立體幾何求角

1、立體幾何求角一 解答題(共8小題)1 如圖，在正四棱錐 P-ABCD中, PA=AB=a E是棱PC的中點(diǎn).(1) 求證：PCX BD；(2) 求直線BE與PA所成角的余弦值.2.如圖，已知BCD所在平面互相垂直，且/ BAC玄BCD=90 , AB=AC CB=CD點(diǎn)E, F分別在線段BD, CD上，沿直線 丘卩將厶EFD向上翻折使得 D與A重合(I) 求證：AB丄CF;(H)求直線 AE與平面ABC所成角.3.如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1O中，AB=AC=5 BB=BC=6 D, E分別是 AA和BiC的中點(diǎn).(1) 求證：DEI BC(2) 求三棱錐 E- BCD的體積.z4.

2、如圖：ABCD是平行四邊形， AP丄平面 ABCD BE/ AP, AB=AP=2 BE=BC=1 / CBA=60(1) 求證：EC/平面PAD；(2) 求證：平面 PACL平面EBC(3) 求直線PC與平面PABE所成角的正弦值.5. 如圖所示，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA丄平面ABCD M N分別是AB PC 的中點(diǎn)，PA=AD=1 AB=2(1) 求證：MIN/平面PAD(2) 求證：平面 PMC_平面PCD(3) 求點(diǎn)D到平面PMC的距離.6. 如圖，在四棱錐 P ABCD中, AD丄平面 PDC AD/ BC, PD丄PB, AD=1, BC=3, CD=4,

3、 PD=2(I) 求異面直線 AP與BC所成角的余弦值；(n)求證：PD丄平面PBC(川)求直線 AB與平面PBC所成角的正弦值.7.如圖，已知三棱錐 P- ABC PAL平面 ABC / ACB=90，/ BAC=60 , PA=AC M 為 PB 的中點(diǎn).(I)求證：PC丄BC(n)求二面角 M- AC- B的大小.&如圖，四棱錐 P-ABCD中, PD丄底面ABCD且底面ABCD為平行四邊形，若/ DAB=60 , AB=2, AD=1.(1) 求證：pal BD(2) 若/ PCD=45，求點(diǎn)D到平面PBC的距離h.立體幾何求角一 解答題（共8小題）1 如圖，在正四棱錐 P-ABCD中

4、, PA=AB=a E是棱PC的中點(diǎn).（1）求證：PCX BD；（2）求直線BE與PA所成角的余弦值.【解答】 證明：（1廠四邊形 ABCD為正方形，且 PA=AB=a PBC PDC都是等邊三角形，（2分） E是棱PC的中點(diǎn)， BEX PC, DEI PC,又 BE n DE=E PC丄平面BDE（5 分）又BD?平面BDE PCX BD（6 分）解：（2）連接AC,交BD于點(diǎn)O連OE四邊形ABCD為正方形， O是AC的中點(diǎn)（ 8分）又E是PC的中點(diǎn) OEACP的中位線， AP/ OE2-,（ 12 分） / BEO即為BE與PA所成的角（ 10分）在 Rt BOE中, BE= _ , ”

5、EO- C0S / BEO= - _ ：直線BE與PA所成角的余弦值為2.如圖，已知 ABC和 BCD所在平面互相垂直，且/ BAC玄BCD=90 , AB=AC CB=CD 點(diǎn)E, F分別在線段BD CD上，沿直線 丘卩將厶EFD向上翻折使得 D與A重合AE=lf AH=?明二半所以直線AE與平面ABC所成角為（15 分）.(I)求證：AB丄CF;(n)求直線 AE與平面ABC所成角.R【解答】 解：（1）面ABCL面BCD面AB6面BCD=BC / BCD=90? CF丄 BC,? FC丄面ABC? AB丄CF（5 分）（2 ）設(shè) AB=AC=1,則BI1-2 ,設(shè) BE=t ,貝U ed

6、=ea=2 - t ,a取BC的中點(diǎn)H,連接HE AH又ZEBH=4 5 JW-t兮面ABC丄面ECD?面ABCD面ECD二BC =AH丄面BCD-（ 7 分）AH1BC 又 AH!面 BCD AEAH+EH,. 2 - t ）Il|,.點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，(10分)HE/ BC, HE!面ABC / BEA為所求角的線面角(12分)（14 分）3.如圖，在直三棱柱 ABC- ABQ中，AB=AC=5 BB=BC=6 D, E分別是 AA和BiC的中點(diǎn).(1) 求證：DEI BC(2) 求三棱錐 E- BCD的體積.【解答】證明：(1)取BC中點(diǎn)F,連結(jié)EF, AF,則EFA BCB的中位線，/

7、 EF/ BB, EF=-BB,/AD/ BB, AD丄BB,. EF/ AD, EF=AD 二四邊形 ADEF是平行四邊形，二 DE/ AF,2/ AB=AC F 是 BC的中點(diǎn)， AF丄 BC, / DEI BC.(2)T BB 丄平面 ABC AF?平面 ABC, BB 丄 AF,又 AF丄 BC BC?平面 BCCBi ,BB?平面 BCCBi , BCA BB=B, AF丄平面 BCCBi , DEL平面 BCCBi , AF= . =4 ,DE=AF=4t AC=5, BC=6 - CF=|-, l=3 , / BC=BB=6 , Sbc弓C?=9.三棱錐E- BCD的體積憐bce

