacsay212kn.mab2m2m2m2kn223344fbfamknmknfs.4 , )(422m2fs2求求 2-2 橫截面上的內(nèi)力（假設橫截面上的內(nèi)力（假設剪力和彎矩為正剪力和彎矩為正）。）。fa12kn.m2211)(.8),(411mknmknfs012

13、2 00 022mfmfffacsay12kn.mab2m2m2m2kn223344fbfamknmknfs.,4 )(42211)(.8),(411mknmknfs在集中力偶兩側(cè)的相鄰橫截面上在集中力偶兩側(cè)的相鄰橫截面上, 剪力相同而彎矩發(fā)生突變剪力相同而彎矩發(fā)生突變, 且突變值等于外集中力偶之矩且突變值等于外集中力偶之矩.12kn.mab2m2m2m2kn223344fbfa11)(.4),(433mknmknfs求求 3-3 橫截面上的內(nèi)力（假設橫截面上的內(nèi)力（假設剪力和彎矩為正剪力和彎矩為正）。）。fa12kn.m33m3fs30124 00 033mfmfffacsay12kn.ma

14、b2m2m2m2kn223344fbfa11)(.4),(433mknmknfs求求 4-4 橫截面上的內(nèi)力（假設橫截面上的內(nèi)力（假設剪力和彎矩為正剪力和彎矩為正）。）。m4fs4)(.4),(244mknmknfs2kn4412kn.mab2m2m2m2kn223344fbfa11)(.4),(433mknmknfs)(.4),(244mknmknfs在集中力兩側(cè)的相鄰橫截面上在集中力兩側(cè)的相鄰橫截面上 , 剪力發(fā)生突變剪力發(fā)生突變 , 且突變值等于且突變值等于集中力的數(shù)值集中力的數(shù)值 。而彎矩保持不變。而彎矩保持不變。橫截面上的橫截面上的 剪力剪力 在數(shù)值上等于此橫截面的在數(shù)值上等于此橫截

15、面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右右側(cè)側(cè) 梁段上所有豎向梁段上所有豎向 外力（包括斜向外力的豎向分力）的外力（包括斜向外力的豎向分力）的代數(shù)和代數(shù)和 。外力正負號的規(guī)定與剪力正負號的規(guī)定相同。外力正負號的規(guī)定與剪力正負號的規(guī)定相同。求剪力和彎矩的簡便方法求剪力和彎矩的簡便方法剪力符號：當截面上的剪力使考慮的脫離體有順時針轉(zhuǎn)動剪力符號：當截面上的剪力使考慮的脫離體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢時的剪力為正；反之為負。趨勢時的剪力為正；反之為負。 橫截面上的橫截面上的 在數(shù)值上等于此橫截面的在數(shù)值上等于此橫截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右側(cè)右側(cè) 梁梁段上的段上的 外力（包括外力偶）對該截面形心的力矩之代數(shù)和外力（包括外力偶）對

16、該截面形心的力矩之代數(shù)和 。外。外力矩的正負號規(guī)定與彎矩的正負號規(guī)定相同。力矩的正負號規(guī)定與彎矩的正負號規(guī)定相同。彎矩符號：當橫截面上的彎矩使考慮的脫離體凹向上彎曲（下彎矩符號：當橫截面上的彎矩使考慮的脫離體凹向上彎曲（下半部受拉，上半部受壓）時，橫截面上的彎矩為正；反之凹向半部受拉，上半部受壓）時，橫截面上的彎矩為正；反之凹向下彎曲（上半部受拉，下半部受壓）為負。下彎曲（上半部受拉，下半部受壓）為負。不論在截面的不論在截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右側(cè)右側(cè) 向上的外力均將引起向上的外力均將引起 正值正值 的彎矩，而向下的彎矩，而向下 的外力則引起的外力則引起 負值負值 的彎矩。的彎矩。熟練掌握熟練

