數(shù)學(xué) 論文 畢業(yè)論文 數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法歸納總結(jié)與解題思路分析

1、數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法歸納總結(jié)與解題思路分析摘要：文章對數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，得到一般的解題思路.關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級數(shù) 斂散性 判別方法 歸納總結(jié) 解題思路引言： 在講解數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法時(shí)，每講一種判別方法，學(xué)生按照指定的判別方法進(jìn)行解題，一般都能很容易求得結(jié)果，而當(dāng)把多種判別方法講完，再讓學(xué)生作綜合判別時(shí)， 學(xué)生要么束手無策，要么選擇判別方法時(shí)帶有盲目性 ，拿作判別方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性解題，只要求得結(jié)果，不問方法的簡單與繁瑣，而不是先從簡單方法入手，往往用一種簡單的方法就可以輕松解題，卻用較繁瑣方法費(fèi)了九牛二虎之力，結(jié)果還不一定正確，造成這種情況的主要原因主要是學(xué)生對所學(xué)的判別

2、方法的使用條件及特點(diǎn)不太熟悉，解題思路比較亂 .所以在講解完常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法之后，非常有必要?dú)w納總結(jié)一下.教材中常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法有以下多種特殊項(xiàng)級數(shù) （一）等比級數(shù)（幾何級數(shù)）判別法：（1） 當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂； （2）當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散 （二）級數(shù)判別法：(1)當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散(2)當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂正項(xiàng)級數(shù)（三）比較原則：設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，若（2） 當(dāng)時(shí)，兩級數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（3） 當(dāng)且級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)也收斂；（4） 當(dāng)且級數(shù)發(fā)散時(shí)，級數(shù)也發(fā)散；（四）比式判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級數(shù)，且則 (1)當(dāng)時(shí)，級數(shù)也收斂；(2)當(dāng)時(shí)，或時(shí)，級數(shù)發(fā)散；注：當(dāng)時(shí)，）比式判別法不能對級數(shù)的斂

3、散性作出判斷，因?yàn)樗赡苁鞘諗康?，也可能是發(fā)散的.例如，級數(shù)與，它們的比式極限都是 但是收斂的，而是發(fā)散的.（五）根式判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級數(shù)，且則(1)當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂(2)當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散注：當(dāng)時(shí)，根式不能對級數(shù)的斂散性作出判斷例如，級數(shù)與，二者都有，但是收斂的，而是發(fā)散的.但是收斂的，而是發(fā)散的.（六）積分判別法：設(shè)是上非負(fù)遞減函數(shù)那么正項(xiàng)級數(shù)與非正常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（七）拉貝判別法（極限形式）若為正項(xiàng)級數(shù)，且存在，則(1)當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；(2)當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)拉貝判別法無法判斷.一般項(xiàng)級數(shù)（八）級數(shù)若，則此級數(shù)發(fā)散.（九）柯西收斂準(zhǔn)則級數(shù)收斂的充要條件：當(dāng) 時(shí)，有：

4、 （十）絕對收斂定義法：若級數(shù)各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)收斂，則原級數(shù)收斂；（十一）萊布尼茲判別法：若交錯(cuò)級數(shù)滿足下述兩個(gè)條件：(1)數(shù)列單調(diào)遞減；(2)則級數(shù)收斂.（十二）阿貝耳判別法：設(shè)級數(shù)若為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂.（十三）狄利克雷判別法：設(shè)級數(shù)若單調(diào)遞減，且又級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂.每個(gè)級數(shù)收斂的判別方法往往不是唯一的，按什么步驟判別其斂散性才能較快地得出結(jié)論呢？ (1)等比級數(shù)和級數(shù)的斂散性判別比較簡單，由級數(shù)的形式就可直接看出；由，即可判斷，級數(shù)發(fā)散；比式判別法和根式判別法只要算出和的值即可。前者比后者更常用，但后者較之前者更有效（見例1），以上這些方法都比較簡

