常微分方程試題庫試卷庫

1、常微分方程期終考試試卷(1)一、 填空題（30%）1、方程有只含的積分因子的充要條件是（ ）。有只含的積分因子的充要條件是_。、_稱為黎卡提方程，它有積分因子_。、_稱為伯努利方程，它有積分因子_。、若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。、形如_的方程稱為歐拉方程。、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_。、當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共軛虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為_時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為_。二、計(jì)算題（）1、若試求方程組的解并求expat、求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解6.求的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.三、證明題（）、階齊線性方程一定存在個(gè)線性無關(guān)解。試卷答案一填空題、

2、 、 、零穩(wěn)定中心二計(jì)算題、解：因?yàn)椋源朔匠滩皇乔‘?dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為 即另外y=0也是解、線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程a=-b=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程b=0 所以原方程的解為、解：解得此時(shí) k=1 由公式expat= 得、解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對(duì)y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為：p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 、解： 、解：由解得奇點(diǎn)（3，-2）令x=x-3,y=y+2則因?yàn)?1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。三、 證明題由解的存在唯一性定

3、理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：考慮從而是線性無關(guān)的。常微分方程期終試卷(2)一、填空題 30%1、 形如_的方程，稱為變量分離方程，這里.分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、 形如_的方程，稱為伯努利方程，這里的連續(xù)函數(shù).n3、 如果存在常數(shù)_對(duì)于所有函數(shù)稱為在r上關(guān)于滿足利普希茲條件。4、 形如_-的方程，稱為歐拉方程，這里5、 設(shè)的某一解，則它的任一解_-。二、 計(jì)算題40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隱式解。 4、 求方程三、 證明題30%1.試驗(yàn)證=是方程組x=x,x=，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間a上的基解矩陣。2.設(shè)為方程x=ax（a為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解

4、矩陣（即（0）=e），證明: (t)=(t- t)其中t為某一值. 常微分方程期終試卷答卷一、 填空題（每空5分）1 2、 z=34、5、二、 計(jì)算題（每題10分）1、這是n=2時(shí)的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，這是線性方程，求得它的通解為z=帶回原來的變量y，得到=或者，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.2、解：積分：故通解為：3、解：齊線性方程的特征方程為，故通解為不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解為4、解 三、證明題（每題15分）1、證明：令的第一列為(t)=,這時(shí)(t)=(t)故(t)是一個(gè)解。同樣如果以(t)表示第二列，我們有(t)= (t)這樣

5、(t)也是一個(gè)解。因此是解矩陣。又因?yàn)閐et=-t故是基解矩陣。2、證明：（1）,(t- t)是基解矩陣。 （2）由于為方程x=ax的解矩陣，所以(t)也是x=ax的解矩陣，而當(dāng)t= t時(shí)，(t)(t)=e, (t- t)=（0）=e. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)常微分方程期終試卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)1. 1. 2xylnydx+dy=02. =6-x3. =24. x=+y5. 5. tgydx-ctydy=06. 6. y-x(+)dx-xdy=07一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面

6、，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。8. 已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。 二 證明題(10%*2=20%)9. 試證：在微分方程mdx+ndy=0中，如果m、n試同齊次函數(shù)，且xm+yn0,則是該方程的一個(gè)積分因子。10. 證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。試題答案：1. 解：=2xlny+2x , =2x,則 =,故方程有積分因子=，原方程兩邊同乘以得dx+dy=0是恰當(dāng)方程. d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=c。2. 解：1）y=0是方程的特解。2）當(dāng)y0時(shí)

7、，令z=得=z+x. 這是線性方程，解得它的通解為z=代回原來的變量y得方程解為=；y=0.3. 解：令x=u+3, y=v2, 可將原方程變?yōu)?，再令z=，得到z+=，即=，分離變量并兩端積分得=+lnc即ln+2arctgz=+lnc，ln=2arctgz+lnc 代回原變量得v=c所以，原方程的解為y+2=c.4. 解：將方程改寫為 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,則(*)變?yōu)閤 =, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnc, 故方程的解為arcsin=lncx。5. 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)= ln+c或sinycosx

8、=c (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)c=0時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=c。6. 解：ydx-xdy-x(+)dx=0,兩邊同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解為arctg=c。7 解：因?yàn)閒=ma=m，又f=，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).8 解：令f(x)=y，=，兩邊求導(dǎo)得=y，即=y，即=dx，兩邊求積得=2x+c，從而y=，故f(x)= .9. 證明：如m、n都是n次齊次函數(shù)，則因?yàn)閤+y=nm，x