8、?de護(hù)9=124.如圖：ABCD是平行四邊形， AP丄平面 ABCD BE/ AP, AB=AP=2 BE=BC=1 / CBA=60(1) 求證：EC/平面PAD(2) 求證：平面 PACL平面EBC(3) 求直線PC與平面PABE所成角的正弦值.BE/ PA, BE?平面PAD PA?平面PAD 所以BE/平面PAD,同理BC/平面 所以平面PAD/平面EBC 因?yàn)镋C?平面EBC所以EC/平面PADPAD（4 分）(2) 證明：因?yàn)?AB=2 BC=1, / CBA=60 , 由余弦定理得，AC=；,所以由勾股定理逆定理/ BCA=90 ,所以AC丄BC,又因?yàn)?BEX平面 ABCD所

9、以BEX AC, 則有AC丄平面EBC AC?平面PAC 所以平面 BECX平面PAC ( 8分)(3) 解：作CHXAB于H ,連結(jié)PH, 又因?yàn)镃H丄PA 所以CH丄平面PABE 所以/ HPC即為線面角，5.如圖所示,四棱錐 P-ABCD中 ,底面 ABCD是矩形,PA丄平面ABCD M N分別是AB PC 的中點(diǎn)，PA=AD=1 AB=2(1) 求證：MIN/平面PAD(2) 求證：平面 PMC_平面PCD(3) 求點(diǎn)D到平面PMC的距離.【解答】(1)證明：設(shè)PD的中點(diǎn)為E,連接AE NE由N為PC的中點(diǎn)知又ABCD是矩形， DC平行且等于 AB,. EN平行且等于二AB2又M是AB

10、的中點(diǎn)， EN平行且等于 AM AMNE是平行四邊形 MN/ AE,而 AE?平面 PAD NM?平面 PAD MN/平面 PAD(2) 證明：T PA=AD AE PD,又 PA!平面 ABCD CD?平面 ABCD CD! PA 而 CD! AD CD!平面 PAD CD! AE, / PDA CD=D AE!平面 PCD/ MN/ AE, MNL平面 PCD又MN平面PMC平面 PMC_平面 PCD(3) 解：設(shè)點(diǎn)D到平面PMC的距離為h,則丄x丄X2X IX L23232點(diǎn)D到平面PMC的距離h= 1 I56.如圖，在四棱錐 P- ABCD中 , AD丄平面 PDC AD/ BC, P

11、D丄PB, AD=1,(I)求異面直線 AP與BC所成角的余弦值；(H)求證：PD丄平面PBC(川)求直線 AB與平面PBC所成角的正弦值.BC=3, CD=4, PD=2【解答】解: (I)如圖，由已知 AD/ BC, 故/ DAP或其補(bǔ)角即為異面直線 AP與BC所成的角.因?yàn)锳D丄平面 PDC 所以AD丄PD.在 Rt pda中 ,由已知，得,故 casZDAP=-f=-I-所以，異面直線 AP與BC所成角的余弦值為 2 .5證明：（n）因?yàn)?ADL平面 PDC直線 PD?平面PDC所以AD丄PD又因?yàn)锽C/ AD,所以PD丄BC又PD丄PB所以PDL平面 PBC解：（川）過(guò)點(diǎn) D作AB的

12、平行線交 BC于點(diǎn)F,連結(jié)PF, 則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角. 因?yàn)镻D丄平面PBC 故PF為DF在平面PBC上的射影， 所以/ DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于 AD/ BC DF/ AB 故 BF=AD=1由已知,得 CF=BC- BF=2.又ADL DC 故BC丄DC 在Rt DCF中，可得心所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為7.如圖，已知三棱錐 P- ABC PA1平面 ABC / ACB=90，/ BAC=60 , PA=AC M 為 PB 的中點(diǎn).(I)求證：PCX BC(n)求二面角 M- AC- B的大小.【解答】 解：（I）證明：

13、由 Pal平面ABC PA! BC,又因?yàn)? ACB=90，即 BCL AC BC丄面 PAC PCX BC.（n）取 AB中點(diǎn)O,連結(jié)MO過(guò)O作HCL AC于 H,連結(jié) MH因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，所以 MO/ PA,又因?yàn)镻U面ABC二MQL面ABC /-Z MHO為二面角 M- AC- B的平面角. 設(shè) AC=2 則 BC=V3, MO=1 OH訴,在 Rt MHOK tan Z MHO=丄HO 一 3二面角 M- AC- B的大小為300.BDAB=60 ,&如圖，四棱錐 P-ABCDK, PD丄底面ABCD且底面ABCD為平行四邊形，若AB=2, AD=1.(1) 求證：PA丄BD(2) 若/ PCD=45，求點(diǎn)D到平面PBC的距離h.【解答】(1)證明：T AD=1, AB=2,Z DAB=60 , BD2=aB+AE2 - 2AB?AD?cos60 =3, ad2+bd2=aB, AD丄 B