5、單，應(yīng)優(yōu)先考慮：比較原則需要找一個(gè)已知其斂散性的級數(shù)作比較（見例2）：積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以非正常積分為比較對象來判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性的方法（見例3）：比式判別法和根式判別法是基于把要判斷的級數(shù)與某一幾何級數(shù)相比較的想法而得到的，也就是說，只有那些級數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度比某一幾何級數(shù)的通項(xiàng)收斂速度快的級數(shù)，這兩種方法才能鑒定出它的收斂性.如果級數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢，就必須尋找級數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢的級數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，那么以p-級數(shù)為比較標(biāo)準(zhǔn)，得到拉貝判別法（見例4）.對于一般項(xiàng)級數(shù)應(yīng)先判別的斂散性，可按正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別方法判定，若收斂，則絕對收斂（見

6、例5），若發(fā)散：再看是否滿足交錯(cuò)級數(shù)的收斂條件，若滿足則為條件收斂（見例6）.對于行如的級數(shù)可用阿貝爾判別法（見例7）或狄利克雷判別法（見例8）判別其收斂性，這兩種方法難度都比較大，應(yīng)適當(dāng)選取和,最后對于任意的級數(shù)都可以用柯西收斂準(zhǔn)則進(jìn)行判斷其斂散性，但繁瑣，難度大，在可以使用以上方法判斷時(shí)，應(yīng)盡量避免使用柯西收斂準(zhǔn)則（見例9）例1：判別級數(shù)的斂散性解：首先它不是等比級數(shù)，也不是級數(shù)，由于 故用比式判別法無法判定此級數(shù)的斂散性，現(xiàn)在用根式判別法來考察這個(gè)級數(shù)，由于 所以 由根式判別法知原級數(shù)收斂.注：能由比式判別法判定斂散性的級數(shù)，也能用根式判別法來判斷，反之不成立.例2 判別級數(shù)的斂散性解：

7、它不是等比級數(shù)也不是級數(shù)，也無法用比式判別法和根式判別法來解題。由于 ，根據(jù)比較原則，及調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)也發(fā)散.例3 討論級數(shù)的斂散性 解：研究非正常積分，由于當(dāng)時(shí)收斂 時(shí)發(fā)散，由積分判別法級數(shù)在時(shí)收斂 時(shí)發(fā)散例4 討論級數(shù)當(dāng)時(shí)的斂散性解：無論哪一個(gè)值，級數(shù)的比式極限都有所以用比式判別法都無法判別此級數(shù)的斂散性，現(xiàn)在應(yīng)用拉貝判別法來討論，當(dāng)時(shí)，由于所以級數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時(shí)，由于這時(shí)，拉貝判別法也無法對此級數(shù)作出判斷，當(dāng)時(shí)，由于所以級數(shù)收斂.例5的各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)是應(yīng)用比式判別法，對于任意實(shí)數(shù)都有=0因此，所考察的級數(shù)對任何實(shí)數(shù)都絕對收斂.例6 考察級數(shù) 的斂散性.解：因?yàn)榘l(fā)散，不滿足

8、絕對收斂定義，而此級數(shù)滿足萊布尼茨條件，故收斂.例7 討論級數(shù) (x0)的斂散性.解：對于數(shù)列 來說，當(dāng)x0時(shí)，01，顯然此級數(shù)是收斂的.（下面用柯西收斂準(zhǔn)則證明）由于=n 及任意自然數(shù)p，由上式就有由柯西收斂準(zhǔn)則推得級數(shù)是收斂的.總結(jié)了數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法和解題思路后，我們就能更好地掌握如何先則數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法，做到避繁就簡，思路清晰，起到事半功倍的效果. 參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（第三版）北京大學(xué)高等教育出版社，19912數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析下冊，陜西師范大學(xué)出版社，1993the induction about convergence criterions of constant term series and the analysis of thinks of solution abstract: the article induced convergence criterions of constant term ser