9、+y=nn，故有=0.故命題成立。10. 解：1）先找到一個(gè)特解y=。2）令y=+z，化為n=2的伯努利方程。證明：因?yàn)閥=為方程的解，所以=p(x)+q(x)+r(x) (1)令y=+z，則有+= p(x)+q(x)+r(x) (2)(2)(1)得= p(x)+q(x)z即=2p(x)+q(x)z+p(x)此為n=2的伯努利方程。常微分方程期終試卷（4）一、填空題1、（ ）稱為變量分離方程,它有積分因子( )。、當(dāng)（）時(shí)，方程稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。、函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果（）。、對(duì)畢卡逼近序列，。、解線性方程的常用方法有（）。、若為齊線性方程的個(gè)線性無關(guān)解，則這

10、一齊線性方程的所有解可表為（）。、方程組（）。、若和都是的基解矩陣，則和具有關(guān)系：（）。、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部（）時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。、當(dāng)方程組的特征方程有兩個(gè)相異的特征根時(shí)，則當(dāng)（）時(shí)，零解是漸近穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。當(dāng)（）時(shí)，零解是不穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。、若是的基解矩陣，則滿足的解（）。二、計(jì)算題求下列方程的通解。、。、。、求方程通過的第三次近似解。求解下列常系數(shù)線性方程。、。、。試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，進(jìn)一步判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性：、。三、證明題。、 、設(shè)為方程（為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即，證明其中為

11、某一值。答案：一、 填空題、形如的方程、存在常數(shù)0，對(duì)于所有都有使得不等式成立、常數(shù)變異法、待定系數(shù)法、冪級(jí)數(shù)解法、拉普拉斯變換法、，其中是任意常數(shù)、個(gè)線性無關(guān)的解稱之為的一個(gè)基本解組、為非奇異常數(shù)矩陣、等于零穩(wěn)定中心、兩根同號(hào)且均為負(fù)實(shí)數(shù)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)兩根異號(hào)或兩根同號(hào)且均為正實(shí)數(shù)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)或不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)、二、 計(jì)算題、 解：方程可化為令，得由一階線性方程的求解公式，得所以原方程為：、 解：設(shè)，則有，從而，故方程的解為，另外也是方程的解、 解：、 解：對(duì)應(yīng)的特征方程為：，解得所以方程的通解為：、 解：齊線性方程的特征方程為，解得，故齊線性方程的基本解組為：，因?yàn)槭翘卣鞲?，所以原方程有形如，代入原方?/p>

12、得，所以，所以原方程的通解為、 解： 解得所以奇點(diǎn)為（經(jīng)變換，方程組化為因?yàn)橛炙?，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的。三、 證明題、證明：為方程的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以也是方程的基解矩陣，且也是方程的基解矩陣，且都滿足初始條件，所以常微分方程期終考試試卷（5）一 填空題 （30分）1稱為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 _ 。2函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 _ 。3 若為畢卡逼近序列的極限，則有_ 。4方程定義在矩形域上，則經(jīng)過點(diǎn)（0，0）的解的存在區(qū)間是 _ 。5函數(shù)組的伏朗斯基行列式為 _ 。6若為齊線性方程的一個(gè)基本解組，為非齊線性方程的一個(gè)特解

13、，則非齊線性方程的所有解可表為 _ 。7若是的基解矩陣，則向量函數(shù)= _是的滿足初始條件的解；向量函數(shù)= _ 是的滿足初始條件的解。8若矩陣具有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為，那么矩陣= _ 是常系數(shù)線性方程組的一個(gè)基解矩陣。9滿足 _ 的點(diǎn)，稱為駐定方程組。二 計(jì)算題 （60分）10求方程的通解。11求方程的通解。12求初值問題 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。13求方程的通解。14試求方程組的解 15試求線性方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性。 三證明題 （10分） 16如果是滿足初始條件的解，那么 常微分方程期終考試試卷答案一填空題 （3

14、0分） 1 2在上連續(xù)，存在，使，對(duì)于任意 3 4 5 6 7 8 9二計(jì)算題 （60分） 10解： 積分因子 兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程： 兩邊積分得： 得： 因此方程的通解為： 11解：令 則 得： 那么 因此方程的通解為： 12解： ， 解的存在區(qū)間為 即 令 又 誤差估計(jì)為： 13解： 是方程的特征值， 設(shè) 得： 則 得： 因此方程的通解為： 14解： 得 取 得 取 則基解矩陣 因此方程的通解為： 15解： （1，3）是奇點(diǎn) 令 ，那么由 可得： 因此（1，3）是穩(wěn)定中心三證明題 （10分） 16證明：由定理8可知 又因?yàn)?所以 又因?yàn)榫仃?所以常微分方程期終考試試卷(6)三 填空