17、掌握簡便法簡便法梁的不同截面上的內(nèi)力是不同的，即梁的不同截面上的內(nèi)力是不同的，即剪力和彎矩是隨截面的剪力和彎矩是隨截面的位置而變化位置而變化。 為了便于形象的看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常是將剪力和彎矩為了便于形象的看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常是將剪力和彎矩沿梁長的變化情況用圖形來表示沿梁長的變化情況用圖形來表示剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖都是函數(shù)圖形，其剪力圖和彎矩圖都是函數(shù)圖形，其橫坐標表示梁的截面位置橫坐標表示梁的截面位置，縱坐標表示相應的剪力和彎矩縱坐標表示相應的剪力和彎矩。剪力圖和彎矩圖的畫法是：先列出剪力和彎矩隨截面位置變剪力圖和彎矩圖的畫法是：先列出剪力和彎矩隨截面位置變化

18、的函數(shù)式，再由函數(shù)式畫出函數(shù)圖形。化的函數(shù)式，再由函數(shù)式畫出函數(shù)圖形。二、列剪力方程和彎矩方程 ，畫剪力圖和彎矩圖彎矩彎矩 : : 正值正值彎矩畫在彎矩畫在 x 軸的軸的下側(cè)下側(cè)；負值負值彎矩畫在彎矩畫在x 軸軸上側(cè)上側(cè)。 剪力剪力 : 正值剪力畫在正值剪力畫在 x 軸上側(cè)，負值剪力畫在軸上側(cè)，負值剪力畫在 x x 軸下側(cè)。軸下側(cè)。剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 即即 fs = fs (x ) m = m（x）* * *剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 ：以梁的左端點為坐標原點，：以梁的左端點為坐標原點，x 軸與梁軸與梁的軸線重合的軸線重合, , 找出橫截面上剪力和彎矩與橫截面位置的關系找出

19、橫截面上剪力和彎矩與橫截面位置的關系 , , 這種關系稱為剪力方程和彎矩方程。這種關系稱為剪力方程和彎矩方程。 繪剪力圖和彎矩圖的基本方法：首先分別寫出梁繪剪力圖和彎矩圖的基本方法：首先分別寫出梁 的剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)它們作圖。的剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)它們作圖。xm(x)m 圖的坐標圖的坐標系系oxfs(x)fs 圖的坐標系圖的坐標系o例題例題：圖示為一受均布荷載作用的懸臂梁。試作此梁的剪力圖：圖示為一受均布荷載作用的懸臂梁。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。和彎矩圖。xl解解: 將梁在任意將梁在任意 x 處用橫截面截開處用橫截面截開, 取左段為研究對象取左段為研究對象qxqmfs橫截

20、面上有剪力和彎矩橫截面上有剪力和彎矩 , 假設均為正值假設均為正值xlqxqmfs根據(jù)研究對象的平衡條件列剪力方程和彎矩方程根據(jù)研究對象的平衡條件列剪力方程和彎矩方程)0(21)()0()(2lxqxxmlxqxxfs括號里的不等式說明對應的內(nèi)力方程所使用的區(qū)段。括號里的不等式說明對應的內(nèi)力方程所使用的區(qū)段。xlq)0(21)()0()(2lxqxxmlxqxxfs剪力圖為一斜直線剪力圖為一斜直線qllffss)(0)0(fsx-ql彎矩圖為二次拋物線彎矩圖為二次拋物線qllmqllmm2221)(81)2(0)0(-ql2/2l/2ql2/8xmxlqfsx-ql-ql2/2l/2ql2/8

21、xmqlmqlfs2maxmax,212qlffba解解：求得兩個支反力求得兩個支反力例題例題：圖：圖示簡支梁示簡支梁 ，在全梁上受集度為，在全梁上受集度為 q 的均布荷載作用。的均布荷載作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。ablqfbfa)0(22)()0(2)(2lxqxqlxxmlxqxqlxfs取距左端為取距左端為 x 的任意橫截面。寫出的任意橫截面。寫出 剪力方程剪力方程 和和 彎矩方程彎矩方程。ablqfbfaxqxqlxfs2)(剪力圖為一傾斜直線。剪力圖為一傾斜直線。繪出剪力圖。繪出剪力圖。x = 0 處處 ，2qlfs x = l 處處 ，2qlfs +

