圓的最值問(wèn)題精編版

1、練習(xí)練習(xí):如圖如圖,等腰梯形等腰梯形ABCD的底邊長(zhǎng)分別為的底邊長(zhǎng)分別為6和和4,高為高為3,求這個(gè)等腰梯形的外接圓的方程求這個(gè)等腰梯形的外接圓的方程,并求這個(gè)并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng).3( 2,3) (2,3)( 3,0) (3,0)解解:設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為:220 xyDx Ey F 因?yàn)橐驗(yàn)锳,B,C都在圓上都在圓上,所以其坐標(biāo)所以其坐標(biāo)都滿足圓的方程都滿足圓的方程,即即9 309 3013 430D FD FDE F 40,93DEF 圓的方程圓的方程:2249 03xyy 即即:22285()39xy 圓心圓心:半徑半徑:8532(0, )3三角形和四邊

2、形內(nèi)接于圓 1、不共線的三個(gè)點(diǎn)內(nèi)接于唯一一個(gè)圓，外接圓圓心是三邊垂直平分線交點(diǎn) 2、四邊形和內(nèi)接圓 （1）、不是所有四邊形有內(nèi)接圓 （2）、判斷方法： 方法一、由三點(diǎn)求出圓的方程，再代入第四點(diǎn)判斷 方法二、對(duì)角和為180的四邊形有外接圓對(duì)稱問(wèn)題對(duì)稱問(wèn)題 1. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 2. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 3. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 4. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 5. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 6. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y= -x的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 7. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于x=m的

3、對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ; 8. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y=n的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 ;( , )a b),(ba(-a,-b),(ba),(nm(2m-a,2n-b) ),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(2m-a,b)(-a,b)(a,2n-b)對(duì)稱有關(guān)知識(shí)：對(duì)稱有關(guān)知識(shí)：1、直線互相垂直的條件：、直線互相垂直的條件：_2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為 _3、點(diǎn)、點(diǎn) ( x o，yo ) 在直線在直線 Ax + By + C = 0 上的上的條件是條件是 _斜率存在，斜率存在，k1k2=1Axo +

4、 Byo + C = 0)2,2(2121yyxx 4、點(diǎn)到直線距離公式：、點(diǎn)到直線距離公式： ，0022AxByCdAB5、兩平行直線間的距離：、兩平行直線間的距離： ，2122CCdAB注意：用該公式時(shí)應(yīng)先將直線方程化為一般式；注意：用該公式時(shí)應(yīng)先將直線方程化為一般式；例例2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-4,4)，直線，直線l l 的方的方 程為程為3x+y-2=0,求點(diǎn)求點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線l l 的的 對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)： k kAA = -1 AA中點(diǎn)在中點(diǎn)在l l 上上 AAYXO-3y-4x-(-4)=-13-4+x

5、 2+4+y 2-2=0(x，y)(2，6)解：設(shè)解：設(shè) A（x,y)則則 （L為對(duì)稱軸）為對(duì)稱軸）與圓相關(guān)的最值 思路： 1、幾何分析，利用圓的幾何圖形，直觀觀察 2、代數(shù)求值，利用圓的方程，利用代數(shù)方法求，如二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等，注意x和y的取值范圍PABCxyO|AB|最短、最短、|AC|最長(zhǎng)最長(zhǎng)D 定點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離定點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最大值與最小值的最大值與最小值xyOABC |AB|最短、最短、|AC|最長(zhǎng)最長(zhǎng)PDE 定直線與圓上點(diǎn)的距離定直線與圓上點(diǎn)的距離的最大值與最小值的最大值與最小值到圓上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題：圓上的點(diǎn)到直線（或點(diǎn)）的最近（遠(yuǎn)）距離為圓心到圓上的

6、點(diǎn)到直線（或點(diǎn)）的最近（遠(yuǎn)）距離為圓心到直線（點(diǎn)）的距離減去（加上）半徑直線（點(diǎn)）的距離減去（加上）半徑 二、到圓上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題：二、到圓上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題：2221:250PxyQl xyPQ 例 ：已知 是圓上一點(diǎn)， 是直線上一點(diǎn)，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圓心,半徑作與.PQCQCQCQCH求圓上一點(diǎn) 到 的距離可以轉(zhuǎn)化為圓心 到 的距離，而的最小值就是圓心到直線的距離點(diǎn)評(píng)：到圓上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題總是轉(zhuǎn)化為到圓心距離的最值問(wèn)題。221100515112PQCQCH PQ的最小值為 5-12222,(1)1,21 34 2 31x yxyyxyxyx練習(xí)1：求實(shí)數(shù)滿足

7、求下列各式的最值：（）（ ）（ ）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方的最值，亦可求解yxo1線性相關(guān)有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法線性相關(guān)有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法(2)形如形如taxby型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題的截距的最值問(wèn)題(3)形如形如(xa)2(yb)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)（x,y)到定點(diǎn)到定點(diǎn)(a,b)的距離的最值問(wèn)題即的距離的最值問(wèn)題即 (xa)2(yb)2動(dòng)點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)（x,y)到定點(diǎn)到定點(diǎn)(a,b)的距離的平方的距離的平方2222,(1)1,21 34 2 31x

8、yxyyxyxyx練習(xí)1：求實(shí)數(shù)滿足求下列各式的最值：（）（ ）（ ）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方的最值，亦可求解yxo1222231,0 ,1,0344ABxyPPAPBP例：已知定點(diǎn)和圓上的動(dòng)點(diǎn) ，求使最值時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)。22222222,1121P x yPAPBxyxyxy解：設(shè)2222344xyxyPO上式中相當(dāng)于在上的點(diǎn) 到原點(diǎn) 的距離的平方。 220,0 , 3,4OP x yxy作圖不難知道，當(dāng)共線時(shí),有最值。22229 12,5 521 28,55PxyPxy易求得時(shí),最小為20求得時(shí),最大為1002221:250PxyQl xyPQ 例 ：已知 是圓上一點(diǎn)， 是直線上一點(diǎn)，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圓心,半徑作與.PQCQCQCQCH求圓上一點(diǎn) 到 的距離可以轉(zhuǎn)化為圓心 到 的距離，而的最小值就是圓心到直線的距離點(diǎn)評(píng)：到圓上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題總是轉(zhuǎn)化為到圓心距離的最值問(wèn)題。221100515112PQCQCH PQ的最小值為 5-1解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法(2)形如形如taxby型的最值問(wèn)