15、題 （共30分，9小題，10個(gè)空格，每格3分）。1、 當(dāng)_時(shí)，方程m(x,y)dx+n(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全 微分方程。2、_稱為齊次方程。3、求=f(x,y)滿足的解等價(jià)于求積分方程_的連續(xù)解。 4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域g內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程的解 y=作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是_。5、若為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。6、方程組的_稱之為的一個(gè)基本解組。7、若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expat =_。8、滿足_的點(diǎn)（），稱為方程組的奇點(diǎn)。9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部_時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為

16、_。二、計(jì)算題（共6小題，每題10分）。1、求解方程：=2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點(diǎn)（0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：5、試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算6、試討論方程組 （1）的奇點(diǎn)類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。三、證明題（共一題，滿分10分）。試證：如果滿足初始條件的解，那么 常微分方程期末考試答案卷一、 一、 填空題。（30分）1、2、3、y=+4、連續(xù)的5、w6、n個(gè)線性無關(guān)解7、8、x(x,y)=0,y(x,y)=09、為零 穩(wěn)定中心二、計(jì)算題。（60分）1、解：

17、(x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以2、解：，令z=x+y則所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即3、解： 設(shè)f(x,y)= ,則 故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)， 因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件， 顯然，是通過點(diǎn)（0，0）的一個(gè)解； 又由解得，|y|= 所以，通過點(diǎn)（0，0）的一切解為及|y|=4、解： (1) 齊次方程的通解為x= (2)不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得a=，b=-于是 通解為x=+5、解： det()= 所以， 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為 由 取 所以，

18、= 6、解： 因?yàn)榉匠探M（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件 ，故奇點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0） 又由det(a-e)=得 所以，方程組的奇點(diǎn)（0，0）可分為以下類型： a，c為實(shí)數(shù)三、證明題。 （10分）證明： 設(shè)的形式為= （1） （c為待定的常向量） 則由初始條件得= 又= 所以，c= 代入（1）得= 即命題得證。常微分方程期終試卷(7)一、選擇題1階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ ）個(gè)（a） （b）-1 （c）+1 （d）+22李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的（ ）條件（a）充分 （b）必要 （c）充分必要 （d）必要非充分3. 方程過點(diǎn)共有（ ）個(gè)解（a）一 （b）

19、無數(shù) （c）兩 （d）三4方程（ ）奇解（a）有一個(gè) （b）有兩個(gè) （c）無 （d）有無數(shù)個(gè)5方程的奇解是（ ）（a） （b） （c） （d）二、計(jì)算題1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4. 5.三、求下列方程的通解或通積分1.2. 3. 四證明1.設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)c使得=c2在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切試卷答案一、選擇題1.a 2.b 3.b 4.c 5.d二、計(jì)算題1 解：將方程改寫為=+（*） 令u=,得到 =x+u,則(*)變?yōu)閤=, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnc,

20、故方程的解為arcsin=lncx。2 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)=-ln+c或sinycosx=c (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)c=0時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=c。3. 方程化為 令，則，代入上式，得 分量變量，積分，通解為 原方程通解為 4解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 +5解 因?yàn)?，所以原方程是全微分方?取，原方程的通積分為 即三、求下列方程的通解或通積分1解

21、當(dāng)時(shí)，分離變量得 等式兩端積分得 方程的通積分為 2解 令，則，代入原方程，得 ， 當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得 ，即通積分為： 3解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + 四證明1.證明 設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們?cè)谏嫌卸x，其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的 由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得， 由于，可知否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾故 2證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程有零解 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有= 0，那么

22、由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有這與是非零解矛盾常微分方程期終試卷(8)一、 填空（每空3分）1、 稱為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 。2、函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 。3、若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件是 。4、形如 的方程稱為歐拉方程。5、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系： 。6、若向量函數(shù)在域上 ，則方程組的解存在且惟一。7、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部 ，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 。二、 求下列方程的解1、 （6分）2、 （8分）3、 （8分）4、 （8分）5、 （

23、6分）6、 （8分）7、 （8分）三、 求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性（8分）答案一、 填空（每空4分）1、 形如的方程，2、 存在常數(shù)，使得，有3、4、5、 （c為非奇異方程）6、 連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件7、 等于零，穩(wěn)定中心二、 求下列方程的解 1、（6分） 解：故方程的通解為 2、（8分）解：兩邊除以： 變量分離： 兩邊積分：即： 3、（8分）解：令則于是 得 即 兩邊積分 于是，通解為4、（8分）解：積分：故通解為：5、（6分）解：齊線性方程的特征方程為，故通解為不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解為6、（8分）解：齊線性方程的特征方程為，解得于是齊線