22、ablqfbfax2ql2ql_22)(2qxqlxxm彎矩圖為一條二次拋物線。彎矩圖為一條二次拋物線。0)(8)2(0)0(2lmqllmmablqfbfax繪出彎矩圖繪出彎矩圖+82ql2( )(0)222axqlxqxm xf xqxxlablqfbfax梁跨中截面上的彎矩值為最大梁跨中截面上的彎矩值為最大82qlm max但此截面上但此截面上 ，fs = 02qlfs max,兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對值為最大絕對值為最大ablqfbfax+82ql2l2ql2ql+lpbfa解：求梁的支反力解：求梁的支反力lpafb例題 : 圖示的簡支梁在 c 點處受集中荷載

23、p作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。lpabcabfafb因為因為 ac 段和段和 cb 段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段寫寫剪力方程和彎矩方程。剪力方程和彎矩方程。lpabcabfafblpabcabx ac段：段：fafb)0( )(axlpbxfs)0( )(axxlpbxmlpabcabxx ()()()()()sbpbpaf xpax lllpbpam xf lxx p x alxax lll cb段：段：fafblpabcabfax1x2lpbxfs)(1lpaxfs)(2pb/lpa/l+-fblpabcabx1x2xlpbxm11)()()(22xll

24、paxm+pab/lfafblpabcabx1x2+pab/lpb/lpa/l+-在集中荷載作用處的左、在集中荷載作用處的左、右兩側(cè)截面上右兩側(cè)截面上 剪力值（圖）剪力值（圖）有突變有突變。突變突變 值等于集中值等于集中荷載荷載 p 。彎矩圖形成尖角，彎矩圖形成尖角，該處彎矩值最大該處彎矩值最大 。fafb例題例題: 試作簡支梁的剪力圖和彎矩圖試作簡支梁的剪力圖和彎矩圖 .0.4mabc2kn.m10kn/m0.2m解解: 求支座反力求支座反力fafb)(6);(2knfknfba0.4mabc2kn.m10kn/m0.2mfafb分段列剪力方程和彎矩方程分段列剪力方程和彎矩方程xac段段 :

25、)2 . 00(2)()2 . 00(2)(xxxfxmxfxfaas)(6);(2knfknfba0.4mabc2kn.m10kn/m0.2mfafbxcb段段 :)6 . 02 . 0(8 . 15)2 . 0(102122)()6 . 02 . 0(10)2 . 0(102)(22xxxxxmxxxxfsx)(6);(2knfknfba0.4mabc2kn.m10kn/m0.2mfafbx)6 . 02 . 0(10)(xxxfsx)2 . 00(2)(xxfs-62剪力圖剪力圖0.4mabc2kn.m10kn/m0.2mfafbxx)6 . 02 . 0(8 . 15)(2xxxm)2 . 00(2)(xxxm彎矩圖彎矩圖ac段為斜直線段為斜直線 , cb段為二次段為二次拋物線拋物線 .cb段取三個截面的彎矩值段取三個截面的彎矩值0)6 . 0(0 . 1)4 . 0(6 . 1)2 . 0(mmm+-1.60.40.4m1.00.4mabc2kn.m10kn/m0.2mfafb+-1.60.4-62mknmknfs.6 . 16maxmax,最大剪力位于最大剪力位于 b 支座稍左橫支座稍左橫截面上截面上 .最大彎矩位于最大彎矩位于 集中力偶作用集中力偶作用處稍右橫截面上處稍右橫截面上 .0.4mabc2kn.m10kn/m0.2mfafb+-1.60.