24、性方程通解為令為原方程的解，則得，積分得；故通解為7、（8分）解：則 從而方程可化為 ， 積分得 三、 求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性（8分）解：解方程組，解得所以（1，3）為奇點(diǎn)。令則 而，令，得為虛根，且，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定中心，零解是穩(wěn)定的。常微分期中測試卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)2. 1. x=+y3. 2. tgydx-ctydy=04. 3. y-x(+)dx-xdy=05. 4. 2xylnydx+dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。8一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正

25、比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。 二 證明題(10%*2=20%)1. 證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。2 試證：在微分方程mdx+ndy=0中，如果m、n試同齊次函數(shù)，且xm+yn0,則是該方程的一個(gè)積分因子。試題答案：1 解：將方程改寫為 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,則(*)變?yōu)閤 =, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnc, 故方程的解為arcsin=lncx。2 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)= l

26、n+c或sinycosx=c (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)c=0時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=c。3 ydx-xdy-x(+)dx=0,兩邊同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解為arctg=c。4 解：=2xlny+2x , =2x,則 =,故方程有積分因子=，原方程兩邊同乘以得dx+dy=0是恰當(dāng)方程. d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=c。5 解：1）y=0是方程的特解。2）當(dāng)y0時(shí)，令z=得=z+x. 這是線性方

27、程，解得它的通解為z=代回原來的變量y得方程解為=；y=0.6解：令x=u+3, y=v2, 可將原方程變?yōu)?，再令z=，得到z+=，即=，分離變量并兩端積分得=+lnc即ln+2arctgz=+lnc，ln=2arctgz+lnc代回原變量得v=c所以，原方程的解為y+2=c.9 解：令f(x)=y，=，兩邊求導(dǎo)得=y，即=y，即=dx，兩邊求積得=2x+c，從而y=，故f(x)= .10 解：因?yàn)閒=ma=m，又f=，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).11 解：1）先找到一個(gè)特解y=。2）令y=+z，化為n=2的伯努利方程。證明：因?yàn)閥=為方程的解，所以=p(

28、x)+q(x)+r(x) (1)令y=+z，則有+= p(x)+q(x)+r(x) (2)(2)(1)得= p(x)+q(x)z即=2p(x)+q(x)z+p(x)此為n=2的伯努利方程。12 證明：如m、n都是n次齊次函數(shù)，則因?yàn)閤+y=nm，x+y=nn，故有=0.故命題成立。常微分方程期終試卷(9)一、填空題（每小題5分，本題共30分）1方程的任一解的最大存在區(qū)間必定是 2方程的基本解組是 3向量函數(shù)組在區(qū)間i上線性相關(guān)的_條件是在區(qū)間i上它們的朗斯基行列式4李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的 條件5階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間6向量函數(shù)組在其定義區(qū)間上線性

29、相關(guān)的 條件是它們的朗斯基行列式，二、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分）求下列方程的通解7. 8. 910求方程的通解11求下列方程組的通解 三、證明題（每小題15分，本題共30分）12設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)13設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程 的所有解的存在區(qū)間必為 常微分方程期末試卷參考答案一、填空題（每小題5分，本題共30分） 1 23必要4充分5n6必要二、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分）7解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + 8解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為 即 。 9解 令，則原方

30、程的參數(shù)形式為 由基本關(guān)系式 積分有 得原方程參數(shù)形式通解 。10解 方程的特征根為， 齊次方程的通解為 因?yàn)椴皇翘卣鞲Ｋ裕O(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)得 確定出 ， 。原方程的通解為 。 11解 特征方程為 即 。 特征根為 ， 。 對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 可確定出 同樣可算出對(duì)應(yīng)的特征向量為 所以，原方程組的通解為 。 三、證明題（每小題15分，本題共30分）12證明 由已知條件，該方程在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件 顯然是方程的兩個(gè)常數(shù)解 任取初值，其中,記過該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，

31、否則與惟一性矛盾故該解的存在區(qū)間必為 13證明 如果和是二階線性齊次方程 的解，那么由劉維爾公式有 現(xiàn)在，故有 。 常微分方程期終試卷(10)一、 填空（30分）1、稱為齊次方程，稱為黎卡提方程。2、如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茲條件，則方程存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，其中，。3、若1，2，是齊線性方程的個(gè)解，為其伏朗斯基行列式，則滿足一階線性方程。4、對(duì)逼卡逼近序列，。5、若和都是的基解矩陣，則和具有關(guān)系。6、方程有只含的積分因子的充要條件是。有只含的積分因子的充要條件是。7、方程經(jīng)過點(diǎn)的解在存在區(qū)間是。二、 計(jì)算（60分）1、 求解方程。解：所給微分方程可寫成 即有 上

32、式兩邊同除以，得 由此可得方程的通解為 即 2、 求解方程解：所給方程是關(guān)于可解的，兩邊對(duì)求導(dǎo)，有（1） 當(dāng)時(shí)，由所給微分方程得；（2） 當(dāng)時(shí)，得。因此，所給微分方程的通解為 ， （為參數(shù)）而是奇解。3、 求解方程解：特征方程，故有基本解組，對(duì)于方程，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故有形如的特解，將其代入，得，解之得，?duì)于方程，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故有形如的特解，將其代入，得，所以原方程的通解?、 試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算，其中解：，均為單根，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則由，得,取，同理可得對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，均為方程組的解，令，又，所以即為所求基解矩陣。5、 求解方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性。

33、解：令，得，即奇點(diǎn)為（2，-3）令，代入原方程組得，因?yàn)?，又由，解得，為兩個(gè)相異的實(shí)根，所以奇點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，零解不穩(wěn)定。6、 求方程經(jīng)過（0，0）的第二次近似解。解：，。三、 證明（10分）假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組 有一解形如 其中，是常數(shù)向量。證：設(shè)方程有形如的解，則是可以確定出來的。事實(shí)上，將代入方程得，因?yàn)?，所以?（1）又不是矩陣的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解常微分方程期終試卷(11)一 填空1 稱為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 。2 稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解 y(x),則經(jīng)過變換 ，可化為伯努利方程。3若（x）為畢卡逼近序列的極

34、限，則有（x） 。4若（i=1,2,n）是齊線形方程的n 個(gè)解，w(t)為其伏朗斯基行列式，則w(t)滿足一階線性方程 。5若（i=1,2,n）是齊線形方程的一個(gè)基本解組，x(t)為非齊線形方程的一個(gè)特解，則非齊線形方程的所有解可表為 。6如果a(t)是nn矩陣，f(t)是n維列向量，則它們?cè)?atb上滿足 時(shí)，方程組x= a(t) x+ f(t)滿足初始條件x（t）=的解在atb上存在唯一。7若（t）和（t）都是x= a(t) x的 基解矩陣，則（t）與（t）具有關(guān)系：。8若（t）是常系數(shù)線性方程組的 基解矩陣,則該方程滿足初始條件的解=_9.滿足 _的點(diǎn)（），稱為方程組的奇點(diǎn)。10當(dāng)方程組

35、的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部_ 時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 _ 。二計(jì)算題（60分）123求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解45若試求方程組的解并求expat6.求的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.三.證明題(10分)設(shè)及連續(xù),試證方程dy-f(x,y)dx=0為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積分因子.答案一. 填空1. 2. 3.4. 5. 6 a(t) f(t)連續(xù)7 8。9中x(x,y)=0,y(x,y)=0 10.為0 穩(wěn)定中心二計(jì)算題1 1 解：因?yàn)椋源朔匠滩皇乔‘?dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為 即另外y=0也是解2 2 解：方程可化為令則有（*）（

36、*）兩邊對(duì)y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為：p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 3解： 4 線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程a=-b=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程b=0 所以原方程的解為5 解：解得此時(shí) k=1 由公式expat= 得6 解：由解得奇點(diǎn)（3，-2）令x=x-3,y=y+2則因?yàn)?1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。三證明題證明：1 若該方程為線性方程則有（*）此方程有積分因子 只與x有關(guān)2 若該方程有只與x有關(guān)的積分因子則 為恰當(dāng)方程,從而 其中于是方程化為即方程為一階線性方程.-

37、常微分方程期終測試卷(12) 一、填空題（30%） 1若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩個(gè)解可把其通解表示為 2方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 3連續(xù)是保證方程初值唯一的 條件一條積分曲線. 4. 線性齊次微分方程組的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于 個(gè)，其中， 5二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是 6方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 7方程的所有常數(shù)解是 8方程所有常數(shù)解是 9線性齊次微分方程組的解組為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式 10階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 個(gè)二、計(jì)算題（40%） 求下列方程的通解或通積分： 1. 2 3 4 5 三、證明題（30%）1試證明：對(duì)任意及滿足條件的，方程 的滿足條件的解在上存在 2設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有3設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，求證：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在參考答案 一、填空題1 2平面 3充分 4 5線性無關(guān) 6